Exercices – Chapitre 7

Dérivation : composée et convexité | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\) ; \((e^u)'=u'\,e^u\) ; \((\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\). \(f\) est convexe là où \(f''\geqslant0\), concave là où \(f''\leqslant0\). Un point d'inflexion est un point où \(f''\) s'annule en changeant de signe.

Exercice 1 — Dérivées de composées

Dérive les fonctions suivantes :

1. \(f(x)=(3x+1)^4\). 2. \(g(x)=e^{2x}\). 3. \(h(x)=\sqrt{x^2+1}\).

1. \(f'(x)=4\times3\times(3x+1)^3=12(3x+1)^3\).

2. \(g'(x)=2e^{2x}\).

3. \(h'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

Exercice 2 — Exponentielle composée

Dérive \(f(x)=e^{-x^2}\) puis \(g(x)=e^{3x-1}\).

\(f'(x)=-2x\,e^{-x^2}\) ; \(g'(x)=3\,e^{3x-1}\).

Exercice 3 — Convexité

Soit \(f(x)=x^3-3x\).

1. Calcule \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).

2. Étudie le signe de \(f''\) et précise les intervalles de convexité/concavité.

3. La courbe a-t-elle un point d'inflexion ?

1. \(f'(x)=3x^2-3\), \(f''(x)=6x\).

2. \(f''(x)\geqslant0\iff x\geqslant0\) : \(f\) est convexe sur \([0;+\infty[\) et concave sur \(]-\infty;0]\).

3. \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x=0\) : point d'inflexion en \((0;f(0))=(0;0)\).

Exercice 4 — Tangente

Soit \(f(x)=(2x-1)^3\). Détermine l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(x=1\).

\(f(1)=(1)^3=1\). \(f'(x)=3\times2\times(2x-1)^2=6(2x-1)^2\), donc \(f'(1)=6\).

Tangente : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=6(x-1)+1=6x-5\).

Exercice 5 — Convexité (type Bac)

Soit \(f(x)=x^4-6x^2\).

1. Calcule \(f''(x)\).

2. Détermine les abscisses des points d'inflexion.

1. \(f'(x)=4x^3-12x\), \(f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)\).

2. \(f''(x)=0\iff x=\pm1\). \(f''\) change de signe en \(-1\) et en \(1\) : deux points d'inflexion, en \(x=-1\) et \(x=1\).