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Chapitre 9 – Fonction logarithme népérien

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Objectifs du chapitre

I. Définition

Définition — Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur \(]0;+\infty[\) par :

\[y = \ln x \iff x = e^y\]

Autrement dit, pour tout \(x > 0\), \(\ln x\) est l'unique réel \(y\) tel que \(e^y = x\).

Propriétés immédiates
Exemple

\(\ln(e^3) = 3\), \(e^{\ln 5} = 5\), \(\ln 1 = 0\), \(\ln\left(\frac{1}{e}\right) = \ln(e^{-1}) = -1\).

II. Propriétés algébriques

Propriétés fondamentales

Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :

Méthode — Simplifier avec le logarithme

Ces propriétés servent à transformer des expressions complexes. Retenir le principe : le logarithme « descend » les exposants, transforme les produits en sommes et les quotients en différences.

Exemples de simplification
Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes :

  1. \(\ln(e^5) + \ln\left(\frac{1}{e^2}\right)\)
  2. \(\ln(50) - \ln(2)\)
  3. \(2\ln 3 + \ln 4 - \ln 36\)
  4. \(\ln\left(\frac{e^3\sqrt{e}}{e^{-1}}\right)\)
  1. \(5 + (-2) = 3\).
  2. \(\ln\left(\frac{50}{2}\right) = \ln 25 = \ln(5^2) = 2\ln 5\).
  3. \(\ln(9) + \ln(4) - \ln(36) = \ln\left(\frac{36}{36}\right) = \ln 1 = 0\).
  4. \(\ln\left(e^{3+1/2+1}\right) = \ln(e^{9/2}) = \frac{9}{2}\).

III. Étude de la fonction logarithme

1. Dérivée

Propriété

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et :

\[(\ln x)' = \frac{1}{x}\]

Plus généralement, si \(u\) est une fonction strictement positive et dérivable :

\[(\ln u)' = \frac{u'}{u}\]
Exemples

2. Variations

Propriété

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\) (car \(\frac{1}{x}>0\)).

Conséquence : pour \(a, b > 0\) :

\[\ln a = \ln b \iff a = b \qquad \text{et} \qquad \ln a < \ln b \iff a < b\]

3. Limites

Propriété — Limites de \(\ln\)
Propriété — Courbes réciproques

La courbe de \(\ln\) est le symétrique de la courbe de \(e^x\) par rapport à la droite \(y=x\).

x y 1 1 y = x y = eˣ y = ln(x) (0 ; 1) (1 ; e) (1 ; 0) (e ; 1)

Courbes de exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x

Exercice 2

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \ln(3x-2)\)
  2. \(g(x) = [\ln x]^2\)
  3. \(h(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\) pour \(x > 1\)
  1. \(f'(x) = \frac{3}{3x-2}\).
  2. \(g'(x) = 2\ln x \times \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}\).
  3. \(h(x) = \ln(x+1)-\ln(x-1)\). \(h'(x) = \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2-1}\).

IV. Croissances comparées

Propriété — Croissances comparées en \(+\infty\)

Pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\]

Toute puissance de \(x\) l'emporte sur le logarithme en \(+\infty\).

Propriété — Croissance comparée en 0 \[\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\]

Plus généralement : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n\ln x = 0\) pour tout \(n \geqslant 1\).

Démonstration de \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)

On pose \(x = e^t\) avec \(t \to +\infty\). Alors \(\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{e^t} \to 0\) par croissances comparées exponentielles. □

Exemples
Exercice 3

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{x}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x-1}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x^2)\)
  4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\ln x - \frac{x}{2}\right)\)
  1. On pose \(X = \ln x\) : \(\frac{X^3}{e^X}\to 0\) par croissances comparées. Donc 0.
  2. \(\frac{\ln x}{x-1} = \frac{\ln x}{x}\times\frac{x}{x-1} \to 0\times 1 = 0\).
  3. \(x\ln(x^2) = 2x\ln x \to 0\) par croissance comparée.
  4. \(\ln x-\frac{x}{2} = x\left(\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2}\right)\to x\times(-\frac{1}{2}) = -\infty\).

