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Exercices – Chapitre 06 – Fonction dérivée et étude des variations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

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Rappels essentiels

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Taux de variation – calcul direct Socle

Soit \(f(x) = x^2\).

  1. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 3\).
  2. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 2{,}5\).
  3. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 2{,}1\), puis entre \(x = 2\) et \(x = 2{,}01\).
  1. \(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{9-1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)
  2. \(\dfrac{f(2{,}5)-f(2)}{2{,}5-2} = \dfrac{6{,}25-4}{0{,}5} = \dfrac{2{,}25}{0{,}5} = 4{,}5\)
  3. \(\dfrac{f(2{,}1)-f(2)}{0{,}1} = \dfrac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1\) et \(\dfrac{f(2{,}01)-f(2)}{0{,}01} = \dfrac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01\).
Exercice 1-2 Nombre dérivé par le calcul Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2\).

  1. En utilisant les résultats de l'exercice 1-1, conjecturer le nombre dérivé de \(f\) en \(2\).
  2. De même, calculer les taux de variation de \(f\) entre 5 et 5,1, puis entre 5 et 5,01. Conjecturer \(f'(5)\).
  1. Les taux 4,5 ; 4,1 ; 4,01 se dirigent vers 4 : on conjecture \(f'(2)=4\), ce que confirme la formule \(f'(x) = 2x\).
  2. \(\dfrac{26{,}01-25}{0{,}1} = 10{,}1\) et \(\dfrac{25{,}1001-25}{0{,}01} = 10{,}01\). Les taux se dirigent vers 10 : \(f'(5)=10\).
Exercice 1-3 Dérivées de fonctions simples Socle

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3x + 7\)
  2. \(g(x) = x^2\)
  3. \(h(x) = 5x^2\)
  4. \(k(x) = 8\)
  5. \(m(x) = -2x + 4\)
  6. \(p(x) = -3x^2\)
  1. \(f'(x) = 3\)
  2. \(g'(x) = 2x\)
  3. \(h'(x) = 10x\) (on multiplie la dérivée de \(x^2\) par \(5\))
  4. \(k'(x) = 0\) (dérivée d'une constante)
  5. \(m'(x) = -2\)
  6. \(p'(x) = -6x\) (on multiplie la dérivée de \(x^2\) par \(-3\))
Exercice 1-4 Dérivées de sommes Socle

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = x^2 + 3x - 1\)
  2. \(g(x) = 2x^2 - 5x + 8\)
  3. \(h(x) = -x^2 + 6x + 2\)
  4. \(k(x) = 3x^2 - 4x + 7\)

On dérive terme à terme :

  1. \(f'(x) = 2x + 3\)
  2. \(g'(x) = 4x - 5\)
  3. \(h'(x) = -2x + 6\)
  4. \(k'(x) = 6x - 4\)
Exercice 1-5 Signe de la dérivée et sens de variation (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).

  1. Étape 1 — Calculer la dérivée.
    Rappel : la dérivée de \(ax^2\) est \(2ax\), la dérivée de \(bx\) est \(b\), la dérivée d'une constante est \(0\).
    Compléter : \(f'(x) = \ldots\)
  2. Étape 2 — Résoudre \(f'(x) = 0\).
    Résoudre l'équation du premier degré obtenue.
  3. Étape 3 — Signe de \(f'(x)\).
    Tester une valeur à gauche et une valeur à droite de la solution trouvée. En déduire les intervalles où \(f'(x) > 0\) (croissante) et \(f'(x) < 0\) (décroissante).
  4. Étape 4 — Tableau de variations.
    Dresser le tableau de variations. Calculer la valeur de \(f\) au sommet.
  1. \(f'(x) = 2x - 6\)
  2. \(2x - 6 = 0 \iff 2x = 6 \iff x = 3\)
    • Pour \(x = 0\) (à gauche de 3) : \(f'(0) = -6 < 0\), donc \(f\) est décroissante.
    • Pour \(x = 5\) (à droite de 3) : \(f'(5) = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante.
  4. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\).
    Le minimum est atteint en \(x=3\) : \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\).
Exercice 1-6 Équation de la tangente (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

