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Chapitre 10 – Fonctions trigonométriques

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Objectifs du chapitre

I. Rappels — Cercle trigonométrique

Valeurs remarquables
\(x\)\(0\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)\(1\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(0\)
\(\sin x\)\(0\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(1\)
cos sin 1 -1 1 -1 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π √3/2 √2/2 ½ ½ √2/2 √3/2

Cercle trigonométrique et angles remarquables avec projections

Propriétés fondamentales

Simulation — Cercle trigonométrique interactif

Déplacer le point sur le cercle pour lire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

II. Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Propriété

Plus généralement, avec une fonction composée \(u\) :

Exemples
Exercice 1

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 2\sin x + 3\cos x\)
  2. \(g(x) = \sin(2x+1)\)
  3. \(h(x) = x\cos x\)
  4. \(k(x) = \cos^3 x\)
  1. \(f'(x) = 2\cos x - 3\sin x\).
  2. \(g'(x) = 2\cos(2x+1)\).
  3. \(h'(x) = \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x\sin x\).
  4. \(k'(x) = 3\cos^2 x\times(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x\).

III. Variations des fonctions sinus et cosinus

Variations de \(\cos\) sur \([0;2\pi]\)
\(x\)\(0\)\(\pi\)\(2\pi\)
\(\cos'x=-\sin x\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(\cos x\)\(1\)\(\searrow\)\(-1\)\(\nearrow\)\(1\)

\(\cos\) est décroissante sur \([0;\pi]\) et croissante sur \([\pi;2\pi]\).

Variations de \(\sin\) sur \([0;2\pi]\)
\(x\)\(0\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\frac{3\pi}{2}\)\(2\pi\)
\(\sin'x=\cos x\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(\sin x\)\(0\)\(\nearrow\)\(1\)\(\searrow\)\(-1\)\(\nearrow\)\(0\)
Courbes représentatives

Les courbes de \(\sin\) et \(\cos\) sont des sinusoïdes de période \(2\pi\), d'amplitude 1. La courbe de \(\cos\) est obtenue par translation de celle de \(\sin\) de \(\frac{\pi}{2}\) vers la gauche.

x y 1 -1 π/2 π 3π/2 2π sin(x) cos(x)

Courbes de sin et cos sur une période [0 ; 2π]

IV. Résolution d'équations trigonométriques

Propriété — Équations avec cosinus

Pour \(a \in [-1;1]\) et \(x_0 \in [0;\pi]\) tel que \(\cos x_0 = a\) :

\[\cos x = a \iff x = x_0 + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -x_0 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Propriété — Inéquation \(\cos x \leqslant a\)

Pour \(a \in [-1;1]\) et \(x_0 = \arccos a \in [0;\pi]\) :

\[\cos x \leqslant a \iff x \in [x_0 + 2k\pi;\ 2\pi - x_0 + 2k\pi] \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Sur \([-\pi;\pi]\) : \(\cos x \leqslant a \iff x \in [x_0;\ 2\pi-x_0]\) ou de façon équivalente \(|x| \geqslant x_0\).

Exemple

Résoudre \(\cos x = \frac{1}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\).

\(\cos x_0 = \frac{1}{2}\) avec \(x_0 = \frac{\pi}{3}\). Solutions : \(x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = -\frac{\pi}{3}\).

Exercice 2

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) :

  1. \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  2. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  3. \(\cos(2x) = 0\)
  1. \(\cos x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) donne \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). Mais \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) donne \(x_0 = \frac{3\pi}{4}\). Solutions : \(x = \frac{3\pi}{4}\) ou \(x = -\frac{3\pi}{4}\).
  2. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) donne \(x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\).
  3. \(\cos(2x)=0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2}+k\pi\), soit \(x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\). Sur \([-\pi;\pi]\) : \(x \in \{-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\}\).
Exercice 3

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) l'inéquation \(\cos x \leqslant \frac{1}{2}\).

\(\cos x_0 = \frac{1}{2}\) avec \(x_0 = \frac{\pi}{3}\). Sur \([-\pi;\pi]\) :

\(\cos x \leqslant \frac{1}{2} \iff x \in \left[-\pi;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3};\pi\right]\).

