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Chapitre 8 – Vecteurs du plan

1ère Bac Pro | Géométrie | Mathématiques

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 20:15

Objectifs du chapitre

1. Notion de vecteur

Situation professionnelle — Menuisier agenceur

Un menuisier agenceur doit déplacer un meuble de sa position initiale à sa position finale dans une pièce. Ce déplacement est caractérisé par trois informations : la direction (horizontale, verticale, oblique), le sens (vers la droite, vers la gauche...) et la distance parcourue. C'est exactement ce que modélise un vecteur.

Définition Vecteur :
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : Un vecteur est représenté par une flèche. On le note \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{AB}\), etc.
A B norme ‖AB‖ sens → direction : la droite (AB)
Définition Vecteur \(\vec{AB}\) :
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan. Le vecteur \(\vec{AB}\) est le vecteur qui translate le point \(A\) sur le point \(B\). Son point de départ est \(A\) (origine) et son point d'arrivée est \(B\) (extrémité).
Attention L'ordre des lettres est important : \(\vec{AB} \neq \vec{BA}\).
Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ont la même direction, la même norme, mais des sens opposés : \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).
Définition Vecteur nul :
Le vecteur \(\vec{AA}\) est appelé vecteur nul, noté \(\vec{0}\). Sa norme est nulle et il n'a ni direction ni sens défini.

2. Coordonnées d'un vecteur

Définition Coordonnées d'un vecteur :
Dans un repère \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\), si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées : \[\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\]
Exemple : Soient \(A(2\,;\,5)\) et \(B(7\,;\,3)\).

\[\vec{AB} \begin{pmatrix} 7 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\] Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((5\,;\,-2)\).
12345678 123456 0 +5 −2 A(2 ; 5) B(7 ; 3)
Application

Un installateur d'agencement déplace un meuble du point \(P(3\,;\,1)\) au point \(Q(7\,;\,5)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{PQ}\). 2. Quelle est la signification physique de ces coordonnées ?

3. Égalité de vecteurs

Propriété
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. \[\vec{AB} = \vec{CD} \Leftrightarrow \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}\] Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Exemple : Soient \(A(1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,7)\), \(C(5\,;\,5)\) et \(D(2\,;\,1)\).

\(\vec{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{DC} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Les coordonnées sont identiques, donc \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Conséquence : le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
Propriété — Parallélogramme
\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Application — Plateau de table

Un menuisier repère les quatre coins d'un plateau : \(A(2\,;\,1)\), \(B(6\,;\,2)\), \(C(7\,;\,5)\) et \(D(3\,;\,4)\). Vérifier que \(ABCD\) est un parallélogramme.

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 7-3 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), \(ABCD\) est bien un parallélogramme.

4. Opérations sur les vecteurs

4.1 Somme de deux vecteurs

Définition Somme de vecteurs :
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) est le vecteur : \[\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}\]
Propriété — Relation de Chasles
Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan : \[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\] Cette relation permet d'enchaîner les déplacements.
Exemple : Un charpentier se déplace sur un chantier. Il va du point \(A\) au point \(B\), puis du point \(B\) au point \(C\).

Si \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\), alors le déplacement total est : \[\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 + (-1) \\ 2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\]
A B C AB BC AC AB + BC = AC
Méthode — Construire la somme graphiquement

Règle du parallélogramme :

  1. Placer les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à partir d'un même point \(O\).
  2. Construire le parallélogramme dont \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux côtés.
  3. La diagonale issue de \(O\) représente le vecteur somme \(\vec{u} + \vec{v}\).
O u v u + v

4.2 Différence de deux vecteurs

Définition Différence de vecteurs :
\[\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = \begin{pmatrix} x - x' \\ y - y' \end{pmatrix}\]

Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé : on soustrait les coordonnées, comme on les additionne pour la somme.

Exemple : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). \[\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

⚠️ Attention au signe : \(2 - (-1) = 2 + 1 = 3\).

Propriété — Chasles et différence
Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).
Autrement dit, une différence de deux vecteurs de même origine va de l'extrémité du vecteur soustrait vers celle de l'autre.
Application — Deux tirants sur un même point d'ancrage

Sur un plan d'atelier, \(\vec{u}\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) partent du même point. Calculer \(\vec{u} - \vec{v}\), puis \(\vec{v} - \vec{u}\).

\(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 7-4 \\ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\)

\(\vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} 4-7 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)

Les deux résultats sont opposés : \(\vec{v} - \vec{u} = -(\vec{u} - \vec{v})\). L'ordre compte.

