Ch15 – QCM – Concentration et loi des grands nombres

Question 1

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit, pour une variable \(X\) d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\) et tout \(\delta\gt 0\) :

\(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta}\) \(P(|X-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\) \(P(|X-\mu|\ge\delta)\ge\dfrac{V}{\delta^2}\) \(P(|X-\mu|\ge\delta)=\dfrac{V}{\delta^2}\)

Question 2

Dans cette inégalité, la quantité \(\dfrac{V}{\delta^2}\) représente :

la valeur exacte de la probabilité une minoration de la probabilité une majoration de la probabilité l'espérance de \(X\)

Question 3

Soit \(X\) avec \(E(X)=50\) et \(V(X)=9\). Une majoration de \(P(|X-50|\ge 6)\) est :

\(0{,}25\) \(1{,}5\) \(0{,}06\) \(0{,}04\)

Question 4

Avec \(\delta=k\sigma\), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

\(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le k^2\) \(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le k\) \(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\dfrac{1}{k}\) \(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\dfrac{1}{k^2}\)

Question 5

L'inégalité de concentration majore l'écart de la moyenne \(M_n\) (échantillon de taille \(n\), variance \(V\)). Elle s'écrit :

\(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{\delta^2}\) \(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{n\delta^2}\) \(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{nV}{\delta^2}\) \(P(|M_n-\mu|\ge\delta)\le\dfrac{V}{n^2\delta}\)

Question 6

La loi (faible) des grands nombres affirme que, pour tout \(\delta\gt 0\) :

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\ge\delta)=1\) \(M_n=\mu\) pour tout \(n\) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(|M_n-\mu|\ge\delta)=0\) \(V(M_n)\) augmente avec \(n\)

Question 7

On lance une pièce équilibrée \(n\) fois et on note \(F_n\) la fréquence de Pile (\(F_n=\frac{X}{n}\) avec \(X\sim\mathcal{B}(n\,;0{,}5)\)). On a alors :

\(E(F_n)=0{,}5\) et \(V(F_n)=\dfrac{0{,}25}{n}\) \(E(F_n)=0{,}5n\) et \(V(F_n)=0{,}25\) \(E(F_n)=0{,}25\) et \(V(F_n)=0{,}5\) \(E(F_n)=0{,}5\) et \(V(F_n)=0{,}25n\)

Question 8

On mesure la masse de pièces (\(\mu=10\) g, écart type \(\sigma=0{,}5\) g, donc \(V=0{,}25\)). Quelle taille d'échantillon garantit \(P(|M_n-10|\ge 0{,}1)\le 0{,}05\) ? (résoudre \(\dfrac{0{,}25}{n\times 0{,}01}\le 0{,}05\))

\(n\ge 50\) \(n\ge 100\) \(n\ge 250\) \(n\ge 500\)

Question 9

Pour estimer une proportion \(p\) inconnue avec une précision \(\delta\) et un risque \(\alpha\), en utilisant \(p(1-p)\le\frac14\), la taille minimale d'échantillon vérifie :

\(n\ge\dfrac{1}{\alpha\delta^2}\) \(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\) \(n\ge\dfrac{4}{\alpha\delta^2}\) \(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta}\)

Question 10

On veut estimer une proportion d'électeurs favorables à un candidat avec une précision de 2 % (\(\delta=0{,}02\)) et un risque de 5 % (\(\alpha=0{,}05\)). En appliquant \(n\ge\dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\), la taille minimale est :

\(1\,250\) \(5\,000\) \(12\,500\) \(250\,000\)