V. Études de fonctions trigonométriques

Méthode — Étudier une fonction trigonométrique
  1. Déterminer la période (utiliser la périodicité pour se ramener à un intervalle)
  2. Exploiter la parité éventuelle
  3. Dériver et étudier les variations sur une période
  4. Tracer la courbe sur une période puis compléter par périodicité
Exercice 4

Soit \(f(x) = 2\cos x + \cos(2x)\).

  1. Quelle est la période de \(f\) ?
  2. \(f\) est-elle paire, impaire ?
  3. Calculer \(f'(x)\) et étudier le signe de \(f'\) sur \([0;\pi]\).
  4. Dresser le tableau de variations sur \([0;\pi]\).
  1. \(\cos x\) a pour période \(2\pi\), \(\cos(2x)\) a pour période \(\pi\). La période de \(f\) est \(2\pi\).
  2. \(f(-x) = 2\cos(-x)+\cos(-2x) = 2\cos x+\cos(2x) = f(x)\). \(f\) est paire.
  3. \(f'(x) = -2\sin x - 2\sin(2x) = -2\sin x - 4\sin x\cos x = -2\sin x(1+2\cos x)\).
    Sur \([0;\pi]\), \(\sin x \geqslant 0\). \(1+2\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3}\).
    Pour \(x \in ]0;\frac{2\pi}{3}[\), \(\cos x > -\frac{1}{2}\), donc \(1+2\cos x > 0\), et \(f'(x) < 0\).
    Pour \(x \in ]\frac{2\pi}{3};\pi[\), \(1+2\cos x < 0\), et \(f'(x) > 0\).
  4. \(f(0)=2+1=3\), \(f(\frac{2\pi}{3})=2\times(-\frac{1}{2})+\cos\frac{4\pi}{3}=-1+(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}\), \(f(\pi)=-2+1=-1\).
    \(f\) décroissante sur \([0;\frac{2\pi}{3}]\), croissante sur \([\frac{2\pi}{3};\pi]\). Min en \(\frac{2\pi}{3}\) : \(-\frac{3}{2}\).
Exercice 5

Étude complète

Soit \(f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)\) sur \([0;2\pi]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
  2. Résoudre \(f'(x)=0\) sur \([0;2\pi]\).
  3. Dresser le tableau de variations.
  1. \(f'(x) = \cos x + \cos(2x) = \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1\).
    On pose \(X = \cos x\) : \(2X^2+X-1 = (2X-1)(X+1)\).
    \(f'(x) = (2\cos x-1)(\cos x+1)\).
  2. \(f'(x)=0\) : \(\cos x = \frac{1}{2}\) (soit \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\)) ou \(\cos x=-1\) (soit \(x=\pi\)).
  3. \(f(0)=0\), \(f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1{,}30\), \(f(\pi)=0\), \(f(\frac{5\pi}{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\), \(f(2\pi)=0\).
    Croissante sur \([0;\frac{\pi}{3}]\), décroissante sur \([\frac{\pi}{3};\pi]\), décroissante sur \([\pi;\frac{5\pi}{3}]\), croissante sur \([\frac{5\pi}{3};2\pi]\).
Exercice 6

Optimisation

On cherche à maximiser l'aire d'un rectangle inscrit dans un demi-cercle de rayon 1. Un sommet du rectangle est en \((\cos\theta;\sin\theta)\) avec \(\theta\in]0;\frac{\pi}{2}[\).

  1. Exprimer l'aire \(A(\theta)\) du rectangle en fonction de \(\theta\).
  2. Déterminer \(\theta\) qui maximise l'aire.
  1. Le rectangle a pour largeur \(2\cos\theta\) et pour hauteur \(\sin\theta\). \(A(\theta)=2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta)\).
  2. \(A'(\theta) = 2\cos(2\theta)\). \(A'=0\) pour \(2\theta=\frac{\pi}{2}\), soit \(\theta=\frac{\pi}{4}\).
    \(A'>0\) sur \(]0;\frac{\pi}{4}[\), \(A'<0\) sur \(]\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}[\). Max en \(\theta=\frac{\pi}{4}\) : \(A=\sin\frac{\pi}{2}=1\).
    Le rectangle optimal est celui pour \(\theta=\frac{\pi}{4}\), soit un rectangle de dimensions \(\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\).