Exercices – Chapitre 9

Fonction logarithme népérien | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ; \(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\) ; \(\ln(a^n)=n\ln a\) ; \(\ln 1=0\), \(\ln e=1\). \((\ln x)'=\dfrac1x\) et \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\). \(\ln x=k\iff x=e^k\). \(\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), \(\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\).

Exercice 1 — Propriétés algébriques

Simplifie :

1. \(\ln 6-\ln 2\). 2. \(\ln 8\) en fonction de \(\ln 2\). 3. \(\ln(2e)\).

1. \(\ln6-\ln2=\ln\frac62=\ln3\). 2. \(\ln8=\ln(2^3)=3\ln2\). 3. \(\ln(2e)=\ln2+\ln e=\ln2+1\).

Exercice 2 — Équations

Résous dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\ln x=3\). 2. \(\ln x+\ln 2=\ln 6\). 3. \(e^{x}=5\).

1. \(x=e^3\).

2. \(\ln(2x)=\ln6\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3\) (et \(x\gt 0\) ✓).

3. \(x=\ln5\).

Exercice 3 — Inéquation

Résous \(\ln x\leqslant 1\).

Domaine : \(x\gt 0\). \(\ln\) est croissante : \(\ln x\leqslant1=\ln e\iff x\leqslant e\). Solution : \(]0\,;\,e]\).

Exercice 4 — Dérivées

Dérive : 1. \(f(x)=\ln(x^2+1)\). 2. \(g(x)=x\ln x\).

1. \(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

2. Produit : \(g'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1\).

Exercice 5 — Étude (type Bac)

Soit \(f(x)=\ln x-x+2\) sur \(]0;+\infty[\).

1. Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.

2. En déduire le tableau de variations et la valeur maximale de \(f\).

1. \(f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}\). Sur \(]0;+\infty[\), \(x\gt 0\) donc le signe est celui de \(1-x\) : positif si \(x\lt 1\), négatif si \(x\gt 1\).

2. \(f\) croît sur \(]0;1]\), décroît sur \([1;+\infty[\) : maximum en \(x=1\), \(f(1)=\ln1-1+2=1\).