C1 — Construire un vecteur ; vecteurs égaux, opposés, colinéaires
C2 — Somme de vecteurs et produit par un réel
C3 — Lire, représenter et calculer les coordonnées d’un vecteur ; coordonnées d’une somme et d’un produit par un réel
C4 — Reconnaître, à l’aide des coordonnées, des vecteurs égaux ou colinéaires ; en déduire parallélogramme, alignement ou parallélisme
C5 — Calculer la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé
Les codes C1 à C5 sont ceux du cours PDF, des exercices par capacités et des interrogations. Les coordonnées s'écrivent en ligne : \(\vec u=(x\,;\,y)\).
1. Un vecteur : direction, sens, norme (C1)
Situation professionnelle — Menuisier agenceur
Un menuisier agenceur doit déplacer un meuble de sa position initiale à sa position finale
dans une pièce. Ce déplacement est caractérisé par trois informations : la direction
(horizontale, verticale, oblique), le sens (vers la droite, vers la gauche...)
et la distance parcourue. C'est exactement ce que modélise un vecteur.
DéfinitionVecteur :
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
une direction (la droite qui le porte)
un sens (l'un des deux sens de parcours sur cette droite)
une norme (longueur, notée \(\|\vec{u}\|\))
Un vecteur est représenté par une flèche. On le note \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{AB}\), etc.
DéfinitionVecteur \(\vec{AB}\) :
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan. Le vecteur \(\vec{AB}\) est le vecteur qui translate
le point \(A\) sur le point \(B\). Son point de départ est \(A\) (origine) et son point d'arrivée est \(B\) (extrémité).
Attention
L'ordre des lettres est important : \(\vec{AB} \neq \vec{BA}\).
Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ont la même direction, la même norme, mais des sens opposés :
\(\vec{BA} = -\vec{AB}\).
DéfinitionVecteur nul :
Le vecteur \(\vec{AA}\) est appelé vecteur nul, noté \(\vec{0}\). Sa norme est nulle et il n'a ni direction ni sens défini.
Méthode — Construire un représentant à partir de ses caractéristiques
1
Placer la pointe du crayon sur l'origine choisie.
2
Suivre la direction (horizontale, verticale ou celle d'une droite donnée).
3
Aller dans le bon sens et reporter la norme en carreaux. Dessiner la pointe à l'arrivée.
On peut tracer un représentant depuis n'importe quel point : on déplace la flèche parallèlement à elle-même sans changer le vecteur.
Deux représentants du même vecteur \(\vec u\) : direction horizontale, sens vers la droite, norme 3. Un carreau = une unité.
DéfinitionVecteurs égaux, opposés, colinéaires :
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction, la même norme et des sens contraires. L'opposé de \(\vec u\) se note \(-\vec u\).
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction : leurs flèches sont parallèles. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
\(\vec v=\vec u\) ; \(\vec w=-\vec u\) ; \(\vec t=2\vec u\) est colinéaire à \(\vec u\) ; \(\vec s\) a la même longueur que \(\vec u\), mais pas la même direction.
Erreur fréquente — Même longueur ne suffit pas
Deux flèches de même longueur peuvent avoir des directions différentes : sur la figure, \(\vec s\) n'est ni égal ni colinéaire à \(\vec u\). Pour conclure, comparer d'abord la direction, puis le sens, puis la norme.
Application — Reconnaître sur un quadrillage
Quatre vecteurs sont tracés ci-dessous.
Un carreau représente une unité.
1. Quel vecteur est égal à \(\vec a\) ? 2. Quel vecteur est colinéaire à \(\vec a\), mais de sens contraire ? 3. Le vecteur \(\vec d\) est-il colinéaire à \(\vec a\) ?
1. \(\vec b=\vec a\) : même direction, même sens, même norme (3 carreaux à droite, 1 vers le haut).
2. \(\vec c\) : même direction que \(\vec a\), sens contraire, deux fois plus long. \(\vec c=-2\vec a\), donc \(\vec c\) est colinéaire à \(\vec a\).
3. Non. \(\vec d\) a la même longueur que \(\vec a\), mais il descend alors que \(\vec a\) monte : ce n'est pas la même direction.
