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Chapitre 11 – Primitives et équations différentielles

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:18

Objectifs du chapitre

I. Notion de primitive

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\).

Application — Vérifier une primitive

Montrer que \(F(x) = x\ln x - x\) est une primitive de \(f(x) = \ln x\) sur \(]0;+\infty[\).

\(F\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) comme produit et somme de fonctions dérivables. On dérive avec la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\) :

\[F'(x) = 1\times\ln x + x\times\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x\]

Donc \(\mathbf{F'(x) = \ln x = f(x)}\) : \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).

Propriété fondamentale

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont les fonctions de la forme \(F + C\) où \(C\) est une constante réelle.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Propriété — Existence

Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).

Propriété — Primitive vérifiant une condition initiale

Soit \(f\) continue sur \(I\) et \(x_0 \in I\), \(y_0 \in \mathbb{R}\). Il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0) = y_0\).

Application — Primitive avec condition initiale

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x - 3\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(1) = 4\).

Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions \(F(x) = x^2 - 3x + C\), \(C \in \mathbb{R}\).

Condition initiale : \(F(1) = 1 - 3 + C = C - 2 = 4\), d'où \(C = 6\).

Donc \(\mathbf{F(x) = x^2 - 3x + 6}\). Vérification : \(F'(x) = 2x-3 = f(x)\) et \(F(1) = 1-3+6 = 4\). ✔

II. Tableau des primitives

Primitives des fonctions de référence
Fonction \(f(x)\)Primitive \(F(x)\)Intervalle
\(k\) (constante)\(kx\)\(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\))\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)\(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{x^2}\)\(-\frac{1}{x}\)\(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)\(2\sqrt{x}\)\(]0;+\infty[\)
\(\frac{1}{x}\)\(\ln|x|\)\(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\)
\(e^x\)\(e^x\)\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)\(\sin x\)\(\mathbb{R}\)
\(\sin x\)\(-\cos x\)\(\mathbb{R}\)
Application — Lire le tableau des primitives

Déterminer une primitive de chaque fonction :

  1. \(f(x) = x^3 + 2\cos x\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. \(g(x) = \dfrac{6}{x}\) sur \(]0;+\infty[\)
  1. Terme à terme avec le tableau : \(\mathbf{F(x) = \dfrac{x^4}{4} + 2\sin x}\). Vérification : \(F'(x) = x^3 + 2\cos x\). ✔
  2. \(g(x) = 6\times\dfrac{1}{x}\), donc \(\mathbf{G(x) = 6\ln x}\) sur \(]0;+\infty[\). Vérification : \(G'(x) = \dfrac{6}{x}\). ✔
Primitives de fonctions composées
Fonction \(f(x)\)Primitive \(F(x)\)
\(u' \times u^n\) (\(n \neq -1\))\(\frac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{u'}{u}\)\(\ln|u|\)
\(u'\,e^u\)\(e^u\)
\(u'\cos u\)\(\sin u\)
\(u'\sin u\)\(-\cos u\)
\(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)\(\sqrt{u}\)
Exercice 1

Déterminer une primitive de chaque fonction :

  1. \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)
  2. \(g(x) = \frac{1}{x^3}\) sur \(]0;+\infty[\)
  3. \(h(x) = 4e^x - 3\sin x\)
  4. \(k(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}\) sur \(]0;+\infty[\)
  1. \(F(x) = x^3 + x^2 - 5x\).
  2. \(g(x) = x^{-3}\). \(G(x) = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}\).
  3. \(H(x) = 4e^x + 3\cos x\).
  4. \(k(x) = 2x^{-1/2}\). \(K(x) = 2\times 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x}\).
Exercice 2

Déterminer une primitive (fonctions composées) :

  1. \(f(x) = (2x+1)^4\)
  2. \(g(x) = 3e^{-2x}\)
  3. \(h(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)
  4. \(k(x) = \cos(3x+1)\)
  1. \(u = 2x+1\), \(u'=2\). \(f(x)=\frac{1}{2}\times 2(2x+1)^4\). \(F(x)=\frac{1}{2}\times\frac{(2x+1)^5}{5}=\frac{(2x+1)^5}{10}\).
  2. \(u = -2x\), \(u'=-2\). \(g(x)=3\times(-\frac{1}{2})\times(-2)e^{-2x}\). \(G(x)=-\frac{3}{2}e^{-2x}\).
  3. \(h(x) = \frac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+1\). \(H(x)=\ln(x^2+1)\).
  4. \(u=3x+1\), \(u'=3\). \(k(x)=\frac{1}{3}\times 3\cos(3x+1)\). \(K(x)=\frac{1}{3}\sin(3x+1)\).
Exercice 3

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = e^{2x}+1\) vérifiant \(F(0) = 3\).

