Fiche – Limites des fonctions

Chapitre 6 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Une limite finie en \(\pm\infty\) donne une asymptote horizontale ; une limite infinie en un point \(a\) donne une asymptote verticale.
Pour une fraction rationnelle en \(\pm\infty\), on factorise par le terme de plus haut degré.
Pour \(\sqrt{\;}-\;\), on multiplie par l'expression conjuguée.
Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\).

Définitions clés

Définition Limite finie en \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) qu'on veut pour \(x\) assez grand.

Définition Limite infinie en un point \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\) si \(f(x)\) devient arbitrairement grand (ou petit) quand \(x\) se rapproche de \(a\).

Asymptotes

Horizontale \(y=\ell\) : \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\)
Verticale \(x=a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\)
Oblique \(y=mx+p\) : \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(mx+p)\bigr]=0\)

Asymptote verticale \(x=a\) et asymptote horizontale \(y=\ell\).

Limites de référence

En \(+\infty\)	En un point
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty\)	\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\tfrac1x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\tfrac1x=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\tfrac1{x^n}=0\)	\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\tfrac1{x^2}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\)	\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\)	\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\)

Les 4 formes indéterminées \(+\infty-\infty\), \(\;0\times\infty\), \(\;\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\;\dfrac{0}{0}\). Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Croissances comparées en \(+\infty\) Pour tout \(n\geqslant1\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\). L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Méthodes

Méthode Lever \(\frac{\infty}{\infty}\) (fraction rationnelle, \(x\to\pm\infty\))

Factoriser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Simplifier, puis utiliser \(\frac{1}{x^k}\to0\).

Ex. \(\dfrac{3x^2+x-1}{x^2-4}=\dfrac{3+\frac1x-\frac1{x^2}}{1-\frac4{x^2}}\to3\) (AH \(y=3\)).

Méthode Lever \(+\infty-\infty\) avec une racine

Multiplier par l'expression conjuguée (numérateur et dénominateur).
Simplifier la différence, puis conclure.

Ex. \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to\dfrac12\).

Méthode Limite infinie en un point

Étudier le signe et la limite du dénominateur (\(0^+\) ou \(0^-\)).
En déduire le signe de \(\pm\infty\) ; étudier à gauche et à droite si nécessaire.
Conclure : asymptote verticale \(x=a\).

Méthode Composition

Poser \(u=g(x)\) et déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{u\to b}f(u)=\ell\) ; alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(g(x))=\ell\).

Ex. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}\) : \(u=-x^2\to-\infty\), \(e^u\to0\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Écrire \(\frac{\infty}{\infty}=1\) ou \(0\times\infty=0\).
✅ Ce sont des formes indéterminées : transformer avant de conclure.

❌ Oublier d'étudier la limite à gauche et à droite en un point.
✅ Pour \(\frac1{x-2}\) en 2 : \(+\infty\) à droite, \(-\infty\) à gauche. Mais pour \(\frac{x+1}{(x-3)^2}\) en 3 : \(+\infty\) des deux côtés (carré au dénominateur).

❌ Annoncer une asymptote verticale dès qu'il y a une valeur interdite.
✅ Si le facteur se simplifie (ex. \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\)), la limite est finie : pas d'asymptote, juste un « trou ».

❌ Croire que \(x^n\) l'emporte sur \(e^x\).
✅ C'est l'inverse : \(\frac{x^n}{e^x}\to0\).