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Fiche – Dérivation : composée et convexité

Chapitre 7 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :
  • Dérivée d'une composée : \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\) — « on dérive l'extérieure, on multiplie par la dérivée de l'intérieure ».
  • La dérivée seconde \(f''=(f')'\) donne la convexité : \(f''\ge 0\) ⟺ convexe, \(f''\le 0\) ⟺ concave.
  • Un point d'inflexion est un point où \(f''\) s'annule et change de signe : la convexité change.
  • Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes ⟹ outil pour démontrer des inégalités.

1. Dérivée d'une composée

Avec \(f(x)=v(u(x))\) (on applique \(u\) puis \(v\)) :

\((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\)
\(f'(x)=u'(x)\times v'(u(x))\)

L'intérieure \(u\) reste « telle quelle » quand on dérive l'extérieure.

2. Formules à connaître

\(f\)\(f'\)
\([u]^n\)\(n\,u'\,[u]^{n-1}\)
\(\dfrac{1}{u}\)\(-\dfrac{u'}{u^2}\)
\(\sqrt{u}\)\(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\(e^{u}\)\(u'\,e^{u}\)

3. Dérivée seconde

Si \(f'\) est dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde :

\(f''=(f')'\)

Exemple : \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\) donne \(f'(x)=3x^2-12x+9\) puis \(f''(x)=6x-12\).

4. Convexité ⟷ \(f''\)

  • \(f\) convexe ⟺ \(f''\ge 0\) ⟺ \(f'\) croissante ⟺ courbe sous ses sécantes / au-dessus de ses tangentes.
  • \(f\) concave ⟺ \(f''\le 0\) ⟺ \(f'\) décroissante ⟺ courbe au-dessus de ses sécantes.
Repère : \(x^2\) et \(e^x\) sont convexes (\(f''\gt 0\)) ; \(\sqrt{x}\) est concave.

Allure type — convexe / concave

Convexe (f'' ≥ 0) sécante Concave (f'' ≤ 0) sécante
Convexe : courbe sous ses sécantes — Concave : courbe au-dessus de ses sécantes.

5. Point d'inflexion

Point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change.

  • Condition : \(f''(a)=0\) et \(f''\) change de signe en \(a\).
  • Coordonnées : \(\big(a\,;\,f(a)\big)\).
Piège : \(f''(a)=0\) ne suffit pas. Pour \(f(x)=x^4\), \(f''(0)=0\) mais \(f''\ge 0\) partout : aucun point d'inflexion.

6. Convexité et inégalités

Si \(f\) est convexe sur \(I\), pour tout \(a,x\in I\) :

\(f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)\)

(courbe au-dessus de la tangente en \(a\)). Si \(f\) est concave, l'inégalité est inversée (\(\le\)).

Exemple : \(e^x\) convexe, tangente en \(0\) : \(y=1+x\) ⟹ \(e^x\ge 1+x\).

Méthode — Étudier la convexité d'une fonction

1 Calculer \(f'\), puis \(f''=(f')'\).
2 Étudier le signe de \(f''\) (tableau de signes).
3 \(f''\gt 0\) ⟹ convexe ; \(f''\lt 0\) ⟹ concave.
4 Repérer les valeurs où \(f''\) s'annule en changeant de signe : points d'inflexion.
5 Calculer \(f(a)\) pour donner les coordonnées \((a\,;\,f(a))\), et l'équation de la tangente \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
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