Primitives générales : \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+x+C\).

\(F(0)=\frac{1}{2}+0+C=3\), \(C=\frac{5}{2}\). Donc \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+x+\frac{5}{2}\).

III. Équation différentielle \(y' = ay\)

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \(y\) et qui fait intervenir \(y\) et ses dérivées.

Propriété — Solutions de \(y' = ay\)

Soit \(a \in \mathbb{R}^*\). Les solutions de l'équation différentielle \(y' = ay\) sont les fonctions :

\[y(x) = Ce^{ax}\]

où \(C\) est une constante réelle quelconque.

Application — Résoudre \(y' = ay\)

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \(2y' = -y\) (commencer par la mettre sous la forme \(y' = ay\)).

\(2y' = -y \Leftrightarrow y' = -\dfrac{1}{2}y\) : c'est l'équation \(y' = ay\) avec \(a = -\dfrac{1}{2}\).

Les solutions sont donc \(\mathbf{y(x) = Ce^{-x/2}}\), \(C \in \mathbb{R}\).

Vérification : \(y'(x) = -\dfrac{1}{2}Ce^{-x/2} = -\dfrac{1}{2}y(x)\), soit \(2y' = -y\). ✔

Méthode — Avec condition initiale

Si on impose \(y(x_0) = y_0\), on détermine \(C\) : \(y_0 = Ce^{ax_0}\), d'où \(C = y_0 e^{-ax_0}\).

Exemple

Résoudre \(y' = 3y\) avec \(y(0) = 5\).

Solution générale : \(y = Ce^{3x}\). \(y(0) = C = 5\). Donc \(y(x) = 5e^{3x}\).

Exercice 4

Résoudre les équations différentielles suivantes :

  1. \(y' = -2y\)
  2. \(y' = 5y\) avec \(y(0) = 3\)
  3. \(y' + y = 0\) avec \(y(1) = e\)
  1. \(y(x) = Ce^{-2x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
  2. \(y(x) = Ce^{5x}\). \(y(0)=C=3\). \(y(x)=3e^{5x}\).
  3. \(y'+y=0 \Leftrightarrow y'=-y\). \(y(x)=Ce^{-x}\). \(y(1)=Ce^{-1}=e\), \(C=e^2\). \(y(x)=e^{2-x}\).

IV. Équation différentielle \(y' = ay + b\)

Propriété — Solutions de \(y' = ay + b\)

Soit \(a \neq 0\) et \(b \in \mathbb{R}\). Les solutions de \(y' = ay + b\) sont :

\[y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}\]

où \(C\) est une constante réelle.

Application — Résoudre \(y' = ay + b\)

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \(y' = 2y + 8\).

Ici \(a = 2\) et \(b = 8\), donc \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{2} = -4\).

Les solutions sont \(\mathbf{y(x) = Ce^{2x} - 4}\), \(C \in \mathbb{R}\).

Vérification : \(y'(x) = 2Ce^{2x}\) et \(2y + 8 = 2Ce^{2x} - 8 + 8 = 2Ce^{2x}\). ✔

Méthode — Trouver la solution
  1. Solution particulière constante : si \(y = k\) est constante, \(y' = 0\), donc \(0 = ak+b\), \(k = -\frac{b}{a}\).
  2. Solution générale : on pose \(z = y - k = y + \frac{b}{a}\). Alors \(z' = y' = ay+b = a(z-\frac{b}{a})+b = az\). Donc \(z = Ce^{ax}\).
  3. Ainsi \(y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}\).
Exemple

Résoudre \(y' = 2y - 6\) avec \(y(0) = 4\).