Application — Un représentant ailleurs
Sur le quadrillage, tracer depuis \(P\) un représentant du vecteur \(\vec u\) : 3 carreaux vers la droite et 2 vers le haut. Nommer \(P'\) son extrémité. Tracer ensuite depuis \(Q\) le vecteur opposé \(-\vec u\) et nommer \(Q'\) son extrémité.
Un carreau représente une unité.
\(\overrightarrow{PP'}=\vec u\) et \(\overrightarrow{QQ'}=-\vec u\).
\(-\vec u\) garde la direction et la longueur de \(\vec u\), mais va dans l'autre sens : 3 carreaux vers la gauche et 2 vers le bas depuis \(Q\).
2. Construire une somme de vecteurs (C2)
Méthode — Bout à bout
1
Tracer \(\vec u\) depuis le point de départ.
2
Reporter \(\vec v\) à partir de l'extrémité de \(\vec u\).
3
La somme \(\vec u+\vec v\) va du départ initial à l'arrivée finale.
On trace \(\vec u\), puis \(\vec v\) depuis son extrémité : \(\vec u+\vec v\) va du départ à l'arrivée finale.
Propriété — Relation de Chasles
Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan :
\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]
Cette relation permet d'enchaîner les déplacements.
Méthode — Construire la somme graphiquement
Règle du parallélogramme :
Placer les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à partir d'un même point \(O\).
Construire le parallélogramme dont \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux côtés.
La diagonale issue de \(O\) représente le vecteur somme \(\vec{u} + \vec{v}\).
Exemple — Un trajet : aller de 3 carreaux vers la droite et 1 vers le haut, puis de 1 vers la gauche et 3 vers le haut, conduit au même point qu'un seul déplacement de 2 vers la droite et 4 vers le haut. La somme décrit le déplacement global ; elle ne donne pas la longueur du trajet parcouru.
Application — Enchaîner deux déplacements
Depuis \(A\), construire \(\vec u\) : 4 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. Construire ensuite \(\vec v\) : 2 vers la gauche et 3 vers le haut. Tracer la somme \(\vec u+\vec v\) et nommer \(B\) le point d'arrivée.
Un carreau représente une unité.
Arrivée : 2 carreaux à droite et 4 vers le haut de \(A\).
Depuis \(A\), on arrive en \(B\), 2 carreaux à droite et 4 au-dessus de \(A\) : \(\overrightarrow{AB}=\vec u+\vec v\).
3. Multiplier un vecteur par un réel (C2)
Définition — Produit d'un vecteur par un réel
Pour \(\vec u \neq \vec 0\) et \(k \neq 0\), le vecteur \(k\vec u\) :
a la même direction que \(\vec u\) ;
a le même sens si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\) ;
a une norme multipliée par \(|k|\) : \(\|k\vec u\| = |k| \times \|\vec u\|\).
Pour \(k = 0\), on obtient le vecteur nul.
\(2\vec u\) et \(-2\vec u\) gardent la direction de \(\vec u\) ; le signe fixe le sens, le nombre 2 double la longueur.
Exemple — Une flèche de 2 cm : si la flèche de \(\vec u\) mesure 2 cm, celle de \(3\vec u\) mesure 6 cm et garde le sens ; celle de \(-2\vec u\) mesure 4 cm et va en sens contraire.
Propriété — Produit et colinéarité
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : \(\vec v = k\vec u\).
Méthode — Construire une différence
\(\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v)\) : tracer \(\vec u\), puis l'opposé de \(\vec v\) bout à bout. L'ordre compte : \(\vec v-\vec u\) est l'opposé de \(\vec u-\vec v\).
\(\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)\) : on trace \(\vec u\), puis \(-\vec v\) bout à bout.
Application — Changer le sens et la longueur
On donne \(\vec u\) : 2 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. Depuis \(P\), tracer \(-2\vec u\). Depuis \(Q\), tracer \(\tfrac12\vec u\).
Un carreau représente une unité.
\(-2\vec u\) : 4 à gauche et 2 vers le bas ; \(\tfrac12\vec u\) : 1 à droite et un demi-carreau vers le haut.
\(-2\vec u\) : sens contraire et longueur doublée. \(\tfrac12\vec u\) : même sens, longueur divisée par 2.