  1. Étape 1 — Dériver.
    Calculer \(f'(x)\).
  2. Étape 2 — Valeurs en \(x = 1\).
    Calculer \(f(1)\) et \(f'(1)\).
    Rappel : \(f(1)\) = on remplace \(x\) par 1 dans \(f(x)\) ; \(f'(1)\) = on remplace \(x\) par 1 dans \(f'(x)\).
  3. Étape 3 — Tangente en \(x = 1\).
    Formule : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Remplacer \(a\) par \(1\), puis simplifier.
  4. Étape 4 — Tangente en \(x = 3\).
    Même méthode : calculer \(f(3)\), \(f'(3)\), puis écrire l'équation de la tangente.
  1. \(f'(x) = 2x - 4\)
  2. \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f'(1) = 2 - 4 = -2\)
  3. Tangente en \(x=1\) : \(y = f'(1)(x-1)+f(1) = -2(x-1)+0 = -2x+2\).
  4. \(f(3) = 9-12+3=0\) et \(f'(3) = 6-4=2\).
    Tangente en \(x=3\) : \(y = 2(x-3)+0 = 2x-6\).
Exercice 1-7 Étude complète d'une fonction polynôme (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = -x^2 + 8x - 12\).

  1. Étape 1 — Dériver.
    Calculer \(f'(x)\). Rappel : la dérivée de \(-x^2\) est \(-2x\).
  2. Étape 2 — Annuler la dérivée.
    Résoudre \(f'(x) = 0\).
  3. Étape 3 — Signe de la dérivée et tableau de variations.
    Compléter : si \(x < \ldots\), \(f'(x) > 0\) (croissante) ; si \(x > \ldots\), \(f'(x) < 0\) (décroissante).
    Calculer les valeurs aux bornes : \(f(0)\), \(f(\ldots)\) (sommet), \(f(8)\).
  4. Étape 4 — Conclusion.
    Indiquer le maximum de \(f\) et la valeur de \(x\) pour laquelle il est atteint.
  1. \(f'(x) = -2x + 8\)
  2. \(-2x+8=0 \iff x=4\).
    • Si \(x < 4\) : \(f'(x)>0\), \(f\) croissante.
    • Si \(x > 4\) : \(f'(x)<0\), \(f\) décroissante.
    Valeurs : \(f(0) = -12\), \(f(4) = -16+32-12 = 4\), \(f(8) = -64+64-12 = -12\).
  4. Le maximum de \(f\) est \(4\), atteint pour \(x = 4\).
Exercice 1-8 Lecture graphique de la dérivée (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

On donne le tableau de signes de \(f'(x)\) :

\(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)

On sait que \(f(-1)=5\) et \(f(2)=-4\).

  1. Étape 1 — Sens de variation.
    Rappel : \(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante ; \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante.
    Compléter : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,\ldots]\), décroissante sur \([\ldots\,;\,\ldots]\), croissante sur \([\ldots\,;\,+\infty[\).
  2. Étape 2 — Extremums.
    Un maximum local est un point où \(f\) passe de croissante à décroissante. Un minimum local est l'inverse. Identifier les extremums.
  3. Étape 3 — Solutions de \(f(x) = 0\).
    Le maximum vaut \(5 > 0\) et le minimum vaut \(-4 < 0\). Que peut-on en déduire ?
    • \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) (car \(f'>0\))
    • \(f\) est décroissante sur \([-1\,;\,2]\) (car \(f'<0\))
    • \(f\) est croissante sur \([2\,;\,+\infty[\) (car \(f'>0\))
  2. \(f\) admet un maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=5\) et un minimum local en \(x=2\) : \(f(2)=-4\).
  3. Sur \([-1\,;\,2]\), la fonction descend de \(5\) à \(-4\) : sa courbe passe une seule fois par la hauteur 0, donc l'équation \(f(x) = 0\) a une solution entre \(-1\) et \(2\). Le tableau ne donne pas les valeurs de \(f\) loin de \(-1\) et de \(2\) : on ne peut rien dire d'une autre solution.

Exercices d'application

Exercice 2-1 Calcul de dérivées et applications Standard

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, puis déterminer \(f'(2)\) dans chaque cas.