Solution particulière : \(k = -\frac{-6}{2} = 3\). Solution générale : \(y = Ce^{2x}+3\).

\(y(0) = C+3 = 4\), \(C = 1\). Donc \(y(x) = e^{2x}+3\).

Exercice 5

Résoudre les équations différentielles suivantes :

  1. \(y' = -3y + 6\)
  2. \(y' = y - 4\) avec \(y(0) = 7\)
  3. \(y' + 2y = 10\) avec \(y(0) = 0\)
  1. \(a=-3\), \(b=6\). \(k=-\frac{6}{-3}=2\). \(y=Ce^{-3x}+2\).
  2. \(a=1\), \(b=-4\). \(k=4\). \(y=Ce^x+4\). \(y(0)=C+4=7\), \(C=3\). \(y=3e^x+4\).
  3. \(y'=-2y+10\). \(a=-2\), \(b=10\). \(k=5\). \(y=Ce^{-2x}+5\). \(y(0)=C+5=0\), \(C=-5\). \(y=5(1-e^{-2x})\).

V. Applications

Exercice 6

Décroissance radioactive

La masse \(m(t)\) d'un échantillon radioactif vérifie \(m'(t) = -\lambda m(t)\) avec \(\lambda > 0\). La masse initiale est \(m_0\).

  1. Résoudre l'équation différentielle.
  2. Exprimer le temps de demi-vie \(T\) (temps pour que la masse soit divisée par 2).
  1. \(m(t) = m_0 e^{-\lambda t}\).
  2. \(m(T) = \frac{m_0}{2}\), soit \(e^{-\lambda T}=\frac{1}{2}\), \(-\lambda T=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2\), \(T=\frac{\ln 2}{\lambda}\).
Exercice 7

Refroidissement de Newton

La température \(T(t)\) d'un objet plongé dans un milieu à température constante \(T_m = 20°\text{C}\) vérifie :

\[T'(t) = -0{,}1\,(T(t)-20)\]

La température initiale est \(T(0) = 80°\text{C}\).

  1. Poser \(\theta(t) = T(t)-20\) et écrire l'équation différentielle vérifiée par \(\theta\).
  2. Résoudre et exprimer \(T(t)\).
  3. Au bout de combien de temps la température atteint-elle 30°C ?
  1. \(\theta'(t)=T'(t)=-0{,}1\,\theta(t)\). C'est \(\theta'=-0{,}1\,\theta\).
  2. \(\theta(t)=\theta(0)e^{-0{,}1t}=60e^{-0{,}1t}\). Donc \(T(t)=20+60e^{-0{,}1t}\).
  3. \(T(t)=30\Leftrightarrow 60e^{-0{,}1t}=10\Leftrightarrow e^{-0{,}1t}=\frac{1}{6}\Leftrightarrow -0{,}1t=\ln\frac{1}{6}=-\ln 6\Leftrightarrow t=10\ln 6\approx 17{,}9\) minutes.
Exercice 8

Allure des courbes

Soit \(y' = -y + 3\) avec différentes conditions initiales : \(y(0)=0\), \(y(0)=3\), \(y(0)=6\).

  1. Résoudre dans chaque cas.
  2. Quelle est la valeur limite commune ? Interpréter.
  1. Solution générale : \(y=Ce^{-x}+3\).
    • \(y(0)=0\) : \(C=-3\), \(y=-3e^{-x}+3\) (croissante vers 3).
    • \(y(0)=3\) : \(C=0\), \(y=3\) (constante).
    • \(y(0)=6\) : \(C=3\), \(y=3e^{-x}+3\) (décroissante vers 3).
  2. \(\lim_{+\infty}y=3\) dans tous les cas. La valeur \(y=3\) est la solution d'équilibre : quelle que soit la condition initiale, les solutions convergent vers 3.
x y 0 3 6 y = 3 y₀ = 0 y₀ = 3 y₀ = 6

Solutions de y' = −y + 3 : convergence vers l'équilibre y = 3 pour différentes conditions initiales.

Simulation — Équation différentielle \(y'=ay+b\)

Ajuster \(a\) et \(b\), puis cliquer sur le graphique pour tracer des courbes solutions.

Synthèse du chapitre