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Fiche — Concentration et loi des grands nombres

Chapitre 15 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :
  • Bienaymé-Tchebychev : \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\) — majore l'écart d'une variable à son espérance.
  • Inégalité de concentration : appliquée à la moyenne \(M_n\), \(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{n\delta^2}\) (tend vers \(0\)).
  • Loi des grands nombres : \(M_n\) converge (en probabilité) vers \(\mu\) quand \(n\to+\infty\).
  • Pour estimer une proportion : \(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\) (précision \(\delta\), risque \(\alpha\)).

1. Bienaymé-Tchebychev

Soit \(X\) d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour tout \(\delta\gt 0\) :

\(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\)

Légende : \(\mu=E(X)\), \(V=V(X)\), \(\delta\) = écart fixé (\(\gt 0\)).

Avec \(\delta=k\sigma\) :

\(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\dfrac{1}{k^2}\)

2. Inégalité de concentration

Pour la moyenne \(M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\) d'un échantillon (espérance \(\mu\), variance \(V\)) :

\(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{n\delta^2}\)

C'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(M_n\), dont la variance est \(\dfrac{V}{n}\).

Astuce : la majoration \(\dfrac{V}{n\delta^2}\to 0\) quand \(n\to+\infty\).

Lecture de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

μ μ−δ μ+δ ≤ V/δ² ≤ V/δ² P(|X−μ| ≥ δ) ≤ V/δ²
La probabilité que \(X\) s'écarte de \(\mu\) de plus de \(\delta\) (zones rouges) est majorée par \(V/\delta^2\).

3. Loi des grands nombres

Soit \((X_n)\) des variables indépendantes de même loi, d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour tout \(\delta\gt 0\) :

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\ge\delta)=0\)

La moyenne \(M_n\) converge (en probabilité) vers l'espérance \(\mu\).

4. Taille d'échantillon (proportion)

Pour estimer une proportion \(p\) inconnue avec précision \(\delta\) et risque \(\alpha\), en utilisant \(p(1-p)\le\frac14\) :

\(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\)

On part de \(P(|F_n-p|\ge\delta)\le\dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}\le\dfrac{1}{4n\delta^2}\).

Signification concrète

Quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la moyenne observée se rapproche de l'espérance théorique, et la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est le fondement des sondages, des estimations statistiques et des simulations de Monte-Carlo.

Méthode — Majorer une probabilité (B.-T.)

  1. Identifier \(\mu=E(X)\) et \(V=V(X)\).
  2. Repérer l'écart \(\delta\gt 0\) dans \(P(|X-\mu|\ge\delta)\).
  3. Appliquer \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\).
  4. Conclure (la borne est universelle mais souvent peu serrée).

Méthode — Déterminer une taille \(n\)

  1. Écrire l'inégalité de concentration : \(\dfrac{V}{n\delta^2}\le\alpha\).
  2. Pour une proportion : remplacer \(V\) par sa majoration \(\dfrac14\).
  3. Isoler \(n\) : \(n\ge\dfrac{V}{\alpha\delta^2}\) (ou \(\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\)).
  4. Arrondir \(n\) à l'entier supérieur.

Erreurs fréquentes

Attention
❌ Oublier le carré au dénominateur et écrire \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta}\).
✅ C'est \(\delta^2\) (et non \(\delta\)) : \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\).
❌ Confondre variance \(V\) et écart type \(\sigma\) dans la formule.
✅ La majoration utilise la variance \(V=\sigma^2\) au numérateur.
❌ Croire que l'inégalité donne la valeur exacte de la probabilité.
✅ C'est une majoration : la vraie probabilité est souvent bien plus petite (l'inégalité est universelle mais grossière).
❌ Oublier le facteur \(n\) pour la moyenne : utiliser \(\dfrac{V}{\delta^2}\) au lieu de \(\dfrac{V}{n\delta^2}\).
✅ Pour \(M_n\), la variance vaut \(\dfrac{V}{n}\), d'où la majoration \(\dfrac{V}{n\delta^2}\).

Résumé express — Les trois inégalités

Objet Inégalité / résultat
Variable \(X\) \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\)
Moyenne \(M_n\) \(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{n\delta^2}\)
Limite (\(n\to\infty\)) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\ge\delta)=0\)
Taille (proportion) \(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\)
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