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Exercices – Chapitre 06 – Fonction dérivée et étude des variations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

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Rappels essentiels

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Taux de variation – calcul direct Socle

Soit \(f(x) = x^2\).

  1. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 3\).
  2. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 2{,}5\).
  3. Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 2+h\). Simplifier.
  1. \(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{9-1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)
  2. \(\dfrac{f(2{,}5)-f(2)}{2{,}5-2} = \dfrac{6{,}25-4}{0{,}5} = \dfrac{2{,}25}{0{,}5} = 4{,}5\)
  3. \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4+4h+h^2-4}{h} = \dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h\)
Exercice 2 Nombre dérivé par le calcul Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2\).

  1. En utilisant le résultat de l'exercice 1 (question 3), déterminer le nombre dérivé de \(f\) en \(2\).
  2. De même, calculer \(f'(5)\) en passant par le taux de variation \(\dfrac{f(5+h)-f(5)}{h}\).
  1. On a trouvé que le taux de variation vaut \(4+h\). Quand \(h\) tend vers \(0\), on obtient \(f'(2)=4\).
  2. \(\dfrac{f(5+h)-f(5)}{h} = \dfrac{(5+h)^2-25}{h} = \dfrac{25+10h+h^2-25}{h} = \dfrac{10h+h^2}{h} = 10+h\).
    Quand \(h\) tend vers \(0\) : \(f'(5)=10\).
Exercice 3 Dérivées de fonctions simples Socle

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3x + 7\)
  2. \(g(x) = x^2\)
  3. \(h(x) = 5x^2\)
  4. \(k(x) = 8\)
  5. \(m(x) = -2x + 4\)
  6. \(p(x) = -3x^2\)
  1. \(f'(x) = 3\)
  2. \(g'(x) = 2x\)
  3. \(h'(x) = 10x\) (on multiplie la dérivée de \(x^2\) par \(5\))
  4. \(k'(x) = 0\) (dérivée d'une constante)
  5. \(m'(x) = -2\)
  6. \(p'(x) = -6x\) (on multiplie la dérivée de \(x^2\) par \(-3\))
Exercice 4 Dérivées de sommes Socle

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = x^2 + 3x - 1\)
  2. \(g(x) = 2x^2 - 5x + 8\)
  3. \(h(x) = -x^2 + 6x + 2\)
  4. \(k(x) = 3x^2 - 4x + 7\)

On dérive terme à terme :

  1. \(f'(x) = 2x + 3\)
  2. \(g'(x) = 4x - 5\)
  3. \(h'(x) = -2x + 6\)
  4. \(k'(x) = 6x - 4\)
Exercice 5 Signe de la dérivée et sens de variation (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).

  1. Étape 1 — Calculer la dérivée.
    Rappel : la dérivée de \(ax^2\) est \(2ax\), la dérivée de \(bx\) est \(b\), la dérivée d'une constante est \(0\).
    Compléter : \(f'(x) = \ldots\)
  2. Étape 2 — Résoudre \(f'(x) = 0\).
    Résoudre l'équation du premier degré obtenue.
  3. Étape 3 — Signe de \(f'(x)\).
    Tester une valeur à gauche et une valeur à droite de la solution trouvée. En déduire les intervalles où \(f'(x) > 0\) (croissante) et \(f'(x) < 0\) (décroissante).
  4. Étape 4 — Tableau de variations.
    Dresser le tableau de variations. Calculer la valeur de \(f\) au sommet.
  1. \(f'(x) = 2x - 6\)
  2. \(2x - 6 = 0 \iff 2x = 6 \iff x = 3\)
    • Pour \(x = 0\) (à gauche de 3) : \(f'(0) = -6 < 0\), donc \(f\) est décroissante.
    • Pour \(x = 5\) (à droite de 3) : \(f'(5) = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante.
  4. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\).
    Le minimum est atteint en \(x=3\) : \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\).
Exercice 6 Équation de la tangente (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

  1. Étape 1 — Dériver.
    Calculer \(f'(x)\).
  2. Étape 2 — Valeurs en \(x = 1\).
    Calculer \(f(1)\) et \(f'(1)\).
    Rappel : \(f(1)\) = on remplace \(x\) par 1 dans \(f(x)\) ; \(f'(1)\) = on remplace \(x\) par 1 dans \(f'(x)\).
  3. Étape 3 — Tangente en \(x = 1\).
    Formule : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Remplacer \(a\) par \(1\), puis simplifier.
  4. Étape 4 — Tangente en \(x = 3\).
    Même méthode : calculer \(f(3)\), \(f'(3)\), puis écrire l'équation de la tangente.
  1. \(f'(x) = 2x - 4\)
  2. \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f'(1) = 2 - 4 = -2\)
  3. Tangente en \(x=1\) : \(y = f'(1)(x-1)+f(1) = -2(x-1)+0 = -2x+2\).
  4. \(f(3) = 9-12+3=0\) et \(f'(3) = 6-4=2\).
    Tangente en \(x=3\) : \(y = 2(x-3)+0 = 2x-6\).
Exercice 7 Étude complète d'une fonction polynôme (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

Soit \(f(x) = -x^2 + 8x - 12\).

