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Chapitre 6 – Fonction dérivée et étude des variations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Objectifs du chapitre

1. Taux de variation

Situation professionnelle — Artisan menuisier

Un artisan menuisier fabrique des étagères sur mesure. Le coût total de production (en euros) pour \(x\) étagères est modélisé par la fonction \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 150\). Il souhaite savoir comment évolue le coût lorsqu'il passe de 10 à 15 étagères.

Définition Taux de variation :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\) et \(b\) deux nombres de \(I\) avec \(a \neq b\).
Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le quotient : \[\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\] Ce nombre représente la pente de la droite passant par les points \(A(a\,;\,f(a))\) et \(B(b\,;\,f(b))\).
Exemple : Reprenons la situation du menuisier avec \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 150\).

Calculons le taux de variation entre \(x = 10\) et \(x = 15\) : \[\tau = \frac{C(15) - C(10)}{15 - 10} = \frac{562{,}5 - 400}{5} = \frac{162{,}5}{5} = 32{,}5 \text{ €/étagère}\] En moyenne, entre la 10ᵉ et la 15ᵉ étagère, chaque étagère supplémentaire coûte 32,50 €.
Attention Le taux de variation donne une information moyenne entre deux points. Il ne décrit pas ce qui se passe en un point précis. Pour cela, on a besoin du nombre dérivé.

2. Nombre dérivé en un point

Définition Nombre dérivé :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un nombre de \(I\).
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), est la limite du taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0 : \[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\] Lorsque cette limite existe, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\).
Propriété — Interprétation graphique
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).

L'équation de cette tangente est : \[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]

Tangente à la courbe de \(f(x) = x^2\)

Déplacez le point sur la courbe pour voir la tangente et la pente \(f'(a)\).

Exemple : Soit \(f(x) = x^2\). Calculons \(f'(3)\).

\[\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h\] Quand \(h \to 0\), on obtient \(f'(3) = 6\).

La tangente à la courbe au point \(A(3\,;\,9)\) a pour équation : \[y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9\]
Méthode — Calculer un nombre dérivé
  1. Écrire le taux de variation \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\)
  2. Développer et simplifier le numérateur
  3. Simplifier par \(h\)
  4. Faire tendre \(h\) vers 0 pour obtenir \(f'(a)\)

3. Fonction dérivée

Définition Fonction dérivée :
Si \(f\) est dérivable en tout point d'un intervalle \(I\), la fonction qui à chaque \(x\) de \(I\) associe \(f'(x)\) est appelée la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).

4. Dérivées des fonctions usuelles

Tableau des dérivées usuelles

Fonction \(f(x)\) Dérivée \(f'(x)\) Ensemble de dérivabilité
\(k\) (constante) \(0\) \(\mathbb{R}\)
\(ax + b\) \(a\) \(\mathbb{R}\)
\(x^2\) \(2x\) \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\) \(-\dfrac{1}{x^2}\) \(\mathbb{R}^*\)
Hors programme — pour aller plus loin Le programme de Première se limite aux dérivées des fonctions affines, de la fonction carré et de la fonction inverse. Pour la poursuite d'études, on peut retenir les formules suivantes, qui seront utilisées en Terminale (polynômes de degré 3) puis en BTS :
Fonction \(f(x)\)Dérivée \(f'(x)\)
\(x^3\)\(3x^2\)
\(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geq 1\))\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Exemples :
Application

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) \(f(x) = 5x^2 - 3x + 7\)    b) \(g(x) = -3x^2 + 5\)    c) \(h(x) = -2x + 9\)

5. Règles de dérivation

Propriété — Somme et produit par un scalaire
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un réel.
Opération Fonction Dérivée
Somme \(u + v\) \(u' + v'\)
Produit par un réel \(k \times u\) \(k \times u'\)
Méthode — Dériver une fonction

Pour dériver \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) :

  1. On dérive chaque terme séparément :
    • \(3x^2\) → dérivée : \(3 \times 2x = 6x\)
    • \(-5x\) → dérivée : \(-5\)
    • \(2\) → dérivée : \(0\)
  2. On additionne : \(f'(x) = 6x - 5\)
Exemples de dérivation :
  1. \(f(x) = 4x^2 + 2x - 7\)
    \(f'(x) = 8x + 2\)
  2. \(g(x) = -2x^2 + 8x\)
    \(g'(x) = -4x + 8\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 10\)
    \(h'(x) = x - 3\)

6. Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :

Propriété — Extremum local
Si \(f'(a) = 0\) et si \(f'\) change de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\) :
Méthode — Étudier les variations d'une fonction
  1. Dériver la fonction \(f\)
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) pour trouver les valeurs critiques
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle
  4. Dresser le tableau de variations
  5. Conclure : sens de variation et extremums
Exemple complet : Étudier les variations de \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : \(f'(x) = 2x - 6\)

Étape 2 : \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Étape 3 : Signe de \(f'(x) = 2x - 6\) : Étape 4 : \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\)

Tableau de variations :
\(x\) \(-\infty\) \(3\) \(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
Variations de \(f\) ↘ \(-4\) (min) ↗

Conclusion : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\).
\(f\) admet un minimum égal à \(-4\) en \(x = 3\).
Application

Soit \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\). Calculer \(f'(x)\), résoudre \(f'(x) = 0\), et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

7. La fonction inverse

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction \(f\) définie pour tout \(x \neq 0\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x}\]

Elle est définie sur \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\) : elle n'est pas définie en 0.