  1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 6x - 4\)
  3. \(h(x) = 2x^2 - 7x + 3\)
  1. \(f'(x) = 6x - 5\). \(f'(2) = 12 - 5 = 7\).
  2. \(g'(x) = -2x + 6\). \(g'(2) = -4 + 6 = 2\).
  3. \(h'(x) = 4x - 7\). \(h'(2) = 8 - 7 = 1\).
Exercice 2-2 Étude des variations d'une fonction Standard

Soit \(f(x) = -2x^2 + 12x - 10\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) et étudier le signe de \(f'(x)\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\;;\;8]\). Calculer \(f(0)\), \(f(3)\) et \(f(8)\).
  4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 1\).
  1. \(f'(x) = -4x + 12\)
  2. \(-4x + 12 = 0 \iff x = 3\).
    • Si \(x < 3\) : \(f'(x) > 0\), \(f\) est croissante.
    • Si \(x > 3\) : \(f'(x) < 0\), \(f\) est décroissante.
  3. \(f(0) = -10\), \(f(3) = -18 + 36 - 10 = 8\), \(f(8) = -128 + 96 - 10 = -42\).
    \(f\) est croissante sur \([0\;;\;3]\), puis décroissante sur \([3\;;\;8]\). Le maximum est \(8\), atteint en \(x = 3\).
  4. \(f(1) = -2 + 12 - 10 = 0\) et \(f'(1) = -4 + 12 = 8\).
    Tangente en \(x = 1\) : \(y = 8(x - 1) + 0 = 8x - 8\).
Exercice 2-3 Optimisation du rendement — Installateur thermique Standard

Un installateur thermique règle le débit d'eau \(x\) (en litres par minute) d'un plancher chauffant. La puissance thermique \(P\) (en watts) transmise au sol est modélisée par :

\[P(x) = -5x^2 + 80x + 100 \quad \text{pour l'étude mathématique sur } x \in [0\;;\;20]\]
  1. Calculer \(P'(x)\).
  2. Résoudre \(P'(x) = 0\) et étudier le signe de \(P'(x)\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(P\) sur \([0\;;\;20]\). En déduire le débit optimal et la puissance maximale, puis commenter la valeur obtenue en \(x=20\).
  4. Le client souhaite une puissance d'au moins 400 W. Résoudre \(P(x) \geq 400\) et indiquer la plage de débits acceptables.
  1. \(P'(x) = -10x + 80\)
  2. \(-10x + 80 = 0 \iff x = 8\).
    • Si \(x < 8\) : \(P'(x) > 0\), \(P\) est croissante.
    • Si \(x > 8\) : \(P'(x) < 0\), \(P\) est décroissante.
  3. \(P(0) = 100\), \(P(8) = -320 + 640 + 100 = 420\), \(P(20) = -2\,000 + 1\,600 + 100 = -300\).
    Mathématiquement, \(P\) est croissante sur \([0\;;\;8]\) puis décroissante sur \([8\;;\;20]\). Le débit optimal est 8 L/min, pour une puissance maximale de 420 W.
    En revanche, \(-300\) W ne peut pas représenter une puissance transmise au sol. La formule cesse donc d'être un modèle physique valable avant 20 L/min : \(P(17) = 15\) et \(P(18) = -80\) : la formule devient négative entre 17 et 18 L/min. Cette limite n'affecte ni l'optimum ni la plage demandée à la question suivante.
  4. \(P(x) \geq 400 \iff -5x^2 + 80x + 100 \geq 400 \iff -5x^2 + 80x - 300 \geq 0 \iff x^2 - 16x + 60 \leq 0\).
    On cherche deux nombres de somme \(16\) et de produit \(60\) : \(6\) et \(10\) conviennent, donc \(x^2 - 16x + 60 = (x-6)(x-10)\).
    Ce produit est négatif ou nul entre ses racines \(6\) et \(10\) (parabole tournée vers le haut).
    \(P(x) \geq 400\) pour \(x \in [6\;;\;10]\). Le débit doit être compris entre 6 et 10 L/min.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Optimisation – Aire maximale Approfondissement

Un menuisier dispose de \(60\) cm de baguette pour encadrer un rectangle. Il souhaite déterminer les dimensions qui donnent, pour ce périmètre de \(60\) cm, l'aire maximale.

