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Exercices – Chapitre 08 – Vecteurs du plan

1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques

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Rappels essentiels

u⃗v⃗A
Vecteurs u⃗ et v⃗ dans le plan

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Coordonnées de vecteurs Socle

On donne les points \(A(1\;;\;4)\), \(B(5\;;\;2)\), \(C(-3\;;\;0)\) et \(D(4\;;\;-1)\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{CD}\).
  3. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\).
  4. Que remarque-t-on entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ?
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\)
  2. \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 4-(-3) \\ -1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}\)
  3. \(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\)
  4. \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Les coordonnées sont opposées : un vecteur et son opposé ont des coordonnées de signes contraires.
Exercice 2 Somme, différence et produit par un scalaire Socle

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(\vec{u} + \vec{v}\).
  2. Calculer \(\vec{u} - \vec{v}\).
  3. Calculer \(3\vec{u}\).
  4. Calculer \(2\vec{u} + 3\vec{v}\).
  1. \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ -2+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
  2. \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ -2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}\)
  3. \(3\vec{u} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix}\)
  4. \(2\vec{u} + 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 6+(-3) \\ -4+15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}\)
Exercice 3 Norme et distance Socle

On donne \(A(2\;;\;1)\) et \(B(5\;;\;5)\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\). Donner la valeur exacte puis l'arrondi au dixième.
  3. Que représente \(\|\overrightarrow{AB}\|\) géométriquement ?
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
  2. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
  3. \(\|\overrightarrow{AB}\|\) représente la distance entre les points \(A\) et \(B\), soit \(AB = 5\).
Exercice 4 Parallélogramme — Plan d'agencement Socle
u⃗v⃗A
Vecteurs u⃗ et v⃗ dans le plan

Un menuisier agenceur dessine le plan d'un bureau. Il place trois sommets d'un meuble rectangulaire dans un repère : \(A(1\;;\;2)\), \(B(4\;;\;6)\) et \(C(7\;;\;2)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).
    Aide : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\). Pour un parallélogramme, on doit avoir \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).
  2. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
    Aide : écrire \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 7 - x_D \\ 2 - y_D \end{pmatrix}\) et identifier avec \(\overrightarrow{AB}\).
  3. Vérifier en calculant les milieux des diagonales \([AC]\) et \([BD]\).
    Aide : milieu \(= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\;;\;\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Si les deux milieux sont égaux, c'est bien un parallélogramme.
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme, il faut \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).
  2. \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 7 - x_D \\ 2 - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
    \(7 - x_D = 3 \Rightarrow x_D = 4\) et \(2 - y_D = 4 \Rightarrow y_D = -2\).
    Donc \(D(4\;;\;-2)\).
  3. Milieu de \([AC]\) : \(\left(\dfrac{1+7}{2}\;;\;\dfrac{2+2}{2}\right) = (4\;;\;2)\).
    Milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{4+4}{2}\;;\;\dfrac{6+(-2)}{2}\right) = (4\;;\;2)\).
    Les milieux sont identiques : les diagonales se coupent en leur milieu, ce qui confirme le parallélogramme.
Exercice 5 Relation de Chasles Socle

On donne les points \(A(0\;;\;3)\), \(B(2\;;\;7)\) et \(C(5\;;\;1)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
    Aide : pour chaque vecteur, soustraire les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée.
  2. Vérifier la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
    Aide : additionner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\), puis comparer avec \(\overrightarrow{AC}\).
  3. Calculer \(\|\overrightarrow{AC}\|\). Le triangle \(ABC\) est-il quelconque, isocèle ou équilatéral ?
    Aide : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\). Un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux.
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\).
  2. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 2+3 \\ 4+(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\). La relation est vérifiée.
  3. \(AB = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4{,}5\), \(BC = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \approx 6{,}7\), \(AC = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \approx 5{,}4\).
    Les trois longueurs sont différentes : le triangle est quelconque.
Exercice 6 Milieu et symétrie Socle

On donne \(A(-2\;;\;3)\) et \(M(1\;;\;5)\) est le milieu du segment \([AB]\).

