🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
Utiliser les propriétés de l'intégrale (linéarité, Chasles, positivité)
Calculer une valeur moyenne, utiliser l'IPP, calculer l'aire entre deux courbes

Fiche – Calcul intégral

Chapitre 12 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Pour \(f\) continue positive, \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l'aire sous la courbe (en unités d'aire).
Théorème fondamental : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)\) avec \(F\) primitive de \(f\).
Propriétés clés : linéarité, relation de Chasles, positivité, ordre.
Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\). IPP : \(\displaystyle\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\).

1. Intégrale et aire

Pour \(f\) continue et positive sur \([a;b]\), \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\).

Aire sous la courbe sur \([a;b]\).

2. Théorème fondamental

Si \(F\) est une primitive de \(f\) continue sur \([a;b]\) :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)\)

Ex : \(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac12\).
\(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x = [-\cos x]_0^\pi = 1+1 = 2\).

3. Propriétés de l'intégrale

Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\).
Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
Positivité : si \(f\ge 0\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \ge 0\).
Ordre : si \(f\le g\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \le \int_a^b g\).
Conventions : \(\displaystyle\int_a^a f = 0\) et \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\).
Inégalité : \(\left|\displaystyle\int_a^b f\right| \le \displaystyle\int_a^b |f|\).

4. Fonction de signe quelconque

Si \(f\) change de signe, l'intégrale est la somme algébrique des aires (positives au-dessus de l'axe, négatives en dessous).

L'aire totale entre la courbe et l'axe vaut \(\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\).

Piège : une intégrale peut être négative ou nulle ; une aire est toujours positive (on intègre alors \(|f|\) par morceaux).

5. Valeur moyenne

\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

Ex : valeur moyenne de \(\sin\) sur \([0;\pi]\) :
\(\mu = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{\pi}\approx 0{,}64\).

6. Intégration par parties (IPP)

\(\displaystyle\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x\)

Choix de \(v\) (la fonction qu'on dérive) :

Produit avec \(e^x\) ou \(\sin/\cos\) : prendre \(v = x^n\) (on dérive le polynôme).
Produit avec \(\ln x\) : prendre \(v = \ln x\) (on dérive le logarithme).

Ex : \(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e-(e-1) = 1\).

7. Aire entre deux courbes

\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,\mathrm{d}x\)

Si \(f\ge g\) sur \([a;b]\) : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\) (« courbe du haut moins courbe du bas »).

Astuce : déterminer d'abord laquelle des deux courbes est au-dessus sur \([a;b]\), puis intégrer la différence. Ex : aire entre \(g(x)=x\) et \(f(x)=x^2\) sur \([0;1]\) : \(\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x = \frac16\).

8. Méthode — Calculer une intégrale

1	Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) (table des primitives, composées, IPP).
2	Écrire \(\big[F(x)\big]_a^b\) puis calculer \(F(b)-F(a)\).
3	Pour une aire : repérer le signe de \(f\) (ou la courbe du haut), intégrer \(\|f\|\) ou la différence par morceaux.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre intégrale et aire quand \(f\) est négative.
✔ Si \(f\le 0\), l'intégrale est négative ; l'aire vaut \(\int_a^b |f|\).

❌ Calculer \(F(a)-F(b)\) au lieu de \(F(b)-F(a)\).
✔ Toujours « borne du haut moins borne du bas ».

❌ Pour une aire entre deux courbes, oublier de chercher la courbe du dessus.
✔ \(\mathcal{A}=\int_a^b(\text{haut}-\text{bas})\) : la différence doit être positive.

❌ Dans l'IPP, mal choisir \(u'\) et \(v\).
✔ On dérive le polynôme (avec \(e^x\), \(\sin\), \(\cos\)) ou le \(\ln\), pour simplifier la nouvelle intégrale.