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Chapitre 12 – Calcul intégral

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:18

Objectifs du chapitre

I. Intégrale d'une fonction continue positive

Définition

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a;b]\). L'intégrale de \(f\) sur \([a;b]\), notée \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\).

x y a b f Aire

Intégrale de f sur [a ; b] : aire sous la courbe

Exemple

\(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\) est l'aire du triangle rectangle de sommets \((0;0)\), \((1;0)\), \((1;1)\), soit \(\frac{1}{2}\).

Application — Lire une intégrale comme une aire

Sans utiliser de primitive, calculer les intégrales suivantes en interprétant chacune comme l'aire d'une figure usuelle :

  1. \(\displaystyle\int_1^4 3\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^3 x\,\mathrm{d}x\)
  1. La fonction constante \(x\mapsto 3\) est continue et positive : le domaine est un rectangle de largeur \(4-1=3\) et de hauteur \(3\).
    \(\displaystyle\int_1^4 3\,\mathrm{d}x = 3\times 3 = \mathbf{9}\).
  2. Le domaine sous la droite \(y=x\) entre \(0\) et \(3\) est un triangle rectangle de base \(3\) et de hauteur \(3\).
    \(\displaystyle\int_0^3 x\,\mathrm{d}x = \frac{3\times 3}{2} = \mathbf{\frac{9}{2}}\).

II. Lien avec les primitives

Théorème fondamental

Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a;b]\), alors :

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b\]
Exemples
Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\)
  3. \(\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)
  1. \([x^3-x^2+x]_0^2 = (8-4+2)-(0) = 6\).
  2. \([e^x]_0^1 = e-1\).
  3. \([2\sqrt{x}]_1^4 = 2\times 2-2\times 1 = 2\).

III. Propriétés de l'intégrale

Propriétés
Application — Linéarité et relation de Chasles

On sait que \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\) et \(\displaystyle\int_2^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -3\). Calculer :

  1. \(\displaystyle\int_0^7 f(x)\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^2 \big(2f(x)+3\big)\,\mathrm{d}x\)
  1. Par la relation de Chasles : \(\displaystyle\int_0^7 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_2^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 5+(-3) = \mathbf{2}\).
  2. Par linéarité : \(\displaystyle\int_0^2 \big(2f(x)+3\big)\,\mathrm{d}x = 2\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_0^2 3\,\mathrm{d}x = 2\times 5 + 3\times(2-0) = 10+6 = \mathbf{16}\).
Inégalité triangulaire \[\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right| \leqslant \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\]
Application — Encadrer sans calculer

Montrer, sans calculer l'intégrale, que \(\displaystyle 0 \leqslant \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{2}\).

Sur \([0;1]\), on a \(x^2 \geqslant 0\) : par positivité, \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \geqslant 0\).

Sur \([0;1]\), \(0\leqslant x\leqslant 1\), donc en multipliant par \(x\geqslant 0\) : \(x^2 \leqslant x\). Par la propriété d'ordre :

\[\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\]

Conclusion : \(\displaystyle\mathbf{0 \leqslant \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{2}}\). (La valeur exacte, \(\frac{1}{3}\), est bien dans cet encadrement.)

IV. Fonction de signe quelconque

Propriété

Si \(f\) change de signe sur \([a;b]\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente la somme algébrique des aires : les aires au-dessus de l'axe sont comptées positivement, celles en dessous sont comptées négativement.

L'aire totale entre la courbe et l'axe est \(\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x\).

Exercice 2

Calculer l'aire entre la courbe de \(f(x)=x^2-1\) et l'axe des abscisses sur \([-1;2]\).

\(f(x)=0\) pour \(x=\pm 1\). \(f<0\) sur \([-1;1]\) et \(f>0\) sur \([1;2]\).

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3}-1)-(-\frac{1}{3}+1) = -\frac{4}{3}\).

\(\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_{1}^{2} = (\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1) = \frac{4}{3}\).

Aire totale : \(\frac{4}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

V. Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est :

\[\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
Exercice 3

Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=\sin x\) sur \([0;\pi]\).

\(\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}[-\cos x]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi}(1+1) = \frac{2}{\pi}\approx 0{,}637\).