Propriété — Dérivée et variations

La fonction inverse est dérivable pour tout \(x \neq 0\) et :

\[f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]

Comme \(x^2 > 0\) pour tout \(x \neq 0\), on a \(f'(x) < 0\) : la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\(x\)\(-\infty\)\(0\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(-\)║\(-\)
\(f(x)\)↘║↘
x y 0 (1 ; 1) (−1 ; −1)
Courbe de la fonction inverse : une hyperbole en deux branches
Attention

Décroissante sur chaque intervalle, pas sur \(\mathbb{R}^*\)

On ne dit pas que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier : par exemple \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), donc \(f(-1) < f(1)\). La décroissance est valable sur chacun des deux intervalles séparément.

Application

Un chauffagiste doit parcourir 120 km pour rejoindre un chantier. On note \(t(v) = \dfrac{120}{v}\) la durée du trajet (en heures) en fonction de la vitesse moyenne \(v\) (en km/h), pour \(v \in [60\,;\,110]\).

  1. Calculer \(t(80)\) et \(t(100)\).
  2. Justifier, à l'aide du sens de variation de la fonction inverse, que la durée diminue quand la vitesse augmente.

8. Applications : problèmes d'optimisation

Situation professionnelle — Coût marginal

Un atelier de charpente fabrique des poutres en lamellé-collé. Le coût total de production (en euros) pour \(x\) poutres est modélisé par : \[C(x) = 0{,}2x^2 + 30x + 500 \quad \text{pour } x \in [1\,;\,50]\] Le coût marginal est la dérivée \(C'(x)\). Il représente le coût approximatif de la prochaine poutre produite.

Définition Coût marginal :
Si \(C(x)\) est le coût total de production de \(x\) unités, alors le coût marginal est \(C'(x)\). Il approxime le coût de fabrication d'une unité supplémentaire.
Exemple : Avec \(C(x) = 0{,}2x^2 + 30x + 500\) :

\(C'(x) = 0{,}4x + 30\)

Pour \(x = 20\) poutres : \(C'(20) = 0{,}4 \times 20 + 30 = 38\) €.
La 21ᵉ poutre coûte environ 38 € à produire.

Situation professionnelle — Optimisation d'une surface

Un menuisier agenceur doit fabriquer un cadre rectangulaire avec 120 cm de baguette. Il souhaite que l'aire intérieure du cadre soit maximale. Quelles dimensions doit-il choisir ?

Résolution :

Notons \(x\) la largeur du cadre. Le périmètre vaut \(2x + 2y = 120\), donc \(y = 60 - x\).

L'aire est : \(A(x) = x(60 - x) = 60x - x^2\) avec \(x \in \,]0\,;\,60[\).

Dérivation : \(A'(x) = 60 - 2x\)

Résolution de \(A'(x) = 0\) : \(60 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 30\)

Signe de \(A'(x)\) : L'aire est maximale pour \(x = 30\) cm, soit \(y = 30\) cm (un carré !).
Aire maximale : \(A(30) = 30 \times 30 = 900\) cm².

9. Mini-exercices

Exercice 1 : Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
  1. \(f(x) = 5x^2 - 3x + 7\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 4x - 2\)
  3. \(h(x) = 3x^2 - 6x + 1\)
Exercice 2 : Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 1\).
Exercice 3 : Étudier les variations de \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\) sur \(\mathbb{R}\). Dresser le tableau de variations et déterminer l'extremum.
Exercice 4 : Un technicien chauffagiste modélise le rendement \(R(x)\) d'une chaudière (en %) en fonction du débit d'eau \(x\) (en L/min) par : \[R(x) = -0{,}5x^2 + 10x + 20 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,20]\] Déterminer le débit qui maximise le rendement.
Exercice 5 : Le bénéfice (en euros) d'un artisan fabricant de meubles est modélisé par : \[B(x) = -x^2 + 40x - 300 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,40]\] où \(x\) est le nombre de meubles vendus.
  1. Déterminer le nombre de meubles à vendre pour maximiser le bénéfice.
  2. Quel est ce bénéfice maximal ?
  3. Pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice est-il positif ?

L'essentiel à retenir

10. Erreurs fréquentes

❌
Confondre taux de variation et dérivée
Le taux de variation \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est une pente moyenne entre deux points. La dérivée \(f'(a)\) est la pente instantanée (tangente) en un seul point.
Conseil : le taux de variation s'écrit avec deux points distincts ; la dérivée est la limite quand ces deux points se rapprochent.
❌
Se tromper dans la dérivée de \(kx^2\)
Exemples d'erreurs : \((3x^2)' = 3x^2\) (faux : on n'a rien dérivé) ou \((3x^2)' = 6x^2\) (faux : l'exposant doit diminuer).
Conseil : on garde le coefficient et on dérive \(x^2\) : \((3x^2)' = 3 \times 2x = 6x\).
❌
Oublier que \(f'(x) = 0\) ne suffit pas pour conclure sur le maximum ou minimum
Un point où \(f'(x) = 0\) est un candidat pour un extremum, mais il faut étudier le signe de \(f'\) avant et après pour confirmer.
Conseil : dresser toujours un tableau de signe de \(f'\) pour identifier si c'est un maximum, un minimum ou un point d'inflexion.
❌
Confondre \(f\) croissante et \(f'\) positive
Ces deux propriétés sont équivalentes mais bien distinctes. \(f'(x) > 0\) signifie que \(f\) est croissante sur cet intervalle, pas que \(f\) est positive.
Conseil : \(f'\) est la dérivée de \(f\) ; son signe renseigne sur le sens de variation de \(f\), pas sur le signe de \(f\).

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