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Chapitre 7 – Dérivation : composée et convexité

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Objectifs du chapitre

I. Dérivée d'une fonction composée

1. Composition de fonctions — Rappel

Définition

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions. La composée \(v \circ u\) est la fonction définie par \((v \circ u)(x) = v(u(x))\).

On applique d'abord \(u\), puis \(v\) au résultat.

Exemple

Si \(u(x) = 2x+1\) et \(v(x) = x^3\), alors \((v \circ u)(x) = (2x+1)^3\).

2. Formule de dérivation

Propriété — Dérivée de \(v \circ u\)

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et \(v\) est dérivable sur \(u(I)\), alors \(v \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :

\[(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)\]

Autrement dit, si \(f(x) = v(u(x))\), alors \(f'(x) = u'(x) \times v'(u(x))\).

Méthode — Dériver une composée en pratique
  1. Identifier la fonction « extérieure » \(v\) et la fonction « intérieure » \(u\)
  2. Dériver l'extérieure (en gardant l'intérieure telle quelle)
  3. Multiplier par la dérivée de l'intérieure
Formules courantes de dérivation de composées
Fonction \(f(x)\)Dérivée \(f'(x)\)
\([u(x)]^n\)\(n\,u'(x)\,[u(x)]^{n-1}\)
\(\frac{1}{u(x)}\)\(-\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}\)
\(\sqrt{u(x)}\)\(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)
\(e^{u(x)}\)\(u'(x)\,e^{u(x)}\)
Exemples
Exercice 1

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = (2x-3)^4\)
  2. \(g(x) = e^{-3x+1}\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x^2+1}\)
  4. \(k(x) = \frac{1}{(x+2)^3}\)
  1. \(f'(x) = 2 \times 4(2x-3)^3 = 8(2x-3)^3\).
  2. \(g'(x) = -3\,e^{-3x+1}\).
  3. \(h'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
  4. \(k(x) = (x+2)^{-3}\). \(k'(x) = -3(x+2)^{-4} = \frac{-3}{(x+2)^4}\).
Exercice 2

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = e^{x^2-2x}\)
  2. \(g(x) = (x^2+3x-1)^3\)
  3. \(h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\)
  1. \(u = x^2-2x\), \(u'=2x-2\). \(f'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}\).
  2. \(u = x^2+3x-1\), \(u'=2x+3\). \(g'(x)=3(2x+3)(x^2+3x-1)^2\).
  3. \(h(x) = (x^2+4)^{-1/2}\). \(h'(x)=-\frac{1}{2}\times 2x\times(x^2+4)^{-3/2}=\frac{-x}{(x^2+4)^{3/2}}\).

II. Dérivée seconde

Définition

Si \(f'\) est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde de \(f\) la dérivée de \(f'\), notée \(f''\).

\[f'' = (f')'\]
Exemple

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).

\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\), \(f''(x) = 6x - 12\).

Exercice 3

Calculer \(f'\) et \(f''\) pour les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = x^4 - 2x^3 + x\)
  2. \(f(x) = xe^x\)
  3. \(f(x) = \frac{x}{x+1}\)
  1. \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1\). \(f''(x) = 12x^2 - 12x\).
  2. \(f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x\).
  3. \(f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}\). \(f''(x) = \frac{-2}{(x+1)^3}\).

III. Convexité

1. Définition géométrique

Définition — Fonction convexe

Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses sécantes sur \(I\).

Géométriquement : le segment joignant deux points de la courbe est au-dessus de la courbe.

Définition — Fonction concave

Une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(I\) si sa courbe est au-dessus de chacune de ses sécantes.

\(f\) est concave si et seulement si \(-f\) est convexe.

sécante Convexe courbe sous la sécante sécante Concave courbe au-dessus de la sécante

Convexe : la courbe est sous ses sécantes -- Concave : la courbe est au-dessus de ses sécantes

2. Caractérisation par la dérivée seconde

Propriété fondamentale

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) :

Propriété — Convexité et tangentes

Si \(f\) est convexe sur \(I\), alors la courbe de \(f\) est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Si \(f\) est concave sur \(I\), alors la courbe est en dessous de ses tangentes.

Exemples
Exercice 4

Étudier la convexité de \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\).

\(f'(x) = 3x^2-3\), \(f''(x) = 6x\).

\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). \(f''(x)<0\) pour \(x<0\) et \(f''(x)>0\) pour \(x>0\).

\(f\) est concave sur \(]-\infty;0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\).

IV. Point d'inflexion

Définition

Un point \(A\) de la courbe de \(f\) est un point d'inflexion si la courbe traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire si la convexité de \(f\) change en \(A\).

Propriété

Si \(f''\) s'annule en \(a\) et change de signe en \(a\), alors le point \((a; f(a))\) est un point d'inflexion de la courbe de \(f\).

Attention

\(f''(a) = 0\) ne suffit pas : il faut que \(f''\) change de signe. Par exemple, \(f(x)=x^4\) : \(f''(0)=0\) mais \(f''\) ne change pas de signe (reste positive), donc pas de point d'inflexion.

Exemple

\(f(x) = x^3-3x\). On a vu que \(f''(x)=6x\). \(f''(0)=0\) et \(f''\) change de signe en 0 (négatif puis positif). Le point \((0; 0)\) est un point d'inflexion.

La tangente en ce point est \(y = f'(0)x + f(0) = -3x\).

x y Point d'inflexion concave (f'' < 0) convexe (f'' > 0) tangente Cf la courbe traverse sa tangente

Point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente et la convexité change

Exercice 5

Soit \(f(x) = xe^{-x}\). Déterminer les intervalles de convexité/concavité et les points d'inflexion.

