Continuité des fonctions | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
\(f\) est continue sur \([0;5]\), \(f(0)=-3\) et \(f(5)=4\).
Peut-on affirmer que l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution sur \([0;5]\) ? Justifie.
Oui : \(f\) est continue et \(0\) est compris entre \(f(0)=-3\) et \(f(5)=4\). D'après le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \([0;5]\).
Soit \(f(x)=x^3+x-1\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Étudie le sens de variation de \(f\) (calcule \(f'\)).
2. Montre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\), et que \(0<\alpha<1\).
1. \(f'(x)=3x^2+1>0\) : \(f\) est strictement croissante et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. \(f(0)=-1<0\) et \(f(1)=1>0\). Par le TVI + stricte monotonie, il existe une unique solution \(\alpha\in]0;1[\).
Avec \(f(x)=x^3+x-1\), on a \(f(0{,}6)\approx-0{,}18\) et \(f(0{,}7)\approx0{,}04\).
Donne un encadrement de \(\alpha\) à \(0{,}1\) près.
\(f(0{,}6)\lt 0\lt f(0{,}7)\) donc \(0{,}6\lt\alpha\lt 0{,}7\).
Une fonction \(f\) continue sur \([-2;4]\) a le tableau de variations suivant : décroissante de \(f(-2)=5\) à \(f(1)=-2\), puis croissante de \(f(1)=-2\) à \(f(4)=3\).
Combien l'équation \(f(x)=0\) a-t-elle de solutions sur \([-2;4]\) ?
Sur \([-2;1]\), \(f\) décroît de 5 à \(-2\) : \(0\) est atteint une fois (TVI + monotonie). Sur \([1;4]\), \(f\) croît de \(-2\) à 3 : \(0\) est atteint une fois. Donc l'équation \(f(x)=0\) a 2 solutions.