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Chapitre 6 – Fonction dérivée et étude des variations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre, pas des codes officiels. On ne dérive que des fonctions affines, la fonction carré, leurs sommes et leurs multiples, et la fonction inverse. Les passages hors programme sont signalés « Pour aller plus loin ».

1. De la sécante à la tangente (C1)

Définition Taux de variation :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\) et \(b\) deux nombres de \(I\) avec \(a \neq b\).
Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le quotient : \[\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\] Ce nombre représente la pente de la droite passant par les points \(A(a\,;\,f(a))\) et \(B(b\,;\,f(b))\).

Cette droite \((AB)\), qui coupe la courbe en deux points, s'appelle une sécante à la courbe.
Exemple : Pour \(f(x) = x^2\), entre \(a = 1\) et \(b = 2\) : \[\tau = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3\] La sécante qui passe par \(A(1\,;\,1)\) et \(M(2\,;\,4)\) a pour coefficient directeur 3.
Attention Le taux de variation donne une information moyenne entre deux points. Il ne décrit pas ce qui se passe en un point précis. Pour cela, on a besoin du nombre dérivé.
Propriété — De la sécante à la tangente
Fixons \(A\) sur la courbe et faisons glisser \(B\) vers \(A\). La sécante \((AB)\) pivote autour de \(A\) et vient se coller à la courbe : sa position limite est la tangente à la courbe en \(A\).

La pente de cette tangente est le nombre dérivé \(f'(a)\). Une tangente peut recouper la courbe ailleurs : ce qui la définit, c'est de coller à la courbe au voisinage du point. La figure interactive de la section suivante permet de déplacer le point et de voir la tangente suivre la courbe.
Méthode — Voir la limite au logiciel de géométrie dynamique

Tracer \(f(x) = x^2\), placer \(A(1\,;\,1)\) et un point \(M\) d'abscisse \(1 + h\) réglé par un curseur, puis tracer la droite \((AM)\). En faisant diminuer \(h\), on lit le coefficient directeur de la sécante :

\(h\)10,50,20,10,01
Pente de \((AM)\)32,52,22,12,01

Les valeurs se dirigent vers 2 : c'est la pente de la tangente en \(A\), le nombre dérivé de \(f\) en 1.

Application — Cycliste qui accélère

Lors d'un sprint, la distance parcourue (en mètres) par un cycliste après \(t\) secondes est modélisée par \(d(t) = 0{,}5t^2 + 3t\). Calculer le taux de variation de \(d\) entre \(t = 4\) s et \(t = 10\) s, puis interpréter le résultat.

\(d(4) = 0{,}5 \times 16 + 3 \times 4 = 8 + 12 = 20\) m et \(d(10) = 0{,}5 \times 100 + 3 \times 10 = 50 + 30 = 80\) m.

\(\tau = \dfrac{d(10) - d(4)}{10 - 4} = \dfrac{80 - 20}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\) m/s.

Entre la 4ᵉ et la 10ᵉ seconde, le cycliste a roulé à une vitesse moyenne de 10 m/s (soit 36 km/h).

2. Lire un nombre dérivé sur un graphique (C2)

Définition Nombre dérivé :
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).
Méthode — Lire \(f'(a)\) en trois gestes
  1. Repérer le point de la courbe d'abscisse \(a\) et la tangente qui y est tracée.
  2. Choisir sur cette tangente deux points à coordonnées entières.
  3. Calculer son coefficient directeur : on avance de \(\Delta x\), on monte de \(\Delta y\), et \(f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

Une tangente qui descend donne un nombre dérivé négatif ; une tangente horizontale, un nombre dérivé nul.

Attention Ne pas lire l'ordonnée du point : \(f(a)\) est la hauteur du point, \(f'(a)\) est la pente de la tangente. Ce sont deux nombres différents.

Tangente à la courbe de \(f(x) = x^2\)

Déplacez le point sur la courbe pour voir la tangente et la pente \(f'(a)\).

Application — Lire un nombre dérivé sur un graphique

Sur la courbe d'une fonction \(f\), la tangente au point \(A\) d'abscisse 2 passe par les points \(A(2\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,7)\). Déterminer le nombre dérivé \(f'(2)\).

\(f'(2)\) est la pente de la tangente en \(A\). On la calcule avec les deux points \(A(2\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,7)\) :

\(f'(2) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{7 - 1}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2\).

