Fiche résumé — Trigonométrie

Chapitre 9 | 1ère Bac Pro | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Cercle trigonométrique : \(M(\cos x\,;\,\sin x)\) avec \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

1. Enrouler un réel sur le cercle — C1

Le cercle trigonométrique a pour centre \(O\) et pour rayon 1. On part de \(I(1\,;\,0)\) ; le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Au réel \(x\), on associe le point \(M\) obtenu en parcourant un arc de longueur \(x\) (dans l'autre sens si \(x < 0\)).

Un tour \(= 2\pi\) : \(x\) et \(x + 2\pi\) ont la même image

Repères : \(\frac{\pi}{2}\) → \(J(0\,;\,1)\) ; \(\pi\) → \((-1\,;\,0)\) ; \(\frac{3\pi}{2}\) et \(-\frac{\pi}{2}\) → \((0\,;\,-1)\).

2. Cosinus et sinus — C2

Le point image de \(x\) est \(M(\cos x\,;\,\sin x)\) : le cosinus est l'abscisse, le sinus l'ordonnée.

\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

\(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \quad \text{et} \quad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1\)

Pour \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), \(\cos x\) et \(\sin x\) sont les côtés du triangle rectangle d'hypoténuse \(OM = 1\).

Piège : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) donne le carré. Le signe se lit sur le cercle : \(\cos < 0\) à gauche de l'axe vertical, \(\sin < 0\) sous l'axe horizontal.

Piège : calculatrice en mode RAD dans ce chapitre.

3. Valeurs particulières — C2

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
degrés	0°	30°	45°	60°	90°	180°
cos	1	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0	\(-1\)
sin	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	1	0

Astuce : De \(0\) à \(\frac{\pi}{2}\), les sinus suivent \(\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}\). Les cos sont dans l'ordre inverse.

4. Degrés et radians — C1

\(180° = \pi \text{ rad}\)

Conversions :

Degrés → Radians : multiplier par \(\frac{\pi}{180}\)
Radians → Degrés : multiplier par \(\frac{180}{\pi}\)

\(30° = \frac{\pi}{6}\) ; \(45° = \frac{\pi}{4}\) ; \(60° = \frac{\pi}{3}\) ; \(90° = \frac{\pi}{2}\) ; \(360° = 2\pi\).

5. Angles associés — C2

Supplémentaires (axe vertical)	\(\cos(\pi - x) = -\cos x\) \(\sin(\pi - x) = \sin x\)
Opposés (axe horizontal)	\(\cos(-x) = \cos x\) \(\sin(-x) = -\sin x\)
Complémentaires	\(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\) \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\)
\(\pi + x\) (centre \(O\))	\(\cos(\pi + x) = -\cos x\) \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
\(\frac{\pi}{2} + x\)	\(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\) \(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x\)

6. Courbes du sinus et du cosinus — C3

Courbe du sinus construite point par point depuis le cercle : \(0\), \(1\), \(0\), \(-1\), \(0\) pour \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(2\pi\)
Période \(2\pi\) : \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\)
Valeurs entre \(-1\) et \(1\)
\(\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\) : la courbe du cosinus est celle du sinus décalée de \(\frac{\pi}{2}\) vers la gauche

Résumé express — Trouver le cosinus et le sinus d'un réel

1	Placer le point image sur le cercle (enlever des tours de \(2\pi\) si besoin)
2	Repérer la position du point : elle donne les signes du cosinus et du sinus
3	Relier à une valeur particulière par une symétrie : \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\frac{\pi}{2} - x\), \(\frac{\pi}{2} + x\)
4	Vérifier avec \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)