1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques
Soit un triangle rectangle EFG, rectangle en G.
L’angle \(\alpha\) est l’angle en F.
a. L’hypoténuse est EF = 10 cm (c’est le côté en face de l’angle droit G, et c’est le plus long côté).
b. Par rapport à \(\alpha\) (angle en F) :
c. Les trois rapports :
\[\cos\alpha = \frac{GF}{EF} = \frac{8}{10} \qquad \sin\alpha = \frac{EG}{EF} = \frac{6}{10} \qquad \tan\alpha = \frac{EG}{GF} = \frac{6}{8}\]d. Valeurs numériques :
\[\cos\alpha = 0{,}8 \qquad \sin\alpha = 0{,}6 \qquad \tan\alpha = 0{,}75\]Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec \(\alpha\) l’angle en A. Choisir la bonne réponse.
a. \(\dfrac{BC}{AB}\) b. \(\dfrac{AC}{AB}\) c. \(\dfrac{BC}{AC}\) d. \(\dfrac{AB}{AC}\)
a. \(\dfrac{AC}{AB}\) b. \(\dfrac{BC}{AB}\) c. \(\dfrac{AB}{BC}\) d. \(\dfrac{AC}{BC}\)
a. \(\dfrac{AC}{BC}\) b. \(\dfrac{BC}{AB}\) c. \(\dfrac{BC}{AC}\) d. \(\dfrac{AB}{BC}\)
a. 30° b. 45° c. 60° d. 90°
L’hypoténuse est AB (en face de l’angle droit C). Par rapport à \(\alpha\) (angle en A) : le côté opposé est BC, le côté adjacent est AC.
Q1. Réponse b : \(\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hyp}} = \dfrac{AC}{AB}\)
Q2. Réponse b : \(\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hyp}} = \dfrac{BC}{AB}\)
Q3. Réponse c : \(\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{BC}{AC}\)
Q4. Réponse c : \(\cos(60°) = 0{,}5\), donc \(\alpha = 60°\).
Compléter le tableau suivant sans calculatrice, en utilisant les valeurs remarquables du cours.
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| \(\cos\) | ...... | ...... | ...... |
| \(\sin\) | ...... | ...... | ...... |
| \(\tan\) | ...... | ...... | ...... |
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| \(\cos\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) | \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) |
| \(\sin\) | \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\) |
| \(\tan\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\) | \(1\) | \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) |
Astuce : les valeurs de sin pour 30°, 45°, 60° sont \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Celles de cos sont les mêmes dans l’ordre inverse.
Soit un triangle rectangle IJK, rectangle en K. L’angle en J vaut 40° et l’hypoténuse IJ = 12 cm. On cherche la longueur du côté IK.
Étape 1 : Par rapport à l’angle de 40° (en J), le côté IK est le côté ...... (opposé / adjacent / hypoténuse) ?
Étape 2 : Le côté IJ = 12 cm est le côté ...... (opposé / adjacent / hypoténuse) ?
Étape 3 : On a le côté opposé et l’hypoténuse. On utilise donc : \(\text{sin} / \text{cos} / \text{tan}\) ?
Étape 4 : Compléter : \(\sin(40°) = \dfrac{...}{...}\)
Étape 5 : Isoler IK : \(\text{IK} = ... \times \sin(40°)\)
Étape 6 : Calculer à la calculatrice : \(\text{IK} = ... \times ... \approx\) ...... cm
Étape 1 : IK est le côté opposé à l’angle en J (il ne touche pas J).
Étape 2 : IJ est l’hypoténuse (en face de l’angle droit K).
Étape 3 : Opposé et hypoténuse → on utilise le sinus.
Étape 4 : \(\sin(40°) = \dfrac{IK}{IJ} = \dfrac{IK}{12}\)
Étape 5 : \(IK = 12 \times \sin(40°)\)
Étape 6 : \(IK = 12 \times 0{,}6428 \approx \mathbf{7{,}7 \text{ cm}}\)
Dans un triangle rectangle RST, rectangle en T. On sait que RS = 13 cm et ST = 5 cm. Calculer l’angle \(\alpha\) en R.
Étape 1 : Quel est le côté hypoténuse ? ......
Étape 2 : Par rapport à l’angle en R, le côté ST est le côté ...... ?
Étape 3 : On connaît l’opposé et l’hypoténuse. On utilise : \(\text{sin} / \text{cos} / \text{tan}\) ?
Étape 4 : Compléter : \(\sin\alpha = \dfrac{...}{...} = \) ......
Étape 5 : À la calculatrice : \(\alpha = \sin^{-1}(\text{......}) = \) ......°
Étape 1 : L’hypoténuse est RS = 13 cm (en face de l’angle droit T).
Étape 2 : ST est le côté opposé à l’angle en R (il ne touche pas R).