Le nombre dérivé de \(f\) en 2 vaut \(f'(2) = 2\).

Pour aller plus loin (hors programme) — le nombre dérivé comme limite

Le programme demande d'observer la limite des sécantes au logiciel, sans calcul de limite. Pour la poursuite d'études, on écrit :

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]

Par exemple, pour \(f(x) = x^2\) en \(a = 3\) : \(\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h\), qui se rapproche de 6 quand \(h\) se rapproche de 0. Donc \(f'(3) = 6\).

3. Construire une tangente connaissant le nombre dérivé (C3)

Méthode — Tracer la tangente en trois gestes

Connaissant \(a\), \(f(a)\) et \(f'(a)\) :

  1. placer le point \(A(a\,;\,f(a))\) ;
  2. à partir de \(A\), avancer de 1 vers la droite et monter de \(f'(a)\) — ou descendre si \(f'(a)\) est négatif — pour obtenir un second point ;
  3. tracer la droite à la règle en la prolongeant des deux côtés.
Exemple : tracer la tangente en \(x = 1\) sachant que \(f(1) = 3\) et \(f'(1) = -2\).
On place \(A(1\,;\,3)\). On avance de 1 et on descend de 2 : on obtient \((2\,;\,1)\). La droite qui passe par ces deux points est la tangente.
Attention Un nombre dérivé négatif fait descendre : \(f'(a) = -2\) signifie « en avançant de 1, on descend de 2 ». Monter de 2 donnerait une droite symétrique de la bonne tangente.

4. L'équation réduite de la tangente (C4)

Propriété — Équation réduite de la tangente (admise)
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation réduite : \[y = f'(a)(x - a) + f(a)\] Son coefficient directeur est \(f'(a)\) ; elle passe par le point \((a\,;\,f(a))\).
Méthode — La tangente, meilleure approximation tout près de \(a\)

Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 5\), la tangente en \(a = 3\) a pour équation \(y = 2x - 4\). Tout près de 3, la tangente et la courbe se confondent presque :

\(x\)33,13,5
\(f(x)\)22,213,25
Tangente \(2x - 4\)22,23
Écart00,010,25

Plus on s'éloigne de 3, plus l'écart grandit : remplacer la courbe par sa tangente n'est acceptable que tout près du point.

Application — Équation d'une tangente

Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 4\), dont la dérivée est \(f'(x) = 2x - 2\) (voir C5). Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 3\).

On calcule \(f(3) = 9 - 6 + 4 = 7\).

La dérivée est \(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(3) = 2 \times 3 - 2 = 4\).

L'équation de la tangente est \(y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 4(x - 3) + 7\), soit \(y = 4x - 5\).

5. La fonction dérivée (C5)

Définition Fonction dérivée :
Si \(f\) est dérivable en tout point d'un intervalle \(I\), la fonction qui à chaque \(x\) de \(I\) associe \(f'(x)\) est appelée la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).
Méthode — Conjecturer la dérivée de la fonction carré au tableur

Au tableur, une colonne \(x\) et une colonne qui calcule la pente d'une sécante sur un très petit pas, par exemple =((A2+0,001)^2-A2^2)/0,001 :

\(x\)12345
Pente lue2,0014,0016,0018,00110,001

On conjecture que la pente vaut \(2x\). La formule \((x^2)' = 2x\) est ensuite admise : elle n'est pas démontrée.

Dérivées des fonctions usuelles (C5 et C9)

Tableau des dérivées usuelles

Fonction \(f(x)\) Dérivée \(f'(x)\) Ensemble de dérivabilité
\(k\) (constante) \(0\) \(\mathbb{R}\)
\(ax + b\) \(a\) \(\mathbb{R}\)
\(x^2\) \(2x\) \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\) \(-\dfrac{1}{x^2}\) \(\mathbb{R}^*\)

Les formules des dérivées des fonctions affines et de la fonction carré sont à connaître. Celle de la fonction inverse est étudiée en C9.