\(f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}\).

\(f''(x) = -e^{-x}-(1-x)e^{-x} = (-1-1+x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}\).

\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\). \(f''(x)<0\) pour \(x<2\), \(f''(x)>0\) pour \(x>2\).

\(f\) est concave sur \(]-\infty;2]\) et convexe sur \([2;+\infty[\).

Point d'inflexion en \(\left(2; 2e^{-2}\right)\).

Exercice 6

Soit \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 1\). Déterminer les points d'inflexion de la courbe.

\(f'(x) = 4x^3 - 12x\). \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1)\).

\(f''(x) = 0\) pour \(x = -1\) ou \(x = 1\). \(f''\) change de signe aux deux valeurs.

Points d'inflexion : \((-1; f(-1)) = (-1; -4)\) et \((1; f(1)) = (1; -4)\).

V. Convexité et inégalités

Propriété — Inégalité de convexité

Si \(f\) est convexe sur \(I\) et si \(a \in I\), alors pour tout \(x \in I\) :

\[f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x-a)\]

(la courbe est au-dessus de ses tangentes).

Exemple — Inégalité \(e^x \geqslant 1+x\)

La fonction \(f(x) = e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) (\(f''>0\)). La tangente en \(a=0\) est \(y = e^0 + e^0(x-0) = 1+x\).

Par convexité : \(e^x \geqslant 1+x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Exercice 7

En utilisant la convexité, démontrer que pour tout \(x > 0\) : \(\sqrt{x} \leqslant \frac{x+1}{2}\).

\(f(x) = \sqrt{x}\) est concave sur \(]0;+\infty[\) (\(f'' < 0\)). Donc la courbe est en dessous de ses tangentes.

Tangente en \(a = 1\) : \(y = f(1)+f'(1)(x-1) = 1+\frac{1}{2}(x-1) = \frac{x+1}{2}\).

Par concavité : \(\sqrt{x} \leqslant \frac{x+1}{2}\) pour tout \(x > 0\). □

On retrouve l'inégalité arithmético-géométrique : \(\sqrt{x} \leqslant \frac{1+x}{2}\), soit \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\) en posant \(x = \frac{b}{a}\).

Exercice 8

Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\) : \(e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}\).

Indication : étudier la fonction \(g(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\).

On étudie \(g(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\), donc \(g'(x) = e^x - 1 - x\) et \(g''(x) = e^x - 1\).

Pour \(x \geqslant 0\) : \(e^x \geqslant 1\), donc \(g''(x) = e^x - 1 \geqslant 0\). Ainsi \(g'\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\), d'où \(g'(x) \geqslant g'(0) = 0\).

\(g'\) étant positive sur \([0\,;+\infty[\), \(g\) y est croissante, donc \(g(x) \geqslant g(0) = 0\).

On a donc bien \(e^x \geqslant 1+x+\dfrac{x^2}{2}\) pour tout \(x \geqslant 0\). \(\square\)

VI. Étude complète avec convexité

Méthode — Étude complète d'une fonction
  1. Domaine de définition
  2. Limites aux bornes du domaine (asymptotes)
  3. Dérivée \(f'\) : signe, tableau de variations
  4. Dérivée seconde \(f''\) : signe, convexité, points d'inflexion
  5. Tableau de variations enrichi et courbe représentative
Exercice 9

Étude complète

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

  1. Calculer \(f'\) et \(f''\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  3. Déterminer les intervalles de convexité/concavité et les points d'inflexion.
  4. Écrire l'équation de la tangente au point d'inflexion.
  1. \(f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2)\). \(f''(x) = 6x-6 = 6(x-1)\).
  2. \(f'(x)=0\) pour \(x=0\) ou \(x=2\). \(f'>0\) sur \(]-\infty;0[\), \(f'<0\) sur \(]0;2[\), \(f'>0\) sur \(]2;+\infty[\).
    Max local : \(f(0)=4\). Min local : \(f(2)=0\).
  3. \(f''(x)=0\) pour \(x=1\). \(f''<0\) pour \(x<1\) (concave), \(f''>0\) pour \(x>1\) (convexe).
    Point d'inflexion : \((1; f(1)) = (1; 2)\).
  4. Tangente en \((1;2)\) : \(y = f(1)+f'(1)(x-1) = 2+(-3)(x-1) = -3x+5\).
Exercice 10

Étude complète avec exponentielle

Soit \(f(x) = (x-1)e^x\).

  1. Domaine de définition, limites en \(\pm\infty\).
  2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations.
  3. Calculer \(f''\), déterminer la convexité et les points d'inflexion.
  1. \(D_f = \mathbb{R}\). \(\lim_{+\infty}f = +\infty\). \(\lim_{-\infty}f\) : \((x-1)e^x = xe^x-e^x \to 0-0 = 0\) (croissances comparées). AH \(y=0\) en \(-\infty\).
  2. \(f'(x) = e^x+(x-1)e^x = xe^x\). \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\). \(f'<0\) pour \(x<0\), \(f'>0\) pour \(x>0\).
    Min en \(x=0\) : \(f(0)=-1\).
  3. \(f''(x) = e^x+xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\). \(f''<0\) pour \(x<-1\) (concave), \(f''>0\) pour \(x>-1\) (convexe).
    Point d'inflexion : \((-1; f(-1)) = (-1; -2e^{-1}) \approx (-1;-0{,}74)\).

Simulation — Tangente mobile et convexité

Déplacer le point de tangence pour observer la position de la tangente par rapport à la courbe.