  1. Étape 1 — Dériver.
    Calculer \(f'(x)\). Rappel : la dérivée de \(-x^2\) est \(-2x\).
  2. Étape 2 — Annuler la dérivée.
    Résoudre \(f'(x) = 0\).
  3. Étape 3 — Signe de la dérivée et tableau de variations.
    Compléter : si \(x < \ldots\), \(f'(x) > 0\) (croissante) ; si \(x > \ldots\), \(f'(x) < 0\) (décroissante).
    Calculer les valeurs aux bornes : \(f(0)\), \(f(\ldots)\) (sommet), \(f(8)\).
  4. Étape 4 — Conclusion.
    Indiquer le maximum de \(f\) et la valeur de \(x\) pour laquelle il est atteint.
  1. \(f'(x) = -2x + 8\)
  2. \(-2x+8=0 \iff x=4\).
    • Si \(x < 4\) : \(f'(x)>0\), \(f\) croissante.
    • Si \(x > 4\) : \(f'(x)<0\), \(f\) décroissante.
    Valeurs : \(f(0) = -12\), \(f(4) = -16+32-12 = 4\), \(f(8) = -64+64-12 = -12\).
  4. Le maximum de \(f\) est \(4\), atteint pour \(x = 4\).
Exercice 8 Lecture graphique de la dérivée (guidé) Socle
AtangenteCƒ
Tangente à la courbe au point A

On donne le tableau de signes de \(f'(x)\) :

\(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)

On sait que \(f(-1)=5\) et \(f(2)=-4\).

  1. Étape 1 — Sens de variation.
    Rappel : \(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante ; \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante.
    Compléter : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,\ldots]\), décroissante sur \([\ldots\,;\,\ldots]\), croissante sur \([\ldots\,;\,+\infty[\).
  2. Étape 2 — Extremums.
    Un maximum local est un point où \(f\) passe de croissante à décroissante. Un minimum local est l'inverse. Identifier les extremums.
  3. Étape 3 — Solutions de \(f(x) = 0\).
    Le maximum vaut \(5 > 0\) et le minimum vaut \(-4 < 0\). Que peut-on en déduire ?
    • \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) (car \(f'>0\))
    • \(f\) est décroissante sur \([-1\,;\,2]\) (car \(f'<0\))
    • \(f\) est croissante sur \([2\,;\,+\infty[\) (car \(f'>0\))
  2. \(f\) admet un maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=5\) et un minimum local en \(x=2\) : \(f(2)=-4\).
  3. Le maximum local vaut \(5>0\) et le minimum local vaut \(-4<0\). La fonction change de signe, donc par continuité, \(f(x)=0\) admet au moins une solution entre \(-1\) et \(2\), et au moins une autre solution.

Exercices d'application

Exercice 9 Calcul de dérivées et applications Standard

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, puis déterminer \(f'(2)\) dans chaque cas.

  1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 6x - 4\)
  3. \(h(x) = 2x^2 - 7x + 3\)
  1. \(f'(x) = 6x - 5\). \(f'(2) = 12 - 5 = 7\).
  2. \(g'(x) = -2x + 6\). \(g'(2) = -4 + 6 = 2\).
  3. \(h'(x) = 4x - 7\). \(h'(2) = 8 - 7 = 1\).
Exercice 10 Étude des variations d'une fonction Standard

Soit \(f(x) = -2x^2 + 12x - 10\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) et étudier le signe de \(f'(x)\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\;;\;8]\). Calculer \(f(0)\), \(f(3)\) et \(f(8)\).
  4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 1\).
  1. \(f'(x) = -4x + 12\)
  2. \(-4x + 12 = 0 \iff x = 3\).
    • Si \(x < 3\) : \(f'(x) > 0\), \(f\) est croissante.
    • Si \(x > 3\) : \(f'(x) < 0\), \(f\) est décroissante.
  3. \(f(0) = -10\), \(f(3) = -18 + 36 - 10 = 8\), \(f(8) = -128 + 96 - 10 = -42\).
    \(f\) est croissante sur \([0\;;\;3]\), puis décroissante sur \([3\;;\;8]\). Le maximum est \(8\), atteint en \(x = 3\).
  4. \(f(1) = -2 + 12 - 10 = 0\) et \(f'(1) = -4 + 12 = 8\).
    Tangente en \(x = 1\) : \(y = 8(x - 1) + 0 = 8x - 8\).
Exercice 11 Optimisation du rendement — Installateur thermique Standard

