Exercices – Chapitre 11

Primitives et équations différentielles | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'=f\). Primitives usuelles : \(x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\frac1x\to\ln|x|\), \(e^x\to e^x\), \(\cos x\to\sin x\), \(\sin x\to-\cos x\). L'équation \(y'=ay\) a pour solutions \(y=Ce^{ax}\).

Exercice 1 — Primitives usuelles

Détermine une primitive de :

1. \(f(x)=3x^2\) 2. \(f(x)=\dfrac1x\) 3. \(f(x)=e^x+\cos x\).

1. \(F(x)=x^3\) (+C). 2. \(F(x)=\ln|x|\). 3. \(F(x)=e^x+\sin x\).

Exercice 2 — Primitive avec condition initiale

Soit \(f(x)=2x+1\). Détermine la primitive \(F\) telle que \(F(0)=3\).

\(F(x)=x^2+x+C\). \(F(0)=C=3\). Donc \(F(x)=x^2+x+3\).

Exercice 3 — Primitive d'une fonction composée

Détermine une primitive de \(f(x)=2x\,e^{x^2}\).

On reconnaît \(u'e^u\) avec \(u=x^2\) (\(u'=2x\)). Une primitive est \(F(x)=e^{x^2}\) (car \(F'=2x\,e^{x^2}\)).

Exercice 4 — Équation différentielle \(y'=ay\)

Résous \(y'=3y\), puis donne la solution telle que \(y(0)=2\).

Solutions : \(y(x)=Ce^{3x}\). \(y(0)=C=2\) donc \(y(x)=2e^{3x}\).

Exercice 5 — Équation \(y'=ay+b\) (type Bac)

On considère \(y'=-2y+6\).

1. Détermine la solution constante (point d'équilibre).

2. Donne la forme générale des solutions.

1. Solution constante : \(y'=0\Rightarrow 0=-2y+6\Rightarrow y=3\).

2. Les solutions sont \(y(x)=Ce^{-2x}+3\) (\(C\in\mathbb{R}\)).