  1. Rappeler la formule du milieu.
  2. Déterminer les coordonnées du point \(B\).
    Aide : si \(M\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\dfrac{x_A + x_B}{2} = x_M\), donc \(x_B = 2x_M - x_A\). Même chose pour \(y\).
  3. Vérifier que \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\).
    Aide : calculer les deux vecteurs et comparer leurs coordonnées.
  1. \(M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).
  2. \(\dfrac{-2 + x_B}{2} = 1 \Rightarrow x_B = 4\) et \(\dfrac{3 + y_B}{2} = 5 \Rightarrow y_B = 7\). Donc \(B(4\;;\;7)\).
  3. \(\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{MB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). On a bien \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\).

Exercices d'application

Exercice 7 Égalité de vecteurs et parallélogramme — Implantation d'un bâtiment Standard

Un conducteur de travaux repère sur un plan les coins d'un futur bâtiment rectangulaire. Il place les points \(A(2\;;\;1)\), \(B(8\;;\;3)\) et \(D(0\;;\;5)\) dans un repère orthonormé (unité : 1 m).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).
  2. Pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme, on doit avoir \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Déterminer les coordonnées du point \(C\).
  3. Calculer les longueurs \(AB\) et \(AD\).
  4. Vérifier que \(ABCD\) est bien un rectangle en montrant que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\) (les vecteurs sont perpendiculaires si le produit \(x x' + y y' = 0\)).
  5. En déduire l'aire du bâtiment au sol.
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8-2 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\).
  2. \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \Rightarrow \begin{pmatrix} x_C - 0 \\ y_C - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\).
    Donc \(x_C = 6\) et \(y_C = 7\), soit \(C(6\;;\;7)\).
  3. \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3\) m.
    \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\), donc \(AD = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}5\) m.
  4. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 6 \times (-2) + 2 \times 4 = -12 + 8 = -4 \neq 0\).
    Le produit scalaire n'est pas nul, donc \(ABCD\) est un parallélogramme mais pas un rectangle.
  5. L'aire du parallélogramme se calcule par le déterminant : \(|x_{AB} \times y_{AD} - y_{AB} \times x_{AD}| = |6 \times 4 - 2 \times (-2)| = |24+4| = 28\) m².
Exercice 8 Relation de Chasles et somme de vecteurs — Transport de panneaux Standard

Un menuisier agenceur transporte un panneau de bois dans un atelier. Il effectue trois déplacements successifs modélisés par des vecteurs (en mètres) :

Le panneau part du point \(A(1\;;\;2)\).

  1. En utilisant la relation de Chasles, calculer le vecteur déplacement total \(\vec{d} = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\).
  2. Déterminer les coordonnées du point d'arrivée \(D\).
  3. Calculer la distance totale parcourue (somme des normes de chaque déplacement).
  4. Calculer la distance directe \(AD\) entre le départ et l'arrivée.
  5. Le menuisier pourrait-il optimiser son trajet ? Justifier.
  1. \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 4+(-2)+1 \\ 1+3+(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
  2. \(D = A + \vec{d} = (1+3\;;\;2+(-1)) = (4\;;\;1)\).
  3. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \approx 4{,}1\) m, \(\|\vec{v}\| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\) m, \(\|\vec{w}\| = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \approx 5{,}1\) m.
    Distance totale : \(4{,}1 + 3{,}6 + 5{,}1 = 12{,}8\) m.
  4. \(AD = \|\vec{d}\| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3{,}2\) m.
  5. Oui, la distance directe (\(3{,}2\) m) est bien inférieure au trajet total (\(12{,}8\) m). Cependant, le menuisier doit passer par les machines (scie, ponceuse) pour usiner le panneau, donc le trajet est contraint par le processus de fabrication.
Exercice 9 Distance, milieu et colinéarité — Charpente Standard

Un charpentier positionne trois points de fixation d'une ferme de toit dans un repère : \(A(0\;;\;0)\) (pied gauche), \(B(8\;;\;0)\) (pied droit) et \(S(4\;;\;3)\) (sommet).