4.3 Produit d'un vecteur par un scalaire

Définition Produit par un scalaire :
Si \(k\) est un réel et \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors : \[k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\]
Propriété
Le vecteur \(k\vec{u}\) a :
Exemple : Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Application — Déplacement à l'écran

Dans un jeu vidéo (repère en pixels), un personnage subit le déplacement \(\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Calculer le déplacement \(2\vec{u}\), puis le déplacement opposé \(-\vec{u}\).

\(2\vec{u} = \begin{pmatrix} 2\times 5 \\ 2\times(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \end{pmatrix}\) : même sens, deux fois plus long.

\(-\vec{u} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) : même longueur, mais sens opposé.

Méthode — Placer un point sur une droite

Placer le point \(M\) tel que \(\vec{AM} = k\,\vec{AB}\) :

1
Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
2
Multiplier par \(k\) : \(\vec{AM} = k\,\vec{AB}\).
3
Repartir de \(A\) et ajouter : \(M\left(x_A + k(x_B - x_A)\,;\,y_A + k(y_B - y_A)\right)\).

⚠️ L'étape 3 est celle qu'on oublie : \(k\,\vec{AB}\) donne un vecteur, pas un point. Il faut l'ajouter aux coordonnées de \(A\).

Exemple : \(A(2\,;\,5)\) et \(B(11\,;\,11)\). Placer \(M\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\), puis \(N\) tel que \(\vec{AN} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}\).

\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 11-2 \\ 11-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}\)

\(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), donc \(M(2+3\,;\,5+2) = M(5\,;\,7)\).

\(\vec{AN} = \dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\), donc \(N(2+6\,;\,5+4) = N(8\,;\,9)\).

\(M\) et \(N\) partagent \([AB]\) en trois parties égales : \(\vec{AM} = \vec{MN} = \vec{NB} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).

Application — Poser un taquet au tiers d'une tringle

Sur un plan coté en centimètres, une tringle va de \(A(-1\,;\,4)\) à \(B(5\,;\,10)\). Un menuisier doit poser un taquet au point \(M\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\). Déterminer les coordonnées de \(M\).

\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 10-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\)

\(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

On repart de \(A\) : \(M(-1+2\,;\,4+2) = \mathbf{M(1\,;\,6)}\).

⚠️ La réponse n'est pas \((2\,;\,2)\) : c'est le vecteur, pas le point.

5. Norme d'un vecteur

Norme d'un vecteur

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors la norme de \(\vec{u}\) est :

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

C'est la longueur du vecteur, obtenue par le théorème de Pythagore.

Propriété — Distance entre deux points
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors : \[AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Exemple : Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).

\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\[AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] La distance \(AB\) est de 5 unités.

Situation professionnelle — Charpentier

Sur un plan à l'échelle (1 unité = 1 m), un charpentier repère deux points d'ancrage \(P(2\,;\,1)\) et \(Q(8\,;\,9)\) sur une charpente. La longueur de la poutre reliant ces deux points est :

\(PQ = \sqrt{(8-2)^2 + (9-1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) m.

Application

Sur un plan d'agencement, deux coins d'une pièce sont placés en \(A(1\,;\,4)\) et \(B(7\,;\,9)\). Calculer la distance \(AB\) (en unités du repère) pour estimer la longueur d'une barre d'étagère diagonale.

6. Milieu d'un segment

Coordonnées du milieu

Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) avec \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) a pour coordonnées :

\[M\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)\]
Exemple : Soient \(A(3\,;\,7)\) et \(B(9\,;\,1)\).

Le milieu \(M\) de \([AB]\) a pour coordonnées : \[M\left(\frac{3+9}{2}\,;\,\frac{7+1}{2}\right) = M(6\,;\,4)\]
Propriété

Caractérisation vectorielle du milieu

Dire que \(M\) est le milieu de \([AB]\), c'est dire que \(M\) est sur le segment et à égale distance de \(A\) et de \(B\). Avec les vecteurs, cela s'écrit de deux façons équivalentes :

\[\vec{AM} = \vec{MB} \qquad \text{ou} \qquad \vec{AM} = \frac{1}{2}\,\vec{AB}\]

La première dit que l'on parcourt le même déplacement de \(A\) à \(M\) que de \(M\) à \(B\). La seconde dit que l'on parcourt la moitié du chemin de \(A\) vers \(B\).

Attention : \(\vec{AM} = \vec{BM}\) est faux — ces deux vecteurs sont opposés, pas égaux : \(\vec{BM} = -\vec{MB}\).

À toi de jouer

Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(7\,;\,10)\), et \(M\) le milieu de \([AB]\).

1. Calculer les coordonnées de \(M\). 2. Vérifier que \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}\) en calculant les deux vecteurs.