4. Coordonnées d'un vecteur (C3)
DéfinitionCoordonnées d'un vecteur :
Dans un repère \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\), si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\),
alors le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées :
\[\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\]
Exemple : Soient \(A(2\,;\,5)\) et \(B(7\,;\,3)\).
\[\vec{AB}\,(7 - 2\,;\,3 - 5) = (5\,;\,-2)\]
Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((5\,;\,-2)\).
Application
Un installateur d'agencement déplace un meuble du point \(P(3\,;\,1)\) au point \(Q(7\,;\,5)\).
1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{PQ}\). 2. Quelle est la signification physique de ces coordonnées ?
2. Le meuble est déplacé de 4 unités vers la droite et de 4 unités vers le haut (par rapport à l'axe horizontal du plan).
Méthode — Lire ou représenter des coordonnées
Lire : depuis l'origine de la flèche, compter les carreaux horizontalement (\(+\) vers la droite, \(-\) vers la gauche), puis verticalement (\(+\) vers le haut, \(-\) vers le bas).
Représenter \(\vec w=(3\,;\,2)\) depuis un point \(C\) : avancer de 3 horizontalement, puis de 2 verticalement, et tracer la flèche de \(C\) au point atteint.
\(\vec w=(3\,;\,2)\) représenté depuis \(C\) : 3 horizontalement, puis 2 verticalement.
Application — Lire et tracer
1. Lire les coordonnées des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\). 2. Représenter depuis \(E\) le vecteur \(\vec t=(-2\,;\,1)\).
Repère orthonormé ; une graduation vaut une unité.
1. \(\vec u=(3\,;\,2)\) : 3 vers la droite, 2 vers le haut. \(\vec v=(2\,;\,-4)\) : 2 vers la droite, 4 vers le bas.
2. Depuis \(E\), 2 carreaux vers la gauche puis 1 vers le haut :
\(\vec t=(-2\,;\,1)\) : 2 vers la gauche, puis 1 vers le haut.
4.1 Coordonnées d'une somme et relation de Chasles
DéfinitionSomme de vecteurs :
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\) et
\(\vec{v}\,(x'\,;\,y')\) est le vecteur :
\[\vec{u} + \vec{v} = (x + x'\,;\,y + y')\]
Exemple : Un charpentier se déplace sur un chantier. Il va du point \(A\) au point \(B\),
puis du point \(B\) au point \(C\).
Si \(\vec{AB}\,(3\,;\,2)\) et \(\vec{BC}\,(-1\,;\,4)\),
alors le déplacement total est :
\[\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (3 + (-1)\,;\,2 + 4) = (2\,;\,6)\]
Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé : on soustrait les coordonnées, comme on les additionne pour la somme.
Exemple : \(\vec{u}\,(5\,;\,2)\) et \(\vec{v}\,(3\,;\,-1)\).
\[\vec{u} - \vec{v} = (5 - 3\,;\,2 - (-1)) = (2\,;\,3)\]
⚠️ Attention au signe : \(2 - (-1) = 2 + 1 = 3\).
Propriété — Chasles et différence
Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).
Autrement dit, une différence de deux vecteurs de même origine va de l'extrémité du vecteur soustrait vers celle de l'autre.
Application — Deux tirants sur un même point d'ancrage
Sur un plan d'atelier, \(\vec{u}\,(7\,;\,-2)\) et \(\vec{v}\,(4\,;\,3)\) partent du même point. Calculer \(\vec{u} - \vec{v}\), puis \(\vec{v} - \vec{u}\).
Les deux résultats sont opposés : \(\vec{v} - \vec{u} = -(\vec{u} - \vec{v})\). L'ordre compte.
4.3 Coordonnées du produit par un réel
DéfinitionCoordonnées du produit par un réel :
Si \(k\) est un réel et \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\), alors :
\[k\vec{u} = (kx\,;\,ky)\]
Exemple : Soit \(\vec{u}\,(2\,;\,-3)\).