  1. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
  2. Calculer les longueurs \(AS\), \(BS\) et \(AB\).
  3. La ferme est-elle isocèle ? Justifier.
  4. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{MS}\). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
  5. Que peut-on en déduire sur la position du sommet \(S\) par rapport à la base \([AB]\) ?
  1. \(M = \left(\dfrac{0+8}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\right) = (4\;;\;0)\).
  2. \(AS = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\).
    \(BS = \sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\).
    \(AB = \sqrt{64+0} = 8\).
  3. Oui, \(AS = BS = 5\), donc le triangle \(ASB\) est isocèle en \(S\).
  4. \(\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{MS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).
    Déterminant : \(4 \times 3 - 0 \times 0 = 12 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
  5. Les points \(A\), \(M\) et \(S\) ne sont pas alignés. Le sommet \(S\) est à la verticale du milieu de \([AB]\) (car \(x_S = x_M = 4\)), ce qui signifie que la hauteur issue de \(S\) est perpendiculaire à la base. C'est bien la propriété d'un triangle isocèle : la médiane issue du sommet est aussi la hauteur.

Exercices d'approfondissement

Exercice 10 Colinéarité et alignement Approfondissement

On donne les points \(A(1\;;\;2)\), \(B(4\;;\;8)\) et \(C(3\;;\;6)\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires (critère du déterminant).
  3. Que peut-on en déduire pour les points \(A\), \(B\) et \(C\) ?
  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
  2. Déterminant : \(3 \times 4 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.
  3. Puisque \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Exercice 11 Déplacement de meuble — Menuisier agenceur Approfondissement

Un menuisier agenceur doit déplacer un meuble dans un atelier. Il effectue successivement deux déplacements :

Le meuble était initialement en position \(P(1\;;\;1)\).

  1. Calculer le déplacement total \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\).
  2. Quelle est la position finale du meuble ?
  3. Quelle est la distance totale parcourue (somme des deux déplacements) ?
  4. Quelle est la distance « à vol d'oiseau » entre la position initiale et la position finale ?
  5. Pourquoi ces deux distances sont-elles différentes ?
  1. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\).
  2. Position finale : \(P' = P + \vec{w} = (1+2\;;\;1+6) = (3\;;\;7)\).
  3. Distance parcourue : \(\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| = \sqrt{9+4} + \sqrt{1+16} = \sqrt{13} + \sqrt{17} \approx 3{,}6 + 4{,}1 = 7{,}7\) m.
  4. Distance à vol d'oiseau : \(\|\vec{w}\| = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\) m.
  5. La distance parcourue est plus grande car le trajet n'est pas en ligne droite (les deux déplacements ne sont pas dans la même direction). L'inégalité triangulaire garantit que \(\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\).
Exercice 12 Équilibre de forces — Technicien de maintenance Approfondissement

Un technicien de maintenance étudie l'équilibre d'un panneau suspendu à deux câbles. Les forces exercées par les câbles sont modélisées par :

Le poids du panneau est \(\vec{P}\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\).

  1. Calculer la résultante des forces des câbles : \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}\).
  2. Le panneau est en équilibre si \(\vec{R} + \vec{P} = \vec{0}\). Est-ce le cas ?
  3. Si l'équilibre n'est pas atteint, quelle force supplémentaire \(\vec{F_3}\) faudrait-il ajouter pour l'obtenir ?
  1. \(\vec{R} = \begin{pmatrix} -3+3 \\ 5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix}\).
  2. \(\vec{R} + \vec{P} = \begin{pmatrix} 0+0 \\ 9+(-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}\). Oui, le panneau est en équilibre.
  3. L'équilibre est déjà atteint, aucune force supplémentaire n'est nécessaire.