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Déterminer les primitives des fonctions de référence
Calculer une primitive en utilisant les fonctions composées
Résoudre l'équation différentielle \(y' = ay\)
Résoudre l'équation différentielle \(y' = ay + b\)

Fiche – Primitives et équations différentielles

Chapitre 11 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

\(F\) est une primitive de \(f\) si \(F' = f\). Primitiver, c'est « remonter » la dérivation.
Toutes les primitives de \(f\) sont les \(F + C\) (\(C\) constante) : deux primitives diffèrent d'une constante.
Solutions de \(y'=ay\) : \(y = Ce^{ax}\).
Solutions de \(y'=ay+b\) : \(y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\).

1. Définition d'une primitive

\(F\) primitive de \(f\) sur \(I\) : \(F\) dérivable et \(F' = f\) sur \(I\).

Toute fonction continue sur \(I\) admet des primitives.
Les primitives de \(f\) sont les \(F+C\), \(C\in\mathbb{R}\).
Avec une condition \(F(x_0)=y_0\), la primitive est unique.

2. Équation différentielle

Équation dont l'inconnue est une fonction \(y\) et qui fait intervenir \(y\) et ses dérivées.

\(y' = ay \ \Rightarrow\ y = Ce^{ax}\)

\(y' = ay+b \ \Rightarrow\ y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\)

\(C\) se calcule avec la condition initiale.

3. Primitives des fonctions de référence

\(f(x)\)	\(F(x)\)	\(f(x)\)	\(F(x)\)
\(k\)	\(kx\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)
\(x^n\ (n\in\mathbb{N})\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(\dfrac{1}{x^2}\)	\(-\dfrac{1}{x}\)	\(\cos x\)	\(\sin x\)
\(\dfrac{1}{\sqrt x}\)	\(2\sqrt x\)	\(\sin x\)	\(-\cos x\)

Astuce : primitiver \(x^n\), c'est ajouter \(1\) à l'exposant et diviser par le nouvel exposant. On peut toujours vérifier en dérivant \(F\) : on doit retrouver \(f\).

4. Primitives de fonctions composées

\(f(x)\)	\(F(x)\)	\(f(x)\)	\(F(x)\)
\(u'\,u^n\ (n\ne -1)\)	\(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)	\(u'\cos u\)	\(\sin u\)
\(\dfrac{u'}{u}\)	\(\ln\|u\|\)	\(u'\sin u\)	\(-\cos u\)
\(u'\,e^u\)	\(e^u\)	\(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\)	\(\sqrt u\)

Piège : il faut faire apparaître \(u'\). Ex : pour \(e^{-2x}\), on a \(u=-2x\), \(u'=-2\), donc une primitive est \(-\frac12 e^{-2x}\), pas \(e^{-2x}\).

5. Méthode — Primitive avec condition

Écrire toutes les primitives : \(F(x)+C\).
Reporter la condition \(F(x_0)=y_0\).
Résoudre pour trouver \(C\).

Ex : \(f(x)=e^{2x}+1\), \(F(x)=\frac12 e^{2x}+x+C\) ; \(F(0)=3 \Rightarrow C=\frac52\).

6. Méthode — Résoudre \(y'=ay+b\)

Solution constante : \(k=-\dfrac{b}{a}\).
Solution générale : \(y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Condition initiale \(\to\) valeur de \(C\).

Ex : \(y'=2y-6\), \(k=3\), \(y=Ce^{2x}+3\) ; \(y(0)=4 \Rightarrow C=1\).

7. Allure des solutions de \(y'=-y+3\) (équilibre \(y=3\))

Solutions \(y=Ce^{-x}+3\) : quelle que soit la condition initiale, elles convergent vers l'équilibre \(y=3\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre primitive et dérivée.
✔ Pour vérifier une primitive \(F\), on dérive : on doit retomber sur \(f\).

❌ Oublier la constante \(+C\).
✔ Une fonction admet une infinité de primitives, toutes de la forme \(F+C\).

❌ Oublier le facteur \(\frac{1}{a}\) avec \(e^{ax}\).
✔ Une primitive de \(e^{ax}\) est \(\frac{1}{a}e^{ax}\) (ex : \(e^{2x}\to\frac12 e^{2x}\)).

❌ Oublier le « moins » dans \(-\frac{b}{a}\).
✔ Solutions de \(y'=ay+b\) : \(y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}\), pas \(+\frac{b}{a}\).