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Fiche résumé — Vecteurs du plan

Chapitre 8 | 1ère Bac Pro | Mathématiques

1. Notion de vecteur

Un vecteur est caractérisé par :

  • une direction (la droite qui le porte)
  • un sens (orientation sur cette droite)
  • une norme (longueur, notée \(\|\vec{u}\|\))
Piège : \(\vec{AB} \neq \vec{BA}\). Même direction, même norme, mais sens opposés : \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).

2. Coordonnées d'un vecteur

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) :

\(\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées.

Astuce : \(\vec{AB} = \vec{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme.

3. Opérations sur les vecteurs

Somme :

\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}\)

Produit par un scalaire :

\(k\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\)

Relation de Chasles :

\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)

4. Norme et distance

Norme d'un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) :

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Distance entre \(A\) et \(B\) :

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Astuce : C'est le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées.

5. Milieu d'un segment

Le milieu \(M\) de \([AB]\) :

\(M\!\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\)
Piège : Pour trouver \(B\) connaissant \(A\) et le milieu \(M\), utiliser : \(x_B = 2x_M - x_A\) et \(y_B = 2y_M - y_A\).

6. Colinéarité

Deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) sont colinéaires si :

\(xy' - x'y = 0\)

Cette quantité est le déterminant des deux vecteurs.

  • Colinéaires = même direction (parallèles)
  • Trois points alignés ⇔ \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires

Résumé express — Les formules essentielles

Coordonnées \(\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)
Somme \(\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}\) et \(\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}\)
Norme \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\)
Milieu \(M\!\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Colinéarité \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\Leftrightarrow xy'-x'y = 0\)
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