Exemples :
Application

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) \(f(x) = 5x^2 - 3x + 7\)    b) \(g(x) = -3x^2 + 5\)    c) \(h(x) = -2x + 9\)

Règles de dérivation (C5)

Propriété — Somme et produit par un nombre (admises)
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un réel.
Opération Fonction Dérivée
Somme \(u + v\) \(u' + v'\)
Produit par un réel \(k \times u\) \(k \times u'\)
Méthode — Dériver une fonction

Pour dériver \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) :

  1. On dérive chaque terme séparément :
    • \(3x^2\) → dérivée : \(3 \times 2x = 6x\)
    • \(-5x\) → dérivée : \(-5\)
    • \(2\) → dérivée : \(0\)
  2. On additionne : \(f'(x) = 6x - 5\)
Exemples de dérivation :
  1. \(f(x) = 4x^2 + 2x - 7\)
    \(f'(x) = 8x + 2\)
  2. \(g(x) = -2x^2 + 8x\)
    \(g'(x) = -4x + 8\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 10\)
    \(h'(x) = x - 3\)

6. Le signe de \(f'\) donne le sens de variation (C6)

Propriété — signe de la dérivée et variations (admise)

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :

Cette propriété est admise, à partir de ce que le logiciel montre : là où la courbe monte, la tangente monte ; là où elle descend, la tangente descend.

Attention C'est le signe de \(f'\) qui décide du sens de variation, jamais celui de \(f\) : \(f(x) = x - 10\) vaut \(-5\) en \(x = 5\), et pourtant elle est croissante, car \(f'(x) = 1 > 0\).

7. Dresser un tableau de variations (C8)

Méthode — Étudier les variations d'une fonction
  1. Dériver la fonction \(f\)
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) pour trouver les valeurs critiques
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle
  4. Dresser le tableau de variations, avec les valeurs aux bornes et à l'extremum
  5. Conclure : sens de variation et extremums locaux
  6. Si l'intervalle est fermé \([a\,;\,b]\), comparer avec \(f(a)\) et \(f(b)\) pour obtenir les extremums globaux
Exemple complet : Étudier les variations de \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : \(f'(x) = 2x - 6\)

Étape 2 : \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Étape 3 : Signe de \(f'(x) = 2x - 6\) : Étape 4 : \(f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\)

Tableau de variations :

Conclusion : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\).
\(f\) admet un minimum égal à \(-4\) en \(x = 3\).
Application

Soit \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\). Calculer \(f'(x)\), résoudre \(f'(x) = 0\), et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

8. Extremum local, extremum global (C7)

Propriété — Extremum local
Si \(f'(a) = 0\) et si \(f'\) change de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\) :
Propriété — Extremum global sur un intervalle fermé
Sur un intervalle fermé \([a\,;\,b]\), le maximum et le minimum de \(f\) sont à chercher parmi trois candidats seulement : les valeurs de \(x\) où \(f'\) s'annule en changeant de signe, et les deux bornes \(f(a)\) et \(f(b)\).

On parle alors d'extremum global : le plus grand (ou le plus petit) de tout l'intervalle. Un extremum local, lui, ne l'est qu'au voisinage du point.
Attention
Un maximum peut très bien être atteint à une borne, là où \(f'\) ne s'annule pas. Exemple : \(f(x) = x^2\) sur \([1\,;\,6]\). La dérivée \(f'(x) = 2x\) ne s'annule jamais sur cet intervalle ; \(f\) est croissante, donc le minimum vaut \(f(1) = 1\) et le maximum \(f(6) = 36\) — tous deux aux bornes. Chercher uniquement là où \(f'(x) = 0\) revient ici à ne rien trouver.
Attention — une dérivée qui s'annule ne donne pas toujours un extremum
Sur la courbe fournie ci-dessous, la tangente est horizontale en \(x = 0\) — la dérivée s'y annule — et pourtant la fonction continue de monter : ce n'est ni un maximum, ni un minimum. Cette courbe est donnée : on l'observe, on ne la dérive pas, sa fonction n'est pas au programme de ce module.

9. La fonction inverse (C9)

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction \(f\) définie pour tout \(x \neq 0\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x}\]

Elle est définie sur \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\) : elle n'est pas définie en 0.

Propriété — Dérivée et variations

La fonction inverse est dérivable pour tout \(x \neq 0\) et :

\[f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]

Comme \(x^2 > 0\) pour tout \(x \neq 0\), on a \(f'(x) < 0\) : la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Attention

Décroissante sur chaque intervalle, pas sur \(\mathbb{R}^*\)

On ne dit pas que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier : par exemple \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), donc \(f(-1) < f(1)\). La décroissance est valable sur chacun des deux intervalles séparément.