\(3\vec{u} = (6\,;\,-9)\) (même sens, 3 fois plus long)
\(-2\vec{u} = (-4\,;\,6)\) (sens opposé, 2 fois plus long)
\(0{,}5\vec{u} = (1\,;\,-1{,}5)\) (même sens, 2 fois plus court)
Application — Déplacement à l'écran
Dans un jeu vidéo (repère en pixels), un personnage subit le déplacement \(\vec{u}\,(5\,;\,-3)\). Calculer le déplacement \(2\vec{u}\), puis le déplacement opposé \(-\vec{u}\).
\(2\vec{u} = (2\times 5\,;\,2\times(-3)) = (10\,;\,-6)\) : même sens, deux fois plus long.
\(-\vec{u} = (-5\,;\,3)\) : même longueur, mais sens opposé.
Méthode — Placer un point sur une droite
Placer le point \(M\) tel que \(\vec{AM} = k\,\vec{AB}\) :
1
Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
2
Multiplier par \(k\) : \(\vec{AM} = k\,\vec{AB}\).
3
Repartir de \(A\) et ajouter : \(M\left(x_A + k(x_B - x_A)\,;\,y_A + k(y_B - y_A)\right)\).
⚠️ L'étape 3 est celle qu'on oublie : \(k\,\vec{AB}\) donne un vecteur, pas un point. Il faut l'ajouter aux coordonnées de \(A\).
Exemple : \(A(2\,;\,5)\) et \(B(11\,;\,11)\). Placer \(M\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\), puis \(N\) tel que \(\vec{AN} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}\).
\(\vec{AB}\,(11-2\,;\,11-5) = (9\,;\,6)\)
\(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}(9\,;\,6) = (3\,;\,2)\), donc \(M(2+3\,;\,5+2) = M(5\,;\,7)\).
\(\vec{AN} = \dfrac{2}{3}(9\,;\,6) = (6\,;\,4)\), donc \(N(2+6\,;\,5+4) = N(8\,;\,9)\).
\(M\) et \(N\) partagent \([AB]\) en trois parties égales : \(\vec{AM} = \vec{MN} = \vec{NB} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).
Application — Poser un taquet au tiers d'une tringle
Sur un plan d'agencement, une tringle va de \(A(-1\,;\,4)\) à \(B(5\,;\,10)\). Un menuisier doit poser un taquet au point \(M\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\). Déterminer les coordonnées de \(M\).
\(\vec{AB}(5-(-1)\,;\,10-4) = (6\,;\,6)\)
\(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}(6\,;\,6) = (2\,;\,2)\)
On repart de \(A\) : \(M(-1+2\,;\,4+2) = \mathbf{M(1\,;\,6)}\).
⚠️ La réponse n'est pas \((2\,;\,2)\) : c'est le vecteur, pas le point.
5. Égalité, parallélogramme, colinéarité (C4)
Propriété
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
\[\vec{AB} = \vec{CD} \Leftrightarrow \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}\]
Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Exemple : Soient \(A(1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,7)\), \(C(5\,;\,5)\) et \(D(2\,;\,1)\).
\(\vec{AB}\,(3\,;\,4)\) et \(\vec{DC}\,(3\,;\,4)\)
Les coordonnées sont identiques, donc \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Conséquence : le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
Propriété — Parallélogramme
Un quadrilatère non aplati \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Attention à l'ordre des lettres : c'est \(\vec{DC}\), pas \(\vec{CD}\).
Application — Plateau de table
Un menuisier repère les quatre coins d'un plateau : \(A(2\,;\,1)\), \(B(6\,;\,2)\), \(C(7\,;\,5)\) et \(D(3\,;\,4)\). Vérifier que \(ABCD\) est un parallélogramme.
\(\overrightarrow{AB}\,(6-2\,;\,2-1) = (4\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{DC}\,(7-3\,;\,5-4) = (4\,;\,1)\).
Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), \(ABCD\) est bien un parallélogramme.
Colinéarité avec les coordonnées
Méthode — Tester la colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre (voir la partie 3).
1
Chercher un même coefficient \(k\) qui fait passer des coordonnées de l'un à celles de l'autre, pour les deux coordonnées.
2
Ou bien calculer \(xy' - x'y\) : les vecteurs sont colinéaires si le résultat vaut 0.