  1. On note \(x\) la largeur du rectangle (en cm). Exprimer la longueur en fonction de \(x\).
  2. Exprimer l'aire \(A(x)\) en fonction de \(x\).
  3. Calculer \(A'(x)\) et déterminer la valeur de \(x\) qui rend l'aire maximale.
  4. Quelle est la forme du rectangle d'aire maximale ? Calculer cette aire.
  1. Périmètre = \(2(x + L) = 60\), donc \(L = 30 - x\).
  2. \(A(x) = x \times (30-x) = 30x - x^2\), avec \(0 < x < 30\).
  3. \(A'(x) = 30 - 2x\).
    \(A'(x) = 0 \iff x = 15\).
    \(A'(x) > 0\) pour \(x < 15\) (croissante) et \(A'(x) < 0\) pour \(x > 15\) (décroissante).
    L'aire est maximale pour \(x = 15\) cm.
  4. Si \(x = 15\), alors \(L = 30 - 15 = 15\). Le rectangle est un carré de côté \(15\) cm.
    Aire maximale : \(A(15) = 15 \times 15 = 225\) cm².
Exercice 3-2Comparer deux évolutionsApprofondissement
  1. On donne f(x) = x² − 8x + 25 et g(x) = 2x + 1 sur [0 ; 8]. Calculer les dérivées.
  2. Étudier les variations de f et de g. Donner les extremums de f sur l’intervalle.
  3. Vérifier f(x) − g(x) = (x − 4)(x − 6), puis déterminer quand f(x) ≤ g(x).
  4. Tracer les deux courbes avec un outil numérique et sauvegarder le fichier. Contrôler les résultats.

f′(x) = 2x − 8 ; g′(x) = 2. f décroît de 25 à 9 sur [0 ; 4], puis croît de 9 à 25 sur [4 ; 8]. Minimum 9 en 4 ; maximum 25 aux deux bornes. g est croissante. f − g = x² − 10x + 24 = (x − 4)(x − 6). f ≤ g pour x ∈ [4 ; 6]. Intersections (4 ; 9) et (6 ; 13).

Exercice 3-3Section d’une gouttièreApprofondissement
  1. Une bande de tôle de 32 cm de largeur est pliée verticalement de chaque côté sur une hauteur x. Exprimer la largeur du fond et l’aire A(x) de la section.
  2. Préciser les valeurs possibles de x pour une section non aplatie.
  3. Développer A(x), calculer A′(x) et étudier les variations.
  4. Donner les dimensions maximisant l’aire et calculer cette aire.

Le fond mesure 32 − 2x. A(x) = x(32 − 2x) = 32x − 2x², pour 0 < x < 16. A′(x) = 32 − 4x, positive avant 8 et négative après. A croît puis décroît : maximum A(8) = 128 cm², pour une hauteur de 8 cm et un fond de 16 cm.

Exercice 3-4 Problème de synthèse – Bénéfice d'un artisan Approfondissement

Un technicien en agencement vend des meubles de rangement. Pour \(x\) meubles vendus par mois (\(1 \leq x \leq 15\)), le bénéfice (en euros) est modélisé par :

\[B(x) = -2x^2 + 40x - 50\]
  1. Calculer \(B(1)\) et \(B(15)\). L'artisan est-il rentable pour ces deux valeurs ?
  2. Calculer \(B'(x)\) et étudier le sens de variation de \(B\).
  3. Pour quel nombre de meubles vendus le bénéfice est-il maximal ? Calculer ce bénéfice.
  4. À l’aide d’un outil graphique ou numérique, déterminer quand \(B(x) \geq 0\). Pour quelles quantités l'artisan est-il rentable ?
  1. \(B(1) = -2+40-50 = -12 < 0\) : pas rentable.
    \(B(15) = -450+600-50 = 100 > 0\) : rentable.
  2. \(B'(x) = -4x+40\).
    \(B'(x)=0 \iff x=10\).
    \(B'(x)>0\) si \(x<10\) : \(B\) croissante.
    \(B'(x)<0\) si \(x>10\) : \(B\) décroissante.
  3. Le bénéfice est maximal pour \(x=10\) meubles.
    \(B(10) = -200+400-50 = 150\) €.
  4. Un solveur numérique donne les zéros approchés 1,3397 et 18,6603. La parabole est tournée vers le bas : B est positive entre les deux. Sur [1 ; 15], les quantités entières rentables sont donc de 2 à 15. Vérification au seuil : B(1) = −12 et B(2) = 22.