Fiche — Épreuves indépendantes et loi binomiale

Chapitre 13 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Des épreuves sont indépendantes quand le résultat de l'une n'influence pas les autres : on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
Un schéma de Bernoulli = répétition de \(n\) épreuves identiques et indépendantes à deux issues (succès \(p\), échec \(1-p\)).
Le nombre de succès \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) : \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Pour \(\mathcal{B}(n,p)\) : \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\).

1. Épreuves indépendantes

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :

\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)

Pour une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue est le produit des probabilités :

\(P\big((x_1,\ldots,x_n)\big)=P(x_1)\times\cdots\times P(x_n)\)

2. Épreuve & loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(q=1-p\)).

La variable \(X\) qui vaut \(1\) (succès) ou \(0\) (échec) suit la loi \(\mathcal{B}(p)\) :

\(E(X)=p \qquad V(X)=p(1-p)\)

3. Schéma de Bernoulli & loi binomiale

Un schéma de Bernoulli \((n,p)\) répète \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

La variable \(X\) = nombre de succès suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) :

\(P(X=k)=\dbinom{n}{k}\,p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}\)

\(\binom{n}{k}\) : nombre de chemins à \(k\) succès
\(p^k\) : probabilité des \(k\) succès
\((1-p)^{n-k}\) : probabilité des \(n-k\) échecs

4. Espérance, variance, écart type

Si \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) :

\(E(X)=np\)
\(V(X)=np(1-p)\)
\(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

Légende : \(n\) = nombre d'épreuves, \(p\) = probabilité de succès, \(\sigma\) = écart type.

Astuce : \(E(X)=np\) donne directement le nombre moyen de succès attendu.

Arbre type — \(n=3\) épreuves

3 chemins à exactement 2 succès : \(P(X=2)=\binom{3}{2}p^2q=3p^2q\)

Méthode — Reconnaître une loi binomiale

Vérifier : 2 issues (succès / échec) par épreuve.
Vérifier : épreuves identiques (même \(p\)) et indépendantes (avec remise).
Identifier \(n\) (nombre de répétitions) et \(p\) (probabilité de succès).
Conclure : \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\) où \(X\) = nombre de succès.

Méthode — Probabilités cumulées

\(P(X\le k)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}P(X=i)\)
\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)
\(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\)
\(P(k_1\le X\le k_2)=P(X\le k_2)-P(X\le k_1-1)\)

Calculs efficaces à la calculatrice (binomCdf).

Méthode — Problème de seuil (au moins un succès)

On cherche le plus petit \(n\) tel que la probabilité d'au moins un succès dépasse un seuil :

\(P(X\ge 1)=1-(1-p)^n\ge s \iff (1-p)^n\le 1-s \iff n\ge\dfrac{\ln(1-s)}{\ln(1-p)}\)

On arrondit ensuite \(n\) à l'entier supérieur.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) et écrire \(P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}\).
✅ Le coefficient compte les chemins : il est indispensable (sauf pour \(k=0\) ou \(k=n\), où il vaut 1).

❌ Confondre \(P(X\ge k)\) et \(1-P(X\le k)\).
✅ \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\) : on retire tout ce qui est strictement inférieur à \(k\).

❌ Oublier la racine carrée : écrire \(\sigma(X)=np(1-p)\).
✅ \(V(X)=np(1-p)\) mais \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\).

❌ Utiliser la loi binomiale pour un tirage sans remise.
✅ La loi binomiale exige des épreuves indépendantes (tirage avec remise ou grande population).

Résumé express — Loi \(\mathcal{B}(n,p)\)

1	Vérifier le schéma de Bernoulli (2 issues, \(n\) répétitions identiques et indépendantes)
2	Identifier \(n\) et \(p\), conclure \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\)
3	Pour une valeur : \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
4	Pour un cumul : passer par \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\) ou la calculatrice
5	Indicateurs : \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)