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Chapitre 13 – Épreuves indépendantes et loi binomiale

Terminale générale · Mathématiques · Probabilités

Objectifs du chapitre

I. Épreuves indépendantes

Définition — Indépendance

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

L'occurrence de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

Succession d'épreuves indépendantes

On considère une succession de \(n\) épreuves aléatoires. Les épreuves sont indépendantes si le résultat de chaque épreuve n'influence pas les résultats des autres. La probabilité d'une issue \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\) est alors :

\[P((x_1, \ldots, x_n)) = P(x_1) \times P(x_2) \times \cdots \times P(x_n)\]
Exemple

On lance un dé équilibré 3 fois. La probabilité d'obtenir (6, 1, 3) est \(\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{216}\).

Exercice 1

On lance une pièce truquée (\(P(\text{Pile})=0{,}6\)) trois fois de suite.

  1. Calculer la probabilité d'obtenir (Pile, Face, Pile).
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 Pile.
  1. \(P(\text{P,F,P}) = 0{,}6\times 0{,}4\times 0{,}6 = 0{,}144\).
  2. Les issues avec 2 Pile : (P,P,F), (P,F,P), (F,P,P). Chacune a la probabilité \(0{,}6^2\times 0{,}4=0{,}144\). Total : \(3\times 0{,}144=0{,}432\).

II. Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (avec probabilité \(p\)) et échec (avec probabilité \(q = 1-p\)).

La variable aléatoire \(X\) qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), notée \(\mathcal{B}(p)\).

Propriété

Si \(X \sim \mathcal{B}(p)\) : \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1-p)\).

III. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition — Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, chacune de probabilité de succès \(p\).

Arbre de probabilité — 3 épreuves de Bernoulli p q p q S p q E p q S p q E p q S p q E SSS p³ SSE p²q SES p²q SEE pq² ESS p²q ESE pq² EES pq² EEE q³ P(X=2) = C(3,2) × p²q = 3p²q

Arbre pour n = 3 épreuves de Bernoulli. Les 3 chemins avec exactement 2 succès sont surlignés : le coefficient C(3,2) = 3 compte ces chemins.

Définition — Loi binomiale

La variable aléatoire \(X\) comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).

Propriété — Formule

Si \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\), alors pour \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) :

\[P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
Interprétation de la formule
Espérance, variance et écart type

Si \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\) :

Exercice 2

Un contrôle qualité porte sur des pièces dont 5 % sont défectueuses. On prélève 20 pièces (avec remise).

  1. Justifier que le nombre \(X\) de pièces défectueuses suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\).
  3. Calculer \(P(X \geqslant 1)\).
  4. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
  1. 20 épreuves indépendantes, chacune avec \(p=0{,}05\). \(X\sim\mathcal{B}(20;\ 0{,}05)\).
  2. \(P(X=0)=0{,}95^{20}\approx 0{,}3585\). \(P(X=1)=\binom{20}{1}\times 0{,}05\times 0{,}95^{19}\approx 0{,}3774\). \(P(X=2)=\binom{20}{2}\times 0{,}05^2\times 0{,}95^{18}\approx 0{,}1887\).
  3. \(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}3585=0{,}6415\).
  4. \(E(X)=20\times 0{,}05=1\). \(\sigma(X)=\sqrt{20\times 0{,}05\times 0{,}95}\approx 0{,}974\).

IV. Calculs avec la loi binomiale

Méthode — Probabilités cumulées

Ces calculs se font efficacement à la calculatrice (fonction binomCdf ou binomFrépc).

Exercice 3

On lance un dé équilibré 10 fois. Soit \(X\) le nombre de 6 obtenus.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Calculer \(P(X=3)\).
  3. Calculer \(P(X\leqslant 2)\).
  4. Déterminer le plus petit \(k\) tel que \(P(X\leqslant k)\geqslant 0{,}95\).
  1. \(X\sim\mathcal{B}(10;\ \frac{1}{6})\).
  2. \(P(X=3)=\binom{10}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^7=120\times\frac{1}{216}\times\frac{78125}{279936}\approx 0{,}155\).
  3. \(P(X\leqslant 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0{,}162+0{,}323+0{,}291=0{,}776\).
  4. Par calcul : \(P(X\leqslant 3)\approx 0{,}930\), \(P(X\leqslant 4)\approx 0{,}985\). Donc \(k=4\).

Simulation — Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)

Ajuster \(n\) et \(p\) pour visualiser la distribution.