Étape 3 : Opposé et hypoténuse → on utilise le sinus.
Étape 4 : \(\sin\alpha = \dfrac{ST}{RS} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846\)
Étape 5 : \(\alpha = \sin^{-1}(0{,}3846) \approx \mathbf{22{,}6°}\)
Un charpentier construit un toit. La charpente s’élève de 1,5 m sur une distance horizontale de 4 m. On cherche l’angle d’inclinaison \(\alpha\) du toit.
Étape 1 : Par rapport à \(\alpha\), la hauteur 1,5 m est le côté ...... et la distance 4 m est le côté ......
Étape 2 : Opposé et adjacent → on utilise la ......
Étape 3 : \(\tan\alpha = \dfrac{...}{...} = \) ......
Étape 4 : \(\alpha = \tan^{-1}(\text{......}) \approx\) ......°
Étape 1 : La hauteur 1,5 m est le côté opposé, la distance 4 m est le côté adjacent.
Étape 2 : On utilise la tangente.
Étape 3 : \(\tan\alpha = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375\)
Étape 4 : \(\alpha = \tan^{-1}(0{,}375) \approx \mathbf{20{,}6°}\)
La pente du toit est d’environ 20,6°.
Remarque : en pourcentage, la pente vaut \(\dfrac{1{,}5}{4} \times 100 = 37{,}5\,\%\).
On sait que \(\cos\alpha = 0{,}8\). L’angle \(\alpha\) est aigu (entre 0° et 90°).
Calculer \(\sin\alpha\) en utilisant la relation fondamentale.
Étape 1 : Écrire la relation fondamentale : \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \) ......
Étape 2 : Remplacer : \((0{,}8)^2 + \sin^2\alpha = 1\), donc \(\text{......} + \sin^2\alpha = 1\)
Étape 3 : Isoler : \(\sin^2\alpha = 1 - \text{......} = \text{......}\)
Étape 4 : Racine carrée : \(\sin\alpha = \sqrt{\text{......}} = \text{......}\)
Étape 1 : \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\)
Étape 2 : \((0{,}8)^2 + \sin^2\alpha = 1\), donc \(0{,}64 + \sin^2\alpha = 1\)
Étape 3 : \(\sin^2\alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\)
Étape 4 : \(\sin\alpha = \sqrt{0{,}36} = \mathbf{0{,}6}\)
(On prend la valeur positive car \(\alpha\) est aigu, donc sin est positif.)
Vérification : \(0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 0{,}64 + 0{,}36 = 1\) ✔
Un artisan menuisier conçoit un escalier droit. L’escalier doit gravir une hauteur de 2,60 m avec un angle d’inclinaison de 35° par rapport au sol.
a. Reculement \(d\) :
Par rapport à l’angle de 35° : la hauteur (2,60 m) est le côté opposé, le reculement est le côté adjacent. On utilise la tangente :
\[\tan(35°) = \frac{2{,}60}{d} \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{2{,}60}{\tan(35°)} = \frac{2{,}60}{0{,}7002} \approx \mathbf{3{,}71 \text{ m}}\]b. Longueur \(L\) du limon :
La hauteur est l’opposé, le limon est l’hypoténuse. On utilise le sinus :
\[\sin(35°) = \frac{2{,}60}{L} \quad \Longrightarrow \quad L = \frac{2{,}60}{\sin(35°)} = \frac{2{,}60}{0{,}5736} \approx \mathbf{4{,}53 \text{ m}}\]c. Vérification par Pythagore :
\[d^2 + h^2 = 3{,}71^2 + 2{,}60^2 = 13{,}76 + 6{,}76 = 20{,}52\] \[L^2 = 4{,}53^2 = 20{,}52\]Les valeurs coïncident. Le calcul est correct. ✔
Un installateur thermique pose un panneau solaire sur un support. Le panneau mesure 1,80 m de long. Pour un rendement optimal en hiver, l’angle d’inclinaison doit être de 60° par rapport à l’horizontale.
a. Hauteur \(h\) :
La hauteur est le côté opposé à l’angle de 60°, le panneau est l’hypoténuse :
\[h = 1{,}80 \times \sin(60°) = 1{,}80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1{,}80 \times 0{,}8660 \approx \mathbf{1{,}56 \text{ m}}\]b. Emprise au sol \(d\) :
L’emprise est le côté adjacent :
\[d = 1{,}80 \times \cos(60°) = 1{,}80 \times 0{,}5 = \mathbf{0{,}90 \text{ m}}\]c. Vérification :
\[\cos^2(60°) + \sin^2(60°) = (0{,}5)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0{,}25 + 0{,}75 = 1 \quad \checkmark\]Un menuisier agenceur installe une étagère en diagonale dans un coin de mur. L’étagère mesure 95 cm de long et fait un angle de 50° avec le mur horizontal.
