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Fiche – Fonction logarithme népérien

Chapitre 9 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :
  • \(\ln\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) : \(y=\ln x\iff x=e^y\). Donc \(\ln(e^x)=x\) et \(e^{\ln x}=x\).
  • Le \(\ln\) transforme un produit en somme : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
  • \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), de dérivée \((\ln x)'=\frac{1}{x}\), et \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\).
  • Croissances comparées : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0\).

1. Définition et valeurs clés

\(y=\ln x\iff x=e^y\quad(x\gt 0)\)
  • \(\ln 1=0\), \(\ln e=1\).
  • \(\ln x=0\iff x=1\).
  • \(\ln x\gt 0\iff x\gt 1\) ; \(\ln x\lt 0\iff 0\lt x\lt 1\).
Piège : \(\ln x\) n'existe que pour \(x\gt 0\). Toujours poser la condition d'existence avant de résoudre.

2. Propriétés algébriques

Pour \(a\gt 0\), \(b\gt 0\) :

\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b\)
\(\ln(a^n)=n\ln a\quad;\quad\ln\sqrt{a}=\tfrac{1}{2}\ln a\)
Astuce : le \(\ln\) « descend » les exposants et casse les produits/quotients en sommes/différences.

3. Dérivée et variations

\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\qquad(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\)

Comme \(\frac{1}{x}\gt 0\), \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). D'où, pour \(a,b\gt 0\) :

\(\ln a=\ln b\iff a=b\)
\(\ln a\lt\ln b\iff a\lt b\)

4. Limites aux bornes

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\)

La courbe de \(\ln\) est le symétrique de celle de \(e^x\) par rapport à la droite \(y=x\).

Allure type — courbe de \(\ln\) (symétrique de \(e^x\))

x y y = x eˣ ln(x) 1
\(\ln\) passe par \((1\,;0)\) et \((e\,;1)\), croissante, asymptote verticale en \(x=0\).

5. Croissances comparées

Pour tout entier \(n\ge 1\) :

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^n\ln x=0\)

« Toute puissance de \(x\) l'emporte sur \(\ln x\). »

Repère : \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\).

6. Résoudre avec \(\ln\)

Après avoir posé la condition d'existence :

\(\ln a=\ln b\iff a=b\)
\(\ln a=c\iff a=e^{c}\)
\(\ln a\lt c\iff a\lt e^{c}\)
Piège : vérifier les solutions par rapport à la condition (\(a\gt 0\)) — une valeur peut être à rejeter.

Méthode — Résoudre une équation avec \(\ln\)

1 Condition d'existence : chaque argument d'un \(\ln\) doit être strictement positif.
2 Regrouper les \(\ln\) en un seul (propriétés : produit, quotient, exposant).
3 Utiliser \(\ln a=\ln b\iff a=b\) ou \(\ln a=c\iff a=e^{c}\).
4 Résoudre l'équation obtenue, puis vérifier chaque solution avec la condition d'existence.

Exemple : \(\ln x+\ln(x+2)=\ln 3\) (avec \(x\gt 0\)) ⟹ \(x(x+2)=3\) ⟹ \(x^2+2x-3=0\) ⟹ \(x=1\) (on rejette \(x=-3\)).

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