Application

Un chauffagiste doit parcourir 120 km pour rejoindre un chantier. On note \(t(v) = \dfrac{120}{v}\) la durée du trajet (en heures) en fonction de la vitesse moyenne \(v\) (en km/h), pour \(v \in [60\,;\,110]\).

  1. Calculer \(t(80)\) et \(t(100)\).
  2. Justifier, à l'aide du sens de variation de la fonction inverse, que la durée diminue quand la vitesse augmente.

10. Applications : problèmes d'optimisation (C7)

Situation professionnelle — Optimisation d'une surface

Un menuisier agenceur doit fabriquer un cadre rectangulaire avec 120 cm de baguette. Il souhaite que l'aire intérieure du cadre soit maximale. Quelles dimensions doit-il choisir ?

Résolution :

Notons \(x\) la largeur du cadre. Le périmètre vaut \(2x + 2y = 120\), donc \(y = 60 - x\).

L'aire est : \(A(x) = x(60 - x) = 60x - x^2\) avec \(x \in \,]0\,;\,60[\).

Dérivation : \(A'(x) = 60 - 2x\)

Résolution de \(A'(x) = 0\) : \(60 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 30\)

Signe de \(A'(x)\) : L'aire est maximale pour \(x = 30\) cm, soit \(y = 30\) cm (un carré !).
Aire maximale : \(A(30) = 30 \times 30 = 900\) cm².

11. Mini-exercices

Exercice 1 : Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
  1. \(f(x) = 5x^2 - 3x + 7\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 4x - 2\)
  3. \(h(x) = 3x^2 - 6x + 1\)
Exercice 2 : Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 1\).
Exercice 3 : Étudier les variations de \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\) sur \(\mathbb{R}\). Dresser le tableau de variations et déterminer l'extremum.
Exercice 4 : Un technicien chauffagiste modélise le rendement \(R(x)\) d'une chaudière (en %) en fonction du débit d'eau \(x\) (en L/min) par : \[R(x) = -0{,}5x^2 + 10x + 20 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,20]\] Déterminer le débit qui maximise le rendement.
Exercice 5 : Le bénéfice (en euros) d'un artisan fabricant de meubles est modélisé par : \[B(x) = -x^2 + 40x - 300 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,40]\] où \(x\) est le nombre de meubles vendus.
  1. Déterminer le nombre de meubles à vendre pour maximiser le bénéfice.
  2. Quel est ce bénéfice maximal ?
  3. Pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice est-il positif ?

L'essentiel à retenir

12. Erreurs fréquentes

❌
Confondre taux de variation et dérivée
Le taux de variation \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est une pente moyenne entre deux points. La dérivée \(f'(a)\) est la pente instantanée (tangente) en un seul point.
Conseil : le taux de variation s'écrit avec deux points distincts ; quand ces deux points se rapprochent, la sécante se rapproche de la tangente, dont la pente est le nombre dérivé.
❌
Se tromper dans la dérivée de \(kx^2\)
Exemples d'erreurs : \((3x^2)' = 3x^2\) (faux : on n'a rien dérivé) ou \((3x^2)' = 6x^2\) (faux : l'exposant doit diminuer).
Conseil : on garde le coefficient et on dérive \(x^2\) : \((3x^2)' = 3 \times 2x = 6x\).
❌
Oublier que \(f'(x) = 0\) ne suffit pas pour conclure sur le maximum ou minimum
Un point où \(f'(x) = 0\) est un candidat pour un extremum, mais il faut étudier le signe de \(f'\) avant et après pour confirmer.
Conseil : dresser toujours le signe de \(f'\) avant et après : s'il change, c'est un maximum ou un minimum ; s'il ne change pas, ce n'est ni l'un ni l'autre.
❌
Confondre « \(f'\) positive » et « \(f\) positive »
Ce sont deux propriétés différentes. \(f'(x) > 0\) sur un intervalle signifie que \(f\) est croissante sur cet intervalle, pas que \(f\) est positive.
Conseil : \(f'\) est la dérivée de \(f\) ; son signe renseigne sur le sens de variation de \(f\), pas sur le signe de \(f\).

Simulation interactive