Un installateur thermique règle le débit d'eau \(x\) (en litres par minute) d'un plancher chauffant. La puissance thermique \(P\) (en watts) transmise au sol est modélisée par :

\[P(x) = -5x^2 + 80x + 100 \quad \text{pour } x \in [0\;;\;20]\]
  1. Calculer \(P'(x)\).
  2. Résoudre \(P'(x) = 0\) et étudier le signe de \(P'(x)\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(P\) sur \([0\;;\;20]\). En déduire le débit optimal et la puissance maximale.
  4. Le client souhaite une puissance d'au moins 400 W. Résoudre \(P(x) \geq 400\) et indiquer la plage de débits acceptables.
  1. \(P'(x) = -10x + 80\)
  2. \(-10x + 80 = 0 \iff x = 8\).
    • Si \(x < 8\) : \(P'(x) > 0\), \(P\) est croissante.
    • Si \(x > 8\) : \(P'(x) < 0\), \(P\) est décroissante.
  3. \(P(0) = 100\), \(P(8) = -320 + 640 + 100 = 420\), \(P(20) = -2\,000 + 1\,600 + 100 = -300\).
    \(P\) est croissante sur \([0\;;\;8]\) puis décroissante sur \([8\;;\;20]\).
    Le débit optimal est 8 L/min, pour une puissance maximale de 420 W.
  4. \(P(x) \geq 400 \iff -5x^2 + 80x + 100 \geq 400 \iff -5x^2 + 80x - 300 \geq 0 \iff x^2 - 16x + 60 \leq 0\).
    \(\Delta = 256 - 240 = 16\). \(\sqrt{\Delta} = 4\).
    \(x_1 = \dfrac{16 - 4}{2} = 6\) et \(x_2 = \dfrac{16 + 4}{2} = 10\).
    \(P(x) \geq 400\) pour \(x \in [6\;;\;10]\). Le débit doit être compris entre 6 et 10 L/min.

Exercices d'approfondissement

Note : les exercices d'approfondissement mobilisent des polynômes de degré 3 et leur dérivée, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).

Exercice 12 Optimisation – Aire maximale Approfondissement

Un menuisier dispose d'une planche rectangulaire de \(60\) cm de longueur. Il souhaite découper un rectangle de périmètre \(60\) cm d'aire maximale.

  1. On note \(x\) la largeur du rectangle (en cm). Exprimer la longueur en fonction de \(x\).
  2. Exprimer l'aire \(A(x)\) en fonction de \(x\).
  3. Calculer \(A'(x)\) et déterminer la valeur de \(x\) qui rend l'aire maximale.
  4. Quelle est la forme du rectangle d'aire maximale ? Calculer cette aire.
  1. Périmètre = \(2(x + L) = 60\), donc \(L = 30 - x\).
  2. \(A(x) = x \times (30-x) = 30x - x^2\), avec \(0 < x < 30\).
  3. \(A'(x) = 30 - 2x\).
    \(A'(x) = 0 \iff x = 15\).
    \(A'(x) > 0\) pour \(x < 15\) (croissante) et \(A'(x) < 0\) pour \(x > 15\) (décroissante).
    L'aire est maximale pour \(x = 15\) cm.
  4. Si \(x = 15\), alors \(L = 30 - 15 = 15\). Le rectangle est un carré de côté \(15\) cm.
    Aire maximale : \(A(15) = 15 \times 15 = 225\) cm².
Exercice 13 Optimisation – Coût de production Approfondissement

Un artisan fabrique des étagères sur mesure. Le coût total de production pour \(x\) étagères est modélisé par :