VI. Intégration par parties

Formule d'intégration par parties (IPP)

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a;b]\) à dérivées continues :

\[\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x\]
Méthode — Choisir \(u'\) et \(v\)

On choisit \(v\) de sorte que \(v'\) simplifie l'intégrale. En général :

Application — Choisir \(v\) et \(u'\) avant de se lancer

Sans effectuer les calculs, indiquer pour chaque intégrale le choix de \(v\) (fonction à dériver) et de \(u'\) (fonction à primitiver) :

  1. \(\displaystyle\int_0^1 x\cos x\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_1^2 x^2\ln x\,\mathrm{d}x\)
  3. \(\displaystyle\int_0^1 (2x+1)e^x\,\mathrm{d}x\)
  1. Produit \(x^n \times \cos\) : on dérive le polynôme. \(v = x\) (donc \(v'=1\)) et \(u' = \cos x\) (donc \(u=\sin x\)).
  2. Le produit contient \(\ln x\) : on dérive le logarithme. \(v = \ln x\) (donc \(v'=\frac{1}{x}\)) et \(u' = x^2\) (donc \(u=\frac{x^3}{3}\)).
  3. Produit polynôme \(\times\, e^x\) : on dérive le polynôme. \(v = 2x+1\) (donc \(v'=2\)) et \(u' = e^x\) (donc \(u=e^x\)).
Exemple

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x\).

On pose \(v = x\), \(v' = 1\), \(u' = e^x\), \(u = e^x\).

\(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - [e^x]_0^1 = e-(e-1) = 1\).

Exercice 4

Calculer par IPP :

  1. \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x\)
  1. \(v = \ln x\), \(v'=\frac{1}{x}\), \(u'=x\), \(u=\frac{x^2}{2}\).
    \(\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2}-0 - \int_1^e \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}\).
  2. \(v=x\), \(v'=1\), \(u'=\sin x\), \(u=-\cos x\).
    \([-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x = \pi+[\sin x]_0^{\pi} = \pi+0 = \pi\).

VII. Aire entre deux courbes

Propriété

L'aire du domaine compris entre les courbes de \(f\) et \(g\) sur \([a;b]\) est :

\[\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,\mathrm{d}x\]

Si \(f(x) \geqslant g(x)\) sur \([a;b]\), cela donne simplement \(\displaystyle\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\).

x y a b f g Aire

Aire entre les courbes de f et g sur [a ; b]

Exercice 5

Calculer l'aire entre les courbes de \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x\) sur \([0;1]\).

Sur \([0;1]\), \(g(x)-f(x)=x-x^2\geqslant 0\) (car \(x(1-x)\geqslant 0\)).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

Exercice 6

Calculer l'aire entre les courbes de \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{-x}\) sur \([0;1]\).

Sur \([0;1]\), \(e^x \geqslant e^{-x}\) (car \(e^x\) croissante et \(e^0=e^{-0}=1\)).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(e^x-e^{-x})\,\mathrm{d}x=[e^x+e^{-x}]_0^1=(e+e^{-1})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2\approx 1{,}09\).

VIII. Applications

Exercice 7

Encadrement d'une intégrale

Montrer que \(\displaystyle\frac{1}{2}\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant 1\).

Sur \([0;1]\) : \(1\leqslant 1+x^2\leqslant 2\), donc \(\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}\leqslant 1\).

Par intégration : \(\int_0^1\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1 1\,\mathrm{d}x\), soit \(\frac{1}{2}\leqslant I\leqslant 1\). □

(En fait, \(I=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785\), bien entre \(\frac{1}{2}\) et 1.)

Exercice 8

Suite d'intégrales

On pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x\) pour \(n\geqslant 0\).

  1. Calculer \(I_0\).
  2. Montrer par IPP que \(I_n = e - nI_{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\).
  3. En déduire \(I_1\) et \(I_2\).
  1. \(I_0=\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=[e^x]_0^1=e-1\).
  2. IPP avec \(v=x^n\), \(v'=nx^{n-1}\), \(u'=e^x\), \(u=e^x\) :
    \(I_n=[x^n e^x]_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,\mathrm{d}x=e-nI_{n-1}\).
  3. \(I_1=e-I_0=e-(e-1)=1\). \(I_2=e-2I_1=e-2\).
Exercice 9

Problème de synthèse — Valeur moyenne et inégalité

Soit \(f(x)=\ln x\) sur \([1;e]\).

  1. Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x\) par IPP.
  2. En déduire la valeur moyenne de \(\ln\) sur \([1;e]\).
  3. Montrer que \(\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,\mathrm{d}x = e-2\).
  1. IPP : \(v=\ln x\), \(v'=\frac{1}{x}\), \(u'=1\), \(u=x\).
    \(\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x=[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}x=e-0-(e-1)=1\).
  2. \(\mu=\frac{1}{e-1}\times 1=\frac{1}{e-1}\approx 0{,}58\).
  3. IPP : \(v=(\ln x)^2\), \(v'=\frac{2\ln x}{x}\), \(u'=1\), \(u=x\).
    \(\int_1^e(\ln x)^2\,\mathrm{d}x=[x(\ln x)^2]_1^e-\int_1^e 2\ln x\,\mathrm{d}x=e\times 1-0-2\times 1=e-2\). ✓

Simulation — Méthode des rectangles

Augmenter le nombre de rectangles pour approcher l'intégrale.