🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Définir la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Résoudre des équations du type \(f(x)=k\) par le TVI
Étudier une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\)

Fiche – Continuité des fonctions

Chapitre 8 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

\(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Polynômes, \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur domaine.
TVI : si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), elle prend toute valeur \(k\) comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Si en plus \(f\) est strictement monotone, la solution de \(f(x)=k\) est unique (bijection).
Si \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) continue en \(\ell\), alors \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\) (point fixe).

1. Continuité en un point

\(f\) est continue en \(a\) si la limite existe, est finie et :

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)

Toute fonction dérivable en \(a\) est continue en \(a\).

Piège : la réciproque est fausse — \(|x|\) est continue en \(0\) mais n'y est pas dérivable.

2. Fonctions continues

Polynômes : sur \(\mathbb{R}\).
Fonctions rationnelles : sur leur domaine.
\(\sqrt{x}\) sur \([0\,;+\infty[\), \(e^x\), \(\sin\), \(\cos\) sur \(\mathbb{R}\).

Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues.

3. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe (au moins) un \(c\in[a\,;b]\) tel que \(f(c)=k\).

La droite \(y=k\) coupe la courbe continue en au moins un point \(c\in[a\,;b]\).

Cas \(k=0\) : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) a une solution dans \(]a\,;b[\).

4. TVI + monotonie : unicité

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution.

En pratique : le signe constant de \(f'\) prouve la stricte monotonie.

5. Image d'un intervalle

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

L'image d'un segment \([a\,;b]\) est un segment \([m\,;M]\), où \(m\) et \(M\) sont le minimum et le maximum de \(f\) sur \([a\,;b]\).

6. Méthode de dichotomie — approcher la solution de \(f(x)=0\)

Sur \([a\,;b]\) avec \(f\) continue et \(f(a)\cdot f(b)\lt 0\) :

1	Calculer le milieu \(c=\dfrac{a+b}{2}\).
2	Si \(f(a)\cdot f(c)\lt 0\) : la solution est dans \([a\,;c]\) → on recommence avec \([a\,;c]\).
3	Sinon : la solution est dans \([c\,;b]\) → on recommence avec \([c\,;b]\).
4	À chaque étape l'amplitude est divisée par \(2\) : après \(n\) étapes, précision \(\dfrac{b-a}{2^n}\).

7. Suites \(u_{n+1}=f(u_n)\)

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe : \(\boxed{f(\ell)=\ell}\).

Démarche : tracer \(y=f(x)\) et \(y=x\) → résoudre \(f(x)=x\) → conjecturer la convergence → la démontrer (monotonie + bornes par récurrence) → conclure : la limite est le point fixe.

Piège : \(f(\ell)=\ell\) n'est valable que si la suite converge — il faut d'abord prouver la convergence.