1. \(M\left(\frac{1+7}{2}\,;\,\frac{2+10}{2}\right) = M(4\,;\,6)\).

2. \(\vec{AM}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 7-1 \\ 10-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\).

On a bien \(\frac{1}{2}\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \vec{AM}\). ✓

Méthode — Trouver un point connaissant le milieu

Si \(M(5\,;\,3)\) est le milieu de \([AB]\) avec \(A(2\,;\,1)\), on cherche \(B(x_B\,;\,y_B)\).

On utilise les formules du milieu :

\[\frac{2 + x_B}{2} = 5 \Rightarrow x_B = 8 \qquad \frac{1 + y_B}{2} = 3 \Rightarrow y_B = 5\]

Donc \(B(8\,;\,5)\).

7. Colinéarité (introduction)

Définition Vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou si l'un des deux est le vecteur nul).

Géométriquement, deux vecteurs colinéaires ont la même direction (parallèles).
u v = 2u même direction → colinéaires

Critère de colinéarité

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors :

\[\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \Leftrightarrow xy' - x'y = 0\]

La quantité \(xy' - x'y\) est appelée déterminant des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Exemple 1 : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Déterminant : \(2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires (on vérifie : \(\vec{v} = 2\vec{u}\)).
Exemple 2 : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Déterminant : \(1 \times 5 - 4 \times 3 = 5 - 12 = -7 \neq 0\).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Application — Gaines de ventilation

Un installateur thermique modélise deux gaines par les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\). Les deux gaines sont-elles parallèles ?

Déterminant : \(4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0\).

Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : les deux gaines sont bien parallèles.

Propriété — Alignement de trois points
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

8. Applications

Situation professionnelle — Forces en équilibre

Un technicien de maintenance doit vérifier l'équilibre d'un panneau suspendu par deux câbles. Les forces exercées par les câbles sont modélisées par les vecteurs \(\vec{F_1}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{F_2}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) (en kN).

Le poids du panneau est \(\vec{P}\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix}\) kN.

La résultante des forces est : \[\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{P} = \begin{pmatrix} -3+3+0 \\ 5+5-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}\] Le système est en équilibre.

9. Exercices d'entraînement

Exercice 1 : Soient \(A(1\,;\,4)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(-3\,;\,0)\).
  1. Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
  2. Calculer \(\vec{AB} + \vec{AC}\).
  3. Vérifier la relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Exercice 2 : Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\).
  1. Calculer la norme de \(\vec{u}\).
  2. Calculer les coordonnées et la norme de \(2\vec{u}\) et \(-\vec{u}\).
Exercice 3 : Soient \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(6\,;\,-1)\).
  1. Calculer la distance \(AB\).
  2. Déterminer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\).
Exercice 4 : Déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires.
  1. \(\vec{u}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
  2. \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Exercice 5 : Un artisan déplace un panneau de bois sur un plan (unité : mètre). Il effectue d'abord un déplacement \(\vec{d_1}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), puis un second déplacement \(\vec{d_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\).
  1. Calculer le déplacement total \(\vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2}\).
  2. Quelle distance totale le panneau a-t-il réellement parcourue (somme des normes) ?
  3. Quelle est la distance entre la position initiale et la position finale (norme du déplacement total) ?

L'essentiel à retenir

10. Erreurs fréquentes

❌
Confondre le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et le vecteur \(\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{AB}\) va de A vers B ; \(\overrightarrow{BA}\) va de B vers A. Ces deux vecteurs ont la même norme mais des sens opposés : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
Conseil : lire toujours le vecteur dans le sens de la flèche : de la lettre du bas (origine) vers la lettre du haut (extrémité).
❌
Calculer les coordonnées dans le mauvais sens
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}\), pas \(\binom{x_A - x_B}{y_A - y_B}\). Inverser les termes donne le vecteur opposé.
Conseil : toujours faire (point d'arrivée) − (point de départ), c'est-à-dire B − A pour \(\overrightarrow{AB}\).
❌
Oublier la racine carrée pour la norme
La norme d'un vecteur est \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\), pas \(x^2+y^2\). Oublier la racine carrée donne un résultat sans unité cohérente (une surface au lieu d'une longueur).
Conseil : la norme est une longueur, donc elle doit s'exprimer en cm, m, etc. — penser à prendre la racine carrée.
❌
Tester la colinéarité par les normes plutôt que par le déterminant
Deux vecteurs peuvent avoir la même norme sans être colinéaires. La condition de colinéarité est \(x \cdot y' - x' \cdot y = 0\), pas \(\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|\).
Conseil : utiliser toujours la formule du déterminant \(xy' - x'y\) pour tester la colinéarité.

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