Chapitre 12 – Calcul intégral

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Objectifs du chapitre

Définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
Connaître et utiliser les propriétés de l'intégrale (linéarité, Chasles, positivité)
Calculer une valeur moyenne
Utiliser l'intégration par parties
Calculer l'aire entre deux courbes

I. Intégrale d'une fonction continue positive

Définition

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a;b]\). L'intégrale de \(f\) sur \([a;b]\), notée \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\).

Intégrale de f sur [a ; b] : aire sous la courbe

Exemple

\(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\) est l'aire du triangle rectangle de sommets \((0;0)\), \((1;0)\), \((1;1)\), soit \(\frac{1}{2}\).

II. Lien avec les primitives

Théorème fondamental

Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a;b]\), alors :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b\]

Exemples

\(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-0 = \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos\pi+\cos 0 = 1+1 = 2\)
\(\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1\)

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)

\([x^3-x^2+x]_0^2 = (8-4+2)-(0) = 6\).
\([e^x]_0^1 = e-1\).
\([2\sqrt{x}]_1^4 = 2\times 2-2\times 1 = 2\).

III. Propriétés de l'intégrale

Propriétés

Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\)
Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\)
Positivité : si \(f \geqslant 0\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0\)
Ordre : si \(f \leqslant g\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \leqslant \int_a^b g\)
Convention : \(\displaystyle\int_a^a f = 0\) et \(\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f\)

Inégalité triangulaire \[\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right| \leqslant \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\]

IV. Fonction de signe quelconque

Propriété

Si \(f\) change de signe sur \([a;b]\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente la somme algébrique des aires : les aires au-dessus de l'axe sont comptées positivement, celles en dessous sont comptées négativement.

L'aire totale entre la courbe et l'axe est \(\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\).

Exercice 2

Calculer l'aire entre la courbe de \(f(x)=x^2-1\) et l'axe des abscisses sur \([-1;2]\).

\(f(x)=0\) pour \(x=\pm 1\). \(f<0\) sur \([-1;1]\) et \(f>0\) sur \([1;2]\).

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3}-1)-(-\frac{1}{3}+1) = -\frac{4}{3}\).

\(\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{1}^{2} = (\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1) = \frac{4}{3}\).

Aire totale : \(\frac{4}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

V. Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est :

\[\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]

Exercice 3

Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=\sin x\) sur \([0;\pi]\).

\(\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}[-\cos x]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}(1+1) = \frac{2}{\pi}\approx 0{,}637\).

VI. Intégration par parties

Formule d'intégration par parties (IPP)

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a;b]\) à dérivées continues :

\[\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x\]

Méthode — Choisir \(u'\) et \(v\)

On choisit \(v\) de sorte que \(v'\) simplifie l'intégrale. En général :

Si le produit contient \(x^n\) et \(e^x\) : prendre \(v = x^n\) (on dérive le polynôme)
Si le produit contient \(x^n\) et \(\sin/\cos\) : prendre \(v = x^n\)
Si le produit contient \(\ln x\) : prendre \(v = \ln x\) (on dérive le logarithme)

Exemple

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x\).

On pose \(v = x\), \(v' = 1\), \(u' = e^x\), \(u = e^x\).

\(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - [e^x]_0^1 = e-(e-1) = 1\).

Exercice 4

Calculer par IPP :

\(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x\)
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x\)

\(v = \ln x\), \(v'=\frac{1}{x}\), \(u'=x\), \(u=\frac{x^2}{2}\).
\(\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2}-0 - \int_1^e \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}\).
\(v=x\), \(v'=1\), \(u'=\sin x\), \(u=-\cos x\).
\([-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x = \pi+[\sin x]_0^{\pi} = \pi+0 = \pi\).

VII. Aire entre deux courbes

Propriété

L'aire du domaine compris entre les courbes de \(f\) et \(g\) sur \([a;b]\) est :

\[\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,\mathrm{d}x\]

Si \(f(x) \geqslant g(x)\) sur \([a;b]\), cela donne simplement \(\displaystyle\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\).

Aire entre les courbes de f et g sur [a ; b]

Exercice 5

Calculer l'aire entre les courbes de \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x\) sur \([0;1]\).

Sur \([0;1]\), \(g(x)-f(x)=x-x^2\geqslant 0\) (car \(x(1-x)\geqslant 0\)).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

Exercice 6

Calculer l'aire entre les courbes de \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{-x}\) sur \([0;1]\).

Sur \([0;1]\), \(e^x \geqslant e^{-x}\) (car \(e^x\) croissante et \(e^0=e^{-0}=1\)).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(e^x-e^{-x})\,\mathrm{d}x=[e^x+e^{-x}]_0^1=(e+e^{-1})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2\approx 1{,}09\).

VIII. Applications

Exercice 7

Encadrement d'une intégrale

Montrer que \(\displaystyle\frac{1}{2}\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant 1\).

Sur \([0;1]\) : \(1\leqslant 1+x^2\leqslant 2\), donc \(\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}\leqslant 1\).

Par intégration : \(\int_0^1\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1 1\,\mathrm{d}x\), soit \(\frac{1}{2}\leqslant I\leqslant 1\). □

(En fait, \(I=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785\), bien entre \(\frac{1}{2}\) et 1.)

Exercice 8

Suite d'intégrales

On pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x\) pour \(n\geqslant 0\).

Calculer \(I_0\).
Montrer par IPP que \(I_n = e - nI_{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\).
En déduire \(I_1\) et \(I_2\).

\(I_0=\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=[e^x]_0^1=e-1\).
IPP avec \(v=x^n\), \(v'=nx^{n-1}\), \(u'=e^x\), \(u=e^x\) :
\(I_n=[x^n e^x]_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,\mathrm{d}x=e-nI_{n-1}\).
\(I_1=e-I_0=e-(e-1)=1\). \(I_2=e-2I_1=e-2\).

Exercice 9

Problème de synthèse — Valeur moyenne et inégalité

Soit \(f(x)=\ln x\) sur \([1;e]\).

Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x\) par IPP.
En déduire la valeur moyenne de \(\ln\) sur \([1;e]\).
Montrer que \(\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,\mathrm{d}x = e-2\).

IPP : \(v=\ln x\), \(v'=\frac{1}{x}\), \(u'=1\), \(u=x\).
\(\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x=[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}x=e-0-(e-1)=1\).
\(\mu=\frac{1}{e-1}\times 1=\frac{1}{e-1}\approx 0{,}58\).
IPP : \(v=(\ln x)^2\), \(v'=\frac{2\ln x}{x}\), \(u'=1\), \(u=x\).
\(\int_1^e(\ln x)^2\,\mathrm{d}x=[x(\ln x)^2]_1^e-\int_1^e 2\ln x\,\mathrm{d}x=e\times 1-0-2\times 1=e-2\). ✓

Simulation — Méthode des rectangles

Augmenter le nombre de rectangles pour approcher l'intégrale.

Fonction : Rectangles : 5