🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître les dérivées des fonctions sinus et cosinus
Étudier les variations des fonctions trigonométriques
Résoudre des équations trigonométriques
Étudier des fonctions construites à partir de sin et cos

Fiche – Fonctions trigonométriques

Chapitre 10 | Terminale générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

\((\sin x)' = \cos x\) et \((\cos x)' = -\sin x\) (attention au signe « moins »).
\(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques, bornées par \(-1\) et \(1\) ; \(\cos\) est paire, \(\sin\) impaire.
Identité fondamentale : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
Résoudre \(\cos x = a\) ou \(\sin x = a\) revient à repérer les angles sur le cercle.

1. Propriétés de \(\cos\) et \(\sin\)

\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
\(-1 \le \cos x \le 1\) et \(-1 \le \sin x \le 1\).
\(\cos\) paire : \(\cos(-x)=\cos x\).
\(\sin\) impaire : \(\sin(-x)=-\sin x\).
Les deux fonctions sont \(2\pi\)-périodiques.

2. Dérivées

\((\sin x)' = \cos x\)
\((\cos x)' = -\sin x\)

Avec une fonction composée \(u\) :

\((\sin u)' = u'\cos u\)
\((\cos u)' = -\,u'\sin u\)

Ex : \((\sin 3x)' = 3\cos 3x\) ; \((\cos x^2)' = -2x\sin x^2\).

3. Valeurs remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt 3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt 2}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt 2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt 3}{2}\)	\(1\)

Astuce : \(\cos\) décroît de \(1\) à \(0\), \(\sin\) croît de \(0\) à \(1\) sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\). Le tableau de \(\sin\) est celui de \(\cos\) lu à l'envers.

4. Allure des courbes (sinusoïdes sur \([0;2\pi]\))

Sinusoïdes de période \(2\pi\), amplitude \(1\). La courbe de \(\cos\) est celle de \(\sin\) translatée de \(\frac{\pi}{2}\) vers la gauche.

5. Variations sur \([0;2\pi]\)

\(\cos\) : décroissante sur \([0;\pi]\), croissante sur \([\pi;2\pi]\) (de \(1\) à \(-1\) puis \(-1\) à \(1\)).

\(\sin\) : croissante sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), décroissante sur \(\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]\).

Lien : le signe de \(\cos x\) donne le sens de variation de \(\sin\) (car \(\sin' = \cos\)) ; le signe de \(-\sin x\) celui de \(\cos\).

6. Équations \(\cos x = a\), \(\sin x = a\)

Pour \(a\in[-1;1]\) et \(x_0\) tel que \(\cos x_0 = a\) :

\(\cos x = a \iff x = x_0 + 2k\pi\)
ou \(x = -x_0 + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

Ex : \(\cos x = \frac12\) sur \([-\pi;\pi]\) donne \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=-\frac{\pi}{3}\).
\(\sin x = \frac{\sqrt 3}{2}\) donne \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{3}\).

7. Méthode — Étudier une fonction trigonométrique

1	Déterminer la période pour se ramener à un intervalle.
2	Exploiter la parité éventuelle.
3	Dériver, factoriser \(f'\) et étudier son signe sur une période.
4	Dresser le tableau de variations, puis compléter par périodicité.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier le signe « moins » : \((\cos x)' = -\sin x\), pas \(\sin x\).
✔ Retenir : on dérive \(\cos\) « vers le bas » (signe négatif).

❌ Oublier \(u'\) en composée : \((\sin 3x)' \ne \cos 3x\).
✔ \((\sin u)' = u'\cos u\), donc \((\sin 3x)' = 3\cos 3x\).

❌ Confondre \(\cos\frac{\pi}{6}\) et \(\cos\frac{\pi}{3}\).
✔ \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\) (proche de \(1\)) et \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\).

❌ Ne donner qu'une solution à \(\cos x = a\) sur \([-\pi;\pi]\).
✔ Il y en a en général deux : \(x_0\) et \(-x_0\) (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).