\[C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 50 \quad \text{(en euros, pour } 0 \leq x \leq 10\text{)}\]
  1. Calculer le coût moyen \(CM(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) pour \(x \geq 1\).
  2. Le coût moyen pour \(x = 5\) étagères est-il supérieur ou inférieur à celui pour \(x = 3\) ?
  3. Calculer \(C'(x)\).
  4. Étudier le sens de variation de \(C\) sur \([0\,;\,10]\). Que peut-on en conclure ?
  1. \(CM(x) = \dfrac{x^3-12x^2+60x+50}{x} = x^2 - 12x + 60 + \dfrac{50}{x}\)
  2. \(CM(3) = \dfrac{27-108+180+50}{3} = \dfrac{149}{3} \approx 49{,}67\) €
    \(CM(5) = \dfrac{125-300+300+50}{5} = \dfrac{175}{5} = 35\) €
    Le coût moyen pour \(5\) étagères (\(35\) €) est inférieur à celui pour \(3\) étagères (\(\approx 49{,}67\) €).
  3. \(C'(x) = 3x^2 - 24x + 60 = 3(x^2 - 8x + 20)\)
  4. Le discriminant de \(x^2 - 8x + 20\) est \(\Delta = 64 - 80 = -16 < 0\).
    Donc \(x^2-8x+20 > 0\) pour tout \(x\), et \(C'(x) = 3(x^2-8x+20) > 0\) pour tout \(x\).
    La fonction \(C\) est strictement croissante sur \([0\,;\,10]\) : plus on fabrique d'étagères, plus le coût total augmente (ce qui est logique).
Exercice 14 Optimisation – Volume d'une boîte Approfondissement

Un charpentier réalise une boîte ouverte en découpant des carrés de côté \(x\) (en cm) aux quatre coins d'une plaque rectangulaire de \(30\) cm sur \(20\) cm, puis en repliant les bords.

  1. Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte en fonction de \(x\).
  2. Préciser l'ensemble de définition de \(V\).
  3. Développer \(V(x)\) et calculer \(V'(x)\).
  4. Résoudre \(V'(x)=0\) et en déduire la valeur de \(x\) qui donne le volume maximal. Calculer ce volume.
  1. Après découpe, la base mesure \((30-2x)\) sur \((20-2x)\) et la hauteur est \(x\).
    \(V(x) = x(30-2x)(20-2x)\)
  2. Il faut \(x > 0\), \(30-2x > 0\) et \(20-2x > 0\), donc \(0 < x < 10\).
  3. \(V(x) = x(600-60x-40x+4x^2) = x(4x^2-100x+600) = 4x^3-100x^2+600x\)
    \(V'(x) = 12x^2-200x+600\)
  4. \(V'(x)=0 \iff 12x^2-200x+600=0\)
    On divise par \(4\) : \(3x^2-50x+150=0\)
    \(\Delta = 2500 - 1800 = 700\), \(\sqrt{700} \approx 26{,}46\)
    \(x_1 = \dfrac{50-26{,}46}{6} \approx 3{,}92\) et \(x_2 = \dfrac{50+26{,}46}{6} \approx 12{,}74\)
    Seule \(x_1 \approx 3{,}92\) cm est dans \(]0\,;\,10[\).
    On vérifie que \(V\) croît puis décroît : le maximum est atteint pour \(x \approx 3{,}9\) cm.
    \(V(3{,}9) \approx 3{,}9 \times 22{,}2 \times 12{,}2 \approx 1056\) cm³.
Exercice 15 Problème de synthèse – Bénéfice d'un artisan Approfondissement

Un technicien en agencement vend des meubles de rangement. Pour \(x\) meubles vendus par mois (\(1 \leq x \leq 15\)), le bénéfice (en euros) est modélisé par :

\[B(x) = -2x^2 + 40x - 50\]
  1. Calculer \(B(1)\) et \(B(15)\). L'artisan est-il rentable pour ces deux valeurs ?
  2. Calculer \(B'(x)\) et étudier le sens de variation de \(B\).
  3. Pour quel nombre de meubles vendus le bénéfice est-il maximal ? Calculer ce bénéfice.
  4. Résoudre \(B(x) \geq 0\). Pour quelles quantités l'artisan est-il rentable ?
  1. \(B(1) = -2+40-50 = -12 < 0\) : pas rentable.
    \(B(15) = -450+600-50 = 100 > 0\) : rentable.
  2. \(B'(x) = -4x+40\).
    \(B'(x)=0 \iff x=10\).
    \(B'(x)>0\) si \(x<10\) : \(B\) croissante.
    \(B'(x)<0\) si \(x>10\) : \(B\) décroissante.
  3. Le bénéfice est maximal pour \(x=10\) meubles.
    \(B(10) = -200+400-50 = 150\) €.
  4. \(-2x^2+40x-50 \geq 0 \iff 2x^2-40x+50 \leq 0 \iff x^2-20x+25 \leq 0\).
    \(\Delta = 400-100 = 300\), \(\sqrt{300} \approx 17{,}32\).
    \(x_1 = \dfrac{20-17{,}32}{2} \approx 1{,}34\) et \(x_2 = \dfrac{20+17{,}32}{2} \approx 18{,}66\).
    Sur \([1\,;\,15]\), le bénéfice est positif pour \(x \geq 2\) meubles (en nombres entiers).