a. Hauteur \(h\) :
\[h = 95 \times \sin(50°) = 95 \times 0{,}7660 \approx \mathbf{72{,}8 \text{ cm}}\]b. Largeur \(l\) :
\[l = 95 \times \cos(50°) = 95 \times 0{,}6428 \approx \mathbf{61{,}1 \text{ cm}}\]c. Angle pour 80 cm de haut :
\[\sin\alpha = \frac{80}{95} \approx 0{,}8421\] \[\alpha = \sin^{-1}(0{,}8421) \approx \mathbf{57{,}4°}\]Une piste de ski a une pente de 28° par rapport à l’horizontale. Un skieur parcourt 600 m le long de la piste.
a. Dénivelé \(h\) :
La piste (600 m) est l’hypoténuse, le dénivelé est le côté opposé :
\[h = 600 \times \sin(28°) = 600 \times 0{,}4695 \approx \mathbf{281{,}7 \text{ m}}\]b. Distance horizontale \(d\) :
\[d = 600 \times \cos(28°) = 600 \times 0{,}8829 \approx \mathbf{529{,}7 \text{ m}}\]c. Pente en pourcentage :
\[\text{pente} = \frac{h}{d} \times 100 = \frac{281{,}7}{529{,}7} \times 100 \approx \mathbf{53{,}2\,\%}\]Ou directement : \(\tan(28°) \times 100 \approx 53{,}2\,\%\).
Un charpentier doit réaliser une toiture à deux pentes symétriques. La largeur totale du bâtiment est de 10 m. La hauteur du faîtage (point le plus haut) au-dessus du mur est de 3,5 m.
a. Angle d’inclinaison :
Chaque versant forme un triangle rectangle : base = 5 m, hauteur = 3,5 m.
\[\tan\alpha = \frac{3{,}5}{5} = 0{,}7 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \tan^{-1}(0{,}7) \approx \mathbf{35{,}0°}\]b. Longueur d’un rampant :
\[\sin\alpha = \frac{3{,}5}{L} \quad \Longrightarrow \quad L = \frac{3{,}5}{\sin(35{,}0°)} = \frac{3{,}5}{0{,}5736} \approx \mathbf{6{,}10 \text{ m}}\]Vérification par Pythagore : \(\sqrt{5^2 + 3{,}5^2} = \sqrt{25 + 12{,}25} = \sqrt{37{,}25} \approx 6{,}10\) m ✔
c. Surface totale :
La toiture a 2 versants de dimensions \(L \times 12\) m :
\[S = 2 \times 6{,}10 \times 12 = \mathbf{146{,}4 \text{ m}^2}\]d. Coût des tuiles :
Avec 10 % de marge : \(146{,}4 \times 1{,}10 = 161{,}0\) m²
\[\text{Coût} = 161{,}0 \times 28 = \mathbf{4\,508\,\text{€}}\]a.
\[\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\] \[\cos\alpha = \frac{12}{13} \quad \text{(positif car } \alpha \text{ aigu)}\] \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \mathbf{\frac{5}{12}}\]b.
\[\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \quad \Longrightarrow \quad \sin\alpha = \frac{4}{5}\] \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} \quad \checkmark\]c. Démonstration :
\[1 + \tan^2\alpha = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad \blacksquare\]Un menuisier agenceur doit concevoir un meuble d’angle pour une cuisine. Le coin du mur forme un angle droit. Le client souhaite que :
a. Angle \(\alpha\) :
Le mur de droite (50 cm) est le côté adjacent à \(\alpha\), la façade (70 cm) est l’hypoténuse :
\[\cos\alpha = \frac{50}{70} \approx 0{,}7143 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \cos^{-1}(0{,}7143) \approx \mathbf{44{,}4°}\]b. Profondeur mur gauche :
\[\text{mur gauche} = 70 \times \sin(44{,}4°) = 70 \times 0{,}6999 \approx \mathbf{49{,}0 \text{ cm}}\]Ou par Pythagore : \(\sqrt{70^2 - 50^2} = \sqrt{4900 - 2500} = \sqrt{2400} \approx 49{,}0\) cm.
c. Aire :
\[\mathcal{A} = \frac{50 \times 49{,}0}{2} = \mathbf{1\,225 \text{ cm}^2} \approx 0{,}12 \text{ m}^2\]d. Meuble symétrique :
Si les deux côtés sont égaux, le triangle est rectangle isocèle. L’angle \(\alpha = 45°\).
\[\text{côté} = 70 \times \cos(45°) = 70 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \mathbf{49{,}5 \text{ cm}}\]Chaque côté mesurerait environ 49,5 cm.
a. Conversions :
b. \(120° = 180° - 60°\), donc par la propriété des angles supplémentaires :
\[\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}\] \[\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]c. Vérification :
\[\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \quad \checkmark\]d. \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), donc :
\[\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]