Terminale générale · Mathématiques · Probabilités
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:19
Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour tout réel \(\delta > 0\) :
\[P(|X-\mu| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V}{\delta^2}\]La probabilité que \(X\) s'écarte de plus de \(\delta\) de son espérance est majorée par \(\frac{V}{\delta^2}\). Plus la variance est petite ou plus \(\delta\) est grand, plus cette probabilité est faible.
Avec \(\delta = k\sigma\) : \(P(|X-\mu|\geqslant k\sigma)\leqslant\frac{1}{k^2}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(\mu = 20\) et d'écart-type \(\sigma = 2\). Majorer \(P(|X-20|\geqslant 6)\).
On a \(V = \sigma^2 = 4\) et \(\delta = 6\). Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\[P(|X-20|\geqslant 6)\leqslant\frac{V}{\delta^2}=\frac{4}{36}=\mathbf{\frac{1}{9}}\approx 0{,}111\]Autre rédaction : \(6 = 3\sigma\), donc \(P(|X-20|\geqslant 3\sigma)\leqslant\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\). Les deux méthodes donnent bien la même majoration.
Soit \(X\) avec \(\mu = 100\), \(\sigma = 5\). Alors :
On reprend la variable \(X\) de l'exemple ci-dessus (\(\mu = 100\), \(\sigma = 5\)). Minorer \(P(|X-100| < 15)\).
L'événement \(\{|X-100| < 15\}\) est le complémentaire de \(\{|X-100|\geqslant 15\}\), donc :
\[P(|X-100| < 15) = 1 - P(|X-100|\geqslant 15)\]Or d'après l'exemple, \(P(|X-100|\geqslant 15)\leqslant\frac{25}{225}=\frac{1}{9}\). En retranchant à 1, l'inégalité change de sens :
\[P(|X-100| < 15)\geqslant 1-\frac{1}{9}=\mathbf{\frac{8}{9}}\approx 0{,}889\]Au moins 88,9 % des valeurs de \(X\) sont à moins de 15 de la moyenne.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : la probabilité que X s'écarte de μ de plus de δ (zones rouges) est majorée par V/δ².
Soit \(X\) une v.a. avec \(E(X)=50\) et \(V(X)=9\). Majorer \(P(|X-50|\geqslant 6)\).
\(P(|X-50|\geqslant 6)\leqslant\frac{9}{36}=\frac{1}{4}=0{,}25\).
Soit \(X\sim\mathcal{B}(100;0{,}5)\). En utilisant Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P(|X-50|\geqslant 10)\).
\(\mu=50\), \(V=100\times 0{,}5\times 0{,}5=25\).
\(P(|X-50|\geqslant 10)\leqslant\frac{25}{100}=0{,}25\).
(La valeur exacte est environ 0,057, bien inférieure : l'inégalité est peu précise mais universelle.)
Soit \(M_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\) la moyenne d'un échantillon de taille \(n\) d'une v.a. d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour tout \(\delta > 0\) :
\[P(|M_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V}{n\delta^2}\]C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(M_n\) (qui a pour variance \(\frac{V}{n}\)). La majoration tend vers 0 quand \(n\to+\infty\) : la moyenne de l'échantillon se concentre autour de \(\mu\).
On mesure la masse de pièces (\(\mu=10\) g, \(\sigma=0{,}5\) g). Quelle taille d'échantillon garantit que \(P(|M_n-10|\geqslant 0{,}1)\leqslant 0{,}05\) ?
\(\frac{V}{n\delta^2}\leqslant 0{,}05\), soit \(\frac{0{,}25}{n\times 0{,}01}\leqslant 0{,}05\), \(\frac{25}{n}\leqslant 0{,}05\), \(n\geqslant 500\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\). Pour tout \(\delta > 0\) :
\[\lim_{n\to+\infty} P(|M_n-\mu|\geqslant\delta) = 0\]La moyenne \(M_n\) converge (en probabilité) vers l'espérance \(\mu\).
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la moyenne observée se rapproche de l'espérance théorique. C'est le fondement des sondages, des estimations statistiques et des simulations de Monte-Carlo.
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules vertes. On tire une boule avec remise \(10\,000\) fois. Vrai ou faux ? Justifier.
On lance un dé \(n\) fois. La fréquence de « 6 » est \(F_n = \frac{X}{n}\) où \(X\sim\mathcal{B}(n,\frac{1}{6})\). Par la loi des grands nombres, \(F_n\) converge vers \(p=\frac{1}{6}\) quand \(n\to+\infty\).
On lance une pièce équilibrée \(n\) fois. Soit \(F_n\) la fréquence de Pile.
Application — Sondage d'opinion
Un institut de sondage interroge \(n = 2500\) personnes sur leur intention de vote. La proportion observée de personnes favorables à un projet est \(\hat{p} = 0{,}42\).
Pour estimer une proportion \(p\) inconnue avec une précision \(\delta\) et un risque \(\alpha\), il faut :
\[n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2}\](en utilisant le fait que \(p(1-p)\leqslant\frac{1}{4}\)).
On veut estimer la proportion d'électeurs favorables à un candidat avec une précision de 2 % et un risque de 5 %. Quelle taille d'échantillon faut-il ?
\(n\geqslant\frac{1}{4\times 0{,}05\times 0{,}02^2}=\frac{1}{4\times 0{,}05\times 0{,}0004}=\frac{1}{0{,}00008}=12\,500\).
Il faut interroger au moins 12 500 personnes.
Problème de synthèse — Simulation
On estime \(\pi\) par la méthode de Monte-Carlo : on tire \(n\) points au hasard dans le carré \([0;1]^2\) et on compte ceux dans le quart de disque (\(x^2+y^2\leqslant 1\)). La fréquence \(F_n\) estime \(\frac{\pi}{4}\).
Problème de synthèse — Démonstration et application
Soit \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) et \(F_n=\frac{X}{n}\) la fréquence associée.
Observer la fréquence de « 6 » converger vers \(\frac{1}{6}\) au fil des lancers.
Dans la simulation ci-dessus, on lance le dé \(n = 10\,000\) fois et \(F_n\) désigne la fréquence de « 6 ». Majorer \(P\left(\left|F_n-\frac{1}{6}\right|\geqslant 0{,}01\right)\) à l'aide de l'inégalité de concentration.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=\frac{1}{6}\), de variance \(V = p(1-p)=\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{5}{36}\). Par l'inégalité de concentration appliquée à la fréquence \(F_n\) :
\[P\left(\left|F_n-\frac{1}{6}\right|\geqslant 0{,}01\right)\leqslant\frac{V}{n\delta^2}=\frac{5/36}{10\,000\times 0{,}01^2}=\frac{5/36}{1}=\mathbf{\frac{5}{36}}\approx 0{,}139\]Après 10 000 lancers, il y a donc au plus 14 % de risque que la fréquence observée s'écarte de plus de 0,01 de \(\frac{1}{6}\approx 0{,}167\) — c'est bien ce que montre la courbe, qui reste collée à la droite rouge.