Ch13 – QCM – Épreuves indépendantes et loi binomiale

Question 1

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :

\(P(A\cap B)=P(A)+P(B)\) \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) \(P(A\cap B)=0\) \(P(A)=P(B)\)

Question 2

On lance une pièce truquée avec \(P(\text{Pile})=0{,}6\) trois fois de suite (lancers indépendants). La probabilité d'obtenir (Pile, Face, Pile) est :

\(0{,}6\) \(1{,}6\) \(0{,}144\) \(0{,}216\)

Question 3

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui possède :

exactement deux issues (succès / échec) au moins trois issues une infinité d'issues une seule issue

Question 4

Le nombre de succès \(X\) dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) suit la loi binomiale. La probabilité d'obtenir \(k\) succès est :

\(p^k(1-p)^{n-k}\) \(\binom{n}{k}p^k\) \(n\,p^k(1-p)^{n-k}\) \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

Question 5

On lance 4 fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de Pile. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 Pile ? (\(\binom{4}{2}=6\))

\(0{,}25\) \(0{,}375\) \(0{,}5\) \(0{,}0625\)

Question 6

Soit \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\). Son espérance \(E(X)\) vaut :

\(p\) \(np(1-p)\) \(np\) \(\sqrt{np(1-p)}\)

Question 7

Un contrôle porte sur \(n=20\) pièces prélevées avec remise, dont 5 % sont défectueuses. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses. Quels sont la loi, l'espérance et l'écart type de \(X\) ?

\(\mathcal{B}(20\,;0{,}05)\), \(E(X)=1\), \(\sigma(X)\approx 0{,}97\) \(\mathcal{B}(20\,;0{,}05)\), \(E(X)=20\), \(\sigma(X)=1\) \(\mathcal{B}(20\,;0{,}95)\), \(E(X)=19\), \(\sigma(X)\approx 0{,}97\) \(\mathcal{B}(5\,;0{,}20)\), \(E(X)=1\), \(\sigma(X)=0{,}8\)

Question 8

Pour la loi binomiale, comment exprime-t-on « la probabilité d'au moins un succès » \(P(X\ge 1)\) ?

\(P(X=1)\) \(1-P(X\le 1)\) \(P(X=0)\) \(1-P(X=0)\)

Question 9

Un tireur atteint sa cible avec une probabilité \(p=0{,}8\) à chaque tir (tirs indépendants). Il tire 5 fois. Soit \(X\) le nombre de cibles atteintes. La probabilité d'un score parfait \(P(X=5)\) vaut :

\(0{,}8\) \(0{,}8^5\approx 0{,}328\) \(5\times 0{,}8=4\) \(0{,}2^5\approx 0{,}0003\)

Question 10

Un produit a une probabilité \(p=0{,}02\) d'être défectueux (contrôles indépendants). Pour que la probabilité de trouver au moins un produit défectueux dépasse \(0{,}99\), on résout \(0{,}98^n\le 0{,}01\). Combien de produits faut-il contrôler au minimum ?

\(50\) \(99\) \(228\) \(1000\)