Exemple : \((6\,;\,9) = 1{,}5 \times (4\,;\,6)\), donc \((4\,;\,6)\) et \((6\,;\,9)\) sont colinéaires. En revanche, \((4\,;\,6)\) et \((6\,;\,8)\) ne le sont pas : le coefficient 1,5 donnerait 9, pas 8, en deuxième coordonnée. Éviter de diviser par une coordonnée nulle.
Critère de colinéarité
Si \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}\,(x'\,;\,y')\), alors :
La quantité \(xy' - x'y\) est appelée déterminant des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Exemple 1 : \(\vec{u}\,(2\,;\,3)\) et \(\vec{v}\,(4\,;\,6)\).
Déterminant : \(2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires (on vérifie : \(\vec{v} = 2\vec{u}\)).
Exemple 2 : \(\vec{u}\,(1\,;\,4)\) et \(\vec{v}\,(3\,;\,5)\).
Déterminant : \(1 \times 5 - 4 \times 3 = 5 - 12 = -7 \neq 0\).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Application — Gaines de ventilation
Un installateur thermique modélise deux gaines par les vecteurs \(\vec{u}\,(4\,;\,6)\) et \(\vec{v}\,(6\,;\,9)\). Les deux gaines sont-elles parallèles ?
Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : les deux gaines sont bien parallèles.
Propriété — Alignement de trois points
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs
\(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
Propriété — Parallélisme de deux droites
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
Exemple : \(A(0\,;\,1)\), \(B(2\,;\,4)\), \(C(3\,;\,0)\) et \(D(7\,;\,6)\).
\(\vec{AB}\,(2\,;\,3)\) et \(\vec{CD}\,(4\,;\,6)\). Le même coefficient 2 convient pour les deux coordonnées : \(\vec{CD} = 2\,\vec{AB}\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
6. Norme d'un vecteur et milieu (C5)
Norme d'un vecteur — dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité sur les deux axes), si \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\), alors la norme de \(\vec{u}\) est :
\[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
C'est la longueur d'un représentant de \(\vec u\), obtenue par le théorème de Pythagore. Avec des échelles différentes sur les axes, cette formule ne donne pas directement la longueur réelle.
Propriété — Distance entre deux points
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :
\[AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Exemple : Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).
\(\vec{AB}\,(3\,;\,4)\)
\[AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
La distance \(AB\) est de 5 unités.
Situation professionnelle — Charpentier
Sur un plan à l'échelle (1 unité = 1 m), un charpentier repère deux points d'ancrage
\(P(2\,;\,1)\) et \(Q(8\,;\,9)\) sur une charpente.
La longueur de la poutre reliant ces deux points est :
Sur un plan d'agencement, deux coins d'une pièce sont placés en \(A(1\,;\,4)\) et \(B(7\,;\,9)\). Calculer la distance \(AB\) (en unités du repère) pour estimer la longueur d'une barre d'étagère diagonale.
Exemple : Soient \(A(3\,;\,7)\) et \(B(9\,;\,1)\).
Le milieu \(M\) de \([AB]\) a pour coordonnées :
\[M\left(\frac{3+9}{2}\,;\,\frac{7+1}{2}\right) = M(6\,;\,4)\]
Propriété
Caractérisation vectorielle du milieu
Dire que \(M\) est le milieu de \([AB]\), c'est dire que \(M\) est sur le segment et à égale distance de \(A\) et de \(B\). Avec les vecteurs, cela s'écrit de deux façons équivalentes :
La première dit que l'on parcourt le même déplacement de \(A\) à \(M\) que de \(M\) à \(B\). La seconde dit que l'on parcourt la moitié du chemin de \(A\) vers \(B\).
Attention : \(\vec{AM} = \vec{BM}\) est faux — ces deux vecteurs sont opposés, pas égaux : \(\vec{BM} = -\vec{MB}\).
À toi de jouer
Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(7\,;\,10)\), et \(M\) le milieu de \([AB]\).
1. Calculer les coordonnées de \(M\). 2. Vérifier que \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}\) en calculant les deux vecteurs.
Un technicien de maintenance doit vérifier l'équilibre d'un panneau suspendu par deux câbles.
Les forces exercées par les câbles sont modélisées par les vecteurs
\(\vec{F_1}\,(-3\,;\,5)\) et
\(\vec{F_2}\,(3\,;\,5)\) (en kN).