V. Équations et inéquations

Méthode — Résoudre des équations avec \(\ln\)

On utilise les propriétés :

Exercice 4

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \(\ln(2x-1) = 3\)
  2. \(\ln(x^2) = 4\)
  3. \(\ln x + \ln(x+2) = \ln 3\)
  4. \(e^{2x} = 5\)
  1. Condition : \(2x-1>0\), soit \(x>\frac{1}{2}\). \(2x-1=e^3\), \(x=\frac{e^3+1}{2}\approx 10{,}54\).
  2. Condition : \(x\neq 0\). \(x^2=e^4\), \(x=\pm e^2\). Les deux sont solutions.
  3. Conditions : \(x>0\) et \(x+2>0\), soit \(x>0\). \(\ln[x(x+2)]=\ln 3\), \(x^2+2x=3\), \(x^2+2x-3=0\), \((x+3)(x-1)=0\). \(x=-3\) (rejeté) ou \(x=1\). Solution : \(x=1\).
  4. \(2x=\ln 5\), \(x=\frac{\ln 5}{2}\).
Exercice 5

Résoudre les inéquations :

  1. \(\ln(x-1) \leqslant 2\)
  2. \(\ln x \geqslant \ln(3-x)\)
  1. Condition : \(x>1\). \(x-1\leqslant e^2\), \(x\leqslant e^2+1\). Solution : \(x\in]1;e^2+1]\).
  2. Conditions : \(x>0\) et \(3-x>0\), soit \(x\in]0;3[\). \(x\geqslant 3-x\), \(2x\geqslant 3\), \(x\geqslant\frac{3}{2}\). Solution : \(x\in\left[\frac{3}{2};3\right[\).

VI. Étude de fonctions avec le logarithme

Exercice 6

Étude complète

Soit \(f(x) = x - \ln x\) définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
  2. Étudier les variations de \(f\).
  3. En déduire que pour tout \(x>0\) : \(\ln x \leqslant x-1\).
  1. \(\lim_{0^+}f = 0-(-\infty)=+\infty\). \(\lim_{+\infty}f = +\infty\) (car \(x\) l'emporte sur \(\ln x\)).
  2. \(f'(x) = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\). \(f'=0\) pour \(x=1\). \(f'<0\) sur \(]0;1[\), \(f'>0\) sur \(]1;+\infty[\).
    Min en \(x=1\) : \(f(1)=1-0=1\).
  3. \(f(x)\geqslant f(1)=1\) pour tout \(x>0\), soit \(x-\ln x\geqslant 1\), d'où \(\ln x\leqslant x-1\). □
Exercice 7

Problème de synthèse

Soit \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
  3. En déduire que l'équation \(f(x) = \frac{1}{e}\) admet exactement une solution, et que c'est \(x = e\).
  4. Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(\ln x \leqslant \frac{x}{e}\).
  1. \(\lim_{0^+}\frac{\ln x}{x}\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(x\to 0^+\). On pose \(x=e^{-t}\), \(t\to+\infty\) : \(\frac{-t}{e^{-t}}=-te^t\to-\infty\). Donc \(\lim_{0^+}f=-\infty\).
    \(\lim_{+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) par croissances comparées.
  2. \(f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}\). \(f'=0\) pour \(\ln x=1\), soit \(x=e\).
    \(f'>0\) sur \(]0;e[\), \(f'<0\) sur \(]e;+\infty[\). Max en \(x=e\) : \(f(e)=\frac{1}{e}\).
  3. Le maximum de \(f\) est \(\frac{1}{e}\), atteint uniquement en \(x=e\). Donc \(f(x)=\frac{1}{e}\) a pour unique solution \(x=e\).
  4. \(f(x)\leqslant f(e)=\frac{1}{e}\) pour tout \(x>0\), soit \(\frac{\ln x}{x}\leqslant\frac{1}{e}\), d'où \(\ln x\leqslant\frac{x}{e}\). □

Simulation — Fonctions réciproques exp et ln

Déplacer le point sur la courbe de \(\ln\) pour voir le point symétrique sur \(e^x\) par rapport à \(y=x\).