Exercice 3 bis

Test médical

Un test de dépistage a une sensibilité de 0,95 (il détecte correctement 95 % des patients malades). On teste 50 patients dont on sait qu'ils sont tous malades. Soit \(X\) le nombre de tests positifs.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(P(X \geqslant 48)\).
  3. Calculer \(P(X = 50)\).
  4. Calculer \(E(X)\) et interpréter.
  1. Chaque test est indépendant avec deux issues (positif/négatif), la probabilité de succès (test positif) est \(p=0{,}95\). On répète \(n=50\) fois. Donc \(X\sim\mathcal{B}(50;\ 0{,}95)\).
  2. \(P(X\geqslant 48) = P(X=48)+P(X=49)+P(X=50)\).
    \(P(X=48)=\binom{50}{48}\times 0{,}95^{48}\times 0{,}05^{2}=1225\times 0{,}95^{48}\times 0{,}0025\approx 0{,}2611\).
    \(P(X=49)=\binom{50}{49}\times 0{,}95^{49}\times 0{,}05=50\times 0{,}95^{49}\times 0{,}05\approx 0{,}2025\).
    \(P(X=50)=0{,}95^{50}\approx 0{,}0769\).
    \(P(X\geqslant 48)\approx 0{,}261+0{,}203+0{,}077=0{,}541\).
  3. \(P(X=50)=0{,}95^{50}\approx 0{,}0769\). Il y a moins de 8 % de chances que les 50 tests soient tous positifs.
  4. \(E(X)=50\times 0{,}95=47{,}5\). En moyenne, le test détecte correctement 47,5 patients sur 50.

V. Problèmes de seuil

Méthode — Problème de seuil avec la loi binomiale

On cherche souvent le plus petit \(n\) tel qu'une probabilité dépasse un seuil donné. Typiquement :

« Quel est le nombre minimal d'épreuves pour que la probabilité d'avoir au moins un succès dépasse 0,95 ? »

\(P(X\geqslant 1)=1-(1-p)^n\geqslant 0{,}95\), soit \((1-p)^n\leqslant 0{,}05\), d'où \(n\geqslant\frac{\ln 0{,}05}{\ln(1-p)}\).

Exercice 4

Un produit a une probabilité \(p=0{,}02\) d'être défectueux. Combien de produits faut-il contrôler pour que la probabilité de trouver au moins un défectueux soit supérieure à 99 % ?

\(P(X\geqslant 1)=1-0{,}98^n\geqslant 0{,}99\), soit \(0{,}98^n\leqslant 0{,}01\).

\(n\geqslant\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}98}=\frac{-4{,}605}{-0{,}0202}\approx 228\). Il faut contrôler au moins 228 produits.

Exercice 4 bis

Jeu télévisé

Un candidat participe à un jeu télévisé. Il doit répondre à 15 questions à choix multiples (4 réponses proposées, une seule correcte). Il répond au hasard à chaque question. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ? Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
  2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins 5 bonnes réponses.
  3. Pour réussir, il faut obtenir au moins 8 bonnes réponses. Calculer \(P(X\geqslant 8)\). Le candidat a-t-il des chances raisonnables de réussir en répondant au hasard ?
  1. \(X\sim\mathcal{B}(15;\ 0{,}25)\). \(E(X)=15\times 0{,}25=3{,}75\). \(\sigma(X)=\sqrt{15\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{2{,}8125}\approx 1{,}677\).
  2. \(P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 4)\).
    Par la calculatrice : \(P(X\leqslant 4)=\displaystyle\sum_{k=0}^{4}\binom{15}{k}0{,}25^k\times 0{,}75^{15-k}\approx 0{,}6865\).
    Donc \(P(X\geqslant 5)\approx 1-0{,}6865=0{,}3135\). Environ 31 %.
  3. \(P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 7)\approx 1-0{,}9827=0{,}0173\).
    La probabilité est d'environ 1,7 %. Le candidat n'a quasiment aucune chance de réussir en répondant au hasard. Ce résultat est cohérent car \(E(X)=3{,}75\) est très loin du seuil de 8.
Exercice 5

Problème de synthèse

Un tireur atteint sa cible avec une probabilité \(p=0{,}8\) à chaque tir. Il tire 5 fois (tirs indépendants). Soit \(X\) le nombre de cibles atteintes.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ? Calculer \(E(X)\).
  2. Calculer \(P(X=5)\) (score parfait).
  3. Calculer \(P(X\geqslant 3)\) (au moins 3 réussites).
  4. Calculer \(P(X=0)\) (échec total).
  1. \(X\sim\mathcal{B}(5;0{,}8)\). \(E(X)=5\times 0{,}8=4\).
  2. \(P(X=5)=0{,}8^5=0{,}32768\approx 0{,}328\).
  3. \(P(X\geqslant 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\).
    \(P(X=3)=\binom{5}{3}0{,}8^3\times 0{,}2^2=10\times 0{,}512\times 0{,}04=0{,}2048\).
    \(P(X=4)=\binom{5}{4}0{,}8^4\times 0{,}2=5\times 0{,}4096\times 0{,}2=0{,}4096\).
    \(P(X\geqslant 3)=0{,}2048+0{,}4096+0{,}3277=0{,}9421\).
  4. \(P(X=0)=0{,}2^5=0{,}00032\).