Le poids du panneau est \(\vec{P}\,(0\,;\,-10)\) kN.
La résultante des forces est :
\[\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{P} = (-3+3+0\,;\,5+5-10) = (0\,;\,0) = \vec{0}\]
Le système est en équilibre.
Remarque — Modèle du point matériel
Pour un point matériel, une résultante nulle signifie une accélération nulle : s'il est au repos, il reste au repos. Pour un solide étendu, la somme des forces ne suffit pas : il faut aussi étudier leur effet de rotation. Ici, les forces sont modélisées en un point.
8. Exercices d'entraînement
Exercice 1 : Soient \(A(1\,;\,4)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(-3\,;\,0)\).
Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
Calculer \(\vec{AB} + \vec{AC}\).
Vérifier la relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
\(\vec{AB}\,(5-1\,;\,2-4) = (4\,;\,-2)\)
et \(\vec{AC}\,(-3-1\,;\,0-4) = (-4\,;\,-4)\)
Déterminant : \(4 \times 3 - (-1) \times 8 = 12 + 8 = 20 \neq 0\).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Exercice 5 : Un artisan déplace un panneau de bois sur un plan (unité : mètre).
Il effectue d'abord un déplacement \(\vec{d_1}\,(3\,;\,2)\),
puis un second déplacement \(\vec{d_2}\,(-1\,;\,4)\).
Calculer le déplacement total \(\vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2}\).
Quelle distance totale le panneau a-t-il réellement parcourue (somme des normes) ?
Quelle est la distance entre la position initiale et la position finale (norme du déplacement total) ?
\(\vec{d} = (3+(-1)\,;\,2+4) = (2\,;\,6)\)
\(\|\vec{d_1}\| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) m et \(\|\vec{d_2}\| = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\) m.
Distance totale parcourue : \(\sqrt{13} + \sqrt{17} \approx 7{,}73\) m.
\(\|\vec{d}\| = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\) m.
La distance directe est plus courte que la distance parcourue.
L'essentiel à retenir
C1 — Un vecteur a une direction, un sens et une norme. Pour tracer un représentant : origine, direction, sens, puis norme en carreaux. Égaux : mêmes direction, sens et norme ; opposés : sens contraire ; colinéaires : même direction.
C2 — Somme : \(\vec u\) puis \(\vec v\) bout à bout (Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)). Produit \(k\vec u\) : même direction, sens selon le signe de \(k\), norme multipliée par \(|k|\).
C3 — Coordonnées de \(\vec{AB}\) : \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\), arrivée moins départ. Somme : \((x+x'\,;\,y+y')\) ; produit : \((kx\,;\,ky)\).
C4 — Colinéarité : même coefficient pour les deux coordonnées, ou \(xy'-x'y = 0\). Elle sert pour l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites.
C5 — Norme, dans un repère orthonormé : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\). Milieu : \(M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
9. Erreurs fréquentes
❌
Confondre le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et le vecteur \(\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{AB}\) va de A vers B ; \(\overrightarrow{BA}\) va de B vers A. Ces deux vecteurs ont la même norme mais des sens opposés : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Conseil : lire toujours le vecteur dans le sens de la flèche : de la lettre du bas (origine) vers la lettre du haut (extrémité).
❌
Calculer les coordonnées dans le mauvais sens
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\), pas \((x_A - x_B\,;\,y_A - y_B)\). Inverser les termes donne le vecteur opposé. Conseil : toujours faire (point d'arrivée) − (point de départ), c'est-à-dire B − A pour \(\overrightarrow{AB}\).
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Oublier la racine carrée pour la norme
La norme d'un vecteur est \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\), pas \(x^2+y^2\). Oublier la racine carrée donne un résultat sans unité cohérente (une surface au lieu d'une longueur). Conseil : la norme est une longueur, donc elle doit s'exprimer en cm, m, etc. — penser à prendre la racine carrée.
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Tester la colinéarité par les normes
Deux vecteurs peuvent avoir la même norme sans être colinéaires. Ce qui compte, c'est la direction : \(\vec v = k\vec u\), ou \(xy' - x'y = 0\). L'égalité \(\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|\) ne prouve rien. Conseil : chercher un même coefficient pour les deux coordonnées, ou calculer \(xy' - x'y\).