🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer un taux de variation entre deux points
Déterminer le nombre dérivé d'une fonction en un point et l'interpréter graphiquement
Connaître les dérivées des fonctions usuelles
Utiliser les règles de dérivation (somme, produit par un scalaire)
Étudier le sens de variation d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée
Dresser un tableau de variations
Résoudre des problèmes d'optimisation

Fiche résumé — Fonction dérivée et étude des variations

Chapitre 6 | 1ère Bac Pro | Mathématiques

Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) mesure l'évolution moyenne :

\(\tau = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)

C'est la pente de la droite passant par \(A(a;f(a))\) et \(B(b;f(b))\).

Piège : Le taux de variation est une information moyenne entre deux points, pas une information en un point précis.

\(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

\(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).

Équation de la tangente :

\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)

\(k\)	\(0\)
\(ax+b\)	\(a\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(\frac{1}{x}\)	\(-\frac{1}{x^2}\)
Hors programme (Terminale / poursuite d'études) :
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Somme	\((u+v)' = u' + v'\)
Produit par \(k\)	\((ku)' = ku'\)

Astuce : On dérive chaque terme séparément, puis on additionne.

Piège : \(f'(a) = 0\) ne suffit pas pour conclure à un extremum. Il faut aussi que \(f'\) change de signe en \(a\).

Si \(f'(a) = 0\) et \(f'\) change de signe :

Astuce : Le coût marginal \(C'(x)\) représente le coût approximatif d'une unité supplémentaire.

1	Dériver la fonction \(f\) en utilisant le tableau des dérivées et les règles
2	Résoudre \(f'(x) = 0\) pour trouver les valeurs critiques
3	Étudier le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle
4	Dresser le tableau de variations avec le signe de \(f'\) et le sens de variation de \(f\)
5	Conclure : sens de variation, extremums, valeur optimale