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Chapitre 6 – Limites des fonctions

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:15

Objectifs du chapitre

I. Limite d'une fonction en l'infini

1. Limite finie en \(+\infty\)

Définition

La fonction \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(+\infty\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) que l'on veut, pourvu que \(x\) soit suffisamment grand.

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists A \in \mathbb{R},\ \forall x \geqslant A,\ |f(x)-\ell| \leqslant \varepsilon\]
Interprétation graphique — Asymptote horizontale

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\), la droite \(y = \ell\) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

Exemple

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\). La droite \(y = 0\) (axe des abscisses) est asymptote horizontale.

Application — Lire une asymptote horizontale

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = 4 - \dfrac{3}{x}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\), puis en déduire l'équation de l'asymptote horizontale de \(\mathcal{C}_f\).

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x} = 0\) (limite de référence), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4 - 0 = \mathbf{4}\).

La droite d'équation \(y = 4\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

2. Limite infinie en l'infini

Définition

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) signifie que \(f(x)\) dépasse tout réel \(A\) dès que \(x\) est assez grand.

Limites de référence en \(\pm\infty\)
Exercice 1

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1)\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x^2+1}\)
  1. \(3x^2-5x+1 = x^2(3-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}) \to +\infty\).
  2. \(-2x^3+x = x^3(-2+\frac{1}{x^2})\). Quand \(x\to-\infty\), \(x^3\to-\infty\) et le facteur tend vers \(-2\), donc \(-2x^3+x \to +\infty\).
  3. \(x^2+1 \to +\infty\), donc \(\frac{2}{x^2+1} \to 0\).

II. Limite d'une fonction en un point

1. Limite finie en un point

Définition

\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) signifie que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) se rapproche de \(a\) (sans nécessairement que \(f\) soit définie en \(a\)).

2. Limite infinie en un point — Asymptote verticale

Définition

\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\) (ou \(-\infty\)) signifie que \(f(x)\) devient arbitrairement grand (ou petit) quand \(x\) se rapproche de \(a\).

Interprétation graphique — Asymptote verticale

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), la droite \(x = a\) est asymptote verticale à la courbe.

Exemple

\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\). La droite \(x=0\) est asymptote verticale.

x y 1 -1 1 -1 AV : x = 0 AH : y = 0 y = 1/x

Hyperbole \(y = \frac{1}{x}\) : les axes sont asymptotes horizontale et verticale

Application — Limite infinie en un point

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{-3}{x-1}\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \frac{-3}{x-1}\). Que peut-on en déduire pour la courbe ?

Quand \(x \to 1^+\), \(x-1 \to 0^+\) et le numérateur vaut \(-3 < 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{-3}{x-1} = \mathbf{-\infty}\).

Quand \(x \to 1^-\), \(x-1 \to 0^-\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \frac{-3}{x-1} = \mathbf{+\infty}\).

La droite d'équation \(x = 1\) est asymptote verticale à la courbe.

Limites de référence en un point
Exercice 2

Déterminer les limites suivantes et préciser les asymptotes éventuelles :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x+1}{(x-3)^2}\)
  1. Quand \(x \to 2^+\), \(x-2 \to 0^+\), donc \(\frac{1}{x-2} \to +\infty\). Quand \(x \to 2^-\), \(x-2 \to 0^-\), donc \(\frac{1}{x-2} \to -\infty\). La droite \(x=2\) est asymptote verticale.
  2. \(\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\) pour \(x\neq 1\). Donc \(\lim_{x\to 1} = 2\). Pas d'asymptote (limite finie).
  3. Quand \(x\to 3\), \(x+1\to 4>0\) et \((x-3)^2\to 0^+\), donc \(\frac{x+1}{(x-3)^2}\to +\infty\). La droite \(x=3\) est asymptote verticale.

III. Opérations sur les limites

Propriété — Somme
\(\lim f\)\(\lim g\)\(\lim (f+g)\)
\(\ell\)\(\ell'\)\(\ell+\ell'\)
\(\ell\)\(+\infty\)\(+\infty\)
\(+\infty\)\(+\infty\)\(+\infty\)
\(+\infty\)\(-\infty\)FI
Propriété — Produit
\(\lim f\)\(\lim g\)\(\lim (f \times g)\)
\(\ell\)\(\ell'\)\(\ell\times\ell'\)
\(\ell \neq 0\)\(\pm\infty\)\(\pm\infty\) (selon les signes)
\(+\infty\)\(+\infty\)\(+\infty\)
\(0\)\(\pm\infty\)FI
Propriété — Quotient
\(\lim f\)\(\lim g\)\(\lim \frac{f}{g}\)
\(\ell\)\(\ell' \neq 0\)\(\frac{\ell}{\ell'}\)
\(\ell \neq 0\)\(0\)\(\pm\infty\)
\(\pm\infty\)\(\pm\infty\)FI
\(0\)\(0\)FI
Application — Opérations sur les limites (sans forme indéterminée)

Déterminer :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^3 + e^x)\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x+2}{x}\)
  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\) : par somme, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^3 + e^x) = \mathbf{+\infty}\).
  2. Quand \(x \to 0^+\), le numérateur tend vers \(2 > 0\) et le dénominateur vers \(0^+\) : par quotient, \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x+2}{x} = \mathbf{+\infty}\).
Les 4 formes indéterminées

\(+\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\).

Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Exercice 3

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+x-1}{x^2-4}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}\)
  1. FI \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) : \(\frac{3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}} \to \frac{3}{1} = 3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale.
  2. FI \(+\infty-\infty\). Expression conjuguée : \(\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \to \frac{1}{2}\).
  3. C'est le taux d'accroissement de \(e^x\) en 0. On sait que \((e^x)' = e^x\), donc \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = e^0 = 1\).

IV. Limites et comparaison

Théorème des gendarmes (fonctions)

Si pour \(x\) assez grand (ou assez proche de \(a\)), \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\), et si \(\lim g = \lim h = \ell\), alors \(\lim f = \ell\).

Théorème de comparaison
Exercice 4

Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\).

Pour \(x>0\) : \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\). Or \(\lim_{+\infty}\frac{1}{x}=\lim_{+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0\).

Par les gendarmes : \(\lim_{+\infty}f = 0\).

V. Croissances comparées

Propriété — Croissances comparées en \(+\infty\)

Pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\]

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Démonstration (admise au programme)

On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0\), puis par récurrence on montre le résultat pour tout \(n\).

Application — Croissances comparées

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10}}{e^x}\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3}\).

Par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\) :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10}}{e^x} = \mathbf{0}\) (avec \(n = 10\)) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = \mathbf{+\infty}\) (avec \(n = 3\)).

Exemples
Exercice 5

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2e^x - 3x^4)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,e^x\)
  1. \(\frac{x^2}{e^x} \to 0\) par croissances comparées.
  2. \(2e^x - 3x^4 = e^x\left(2-\frac{3x^4}{e^x}\right) \to e^x \times 2 \to +\infty\).
  3. On pose \(X = -x \to +\infty\). \(xe^x = -Xe^{-X} = -\frac{X}{e^X} \to 0\).

VI. Limite et composition

Propriété — Composition de limites

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = b\) et \(\displaystyle\lim_{u \to b} f(u) = \ell\), alors :

\[\lim_{x \to a} f(g(x)) = \ell\]

(sous réserve de compatibilité des ensembles de définition).

Exemple

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}\). On pose \(u = -x^2 \to -\infty\). \(e^u \to 0\). Donc \(e^{-x^2} \to 0\).

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{1/x}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{-1/x}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\)
  1. \(\frac{1}{x} \to 0\), donc \(e^{1/x} \to e^0 = 1\).
  2. \(\frac{1}{x} \to +\infty\), donc \(-\frac{1}{x}\to -\infty\), et \(e^{-1/x}\to 0\).
  3. \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{1+1/x}{1-1/x} \to 1\), donc \(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \to 1\).

VII. Asymptotes — Synthèse

Bilan des asymptotes

Application — Reconnaître une asymptote oblique

Soit \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = 3x - 2 + \dfrac{5}{x}\). Montrer que la droite d'équation \(y = 3x - 2\) est asymptote oblique à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

On calcule la différence : \(f(x) - (3x-2) = \dfrac{5}{x}\). Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (3x-2)\right] = \mathbf{0}\).

La droite d'équation \(y = 3x - 2\) est bien asymptote oblique à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

x y AH : y = 2 AV : x = 1 AO : y = x + 1 Cf

Courbe avec ses trois types d'asymptotes : horizontale (\(y=2\)), verticale (\(x=1\)) et oblique (\(y=x+1\))

Exercice 7

Soit \(f(x) = \frac{2x^2+x-1}{x+1}\).

  1. Déterminer les asymptotes verticales éventuelles.
  2. Effectuer la division euclidienne de \(2x^2+x-1\) par \(x+1\).
  3. En déduire l'asymptote oblique de \(f\) en \(\pm\infty\).
  1. \(f\) n'est pas définie en \(x=-1\). \(2(-1)^2+(-1)-1=0\), donc \(x=-1\) est racine du numérateur aussi. On factorise : \(2x^2+x-1=(x+1)(2x-1)\). Donc \(f(x)=2x-1\) pour \(x\neq -1\). Pas d'asymptote verticale (valeur interdite « simplifiable »).
  2. \(2x^2+x-1 = (x+1)(2x-1) + 0\).
  3. \(f(x) = 2x-1\) est une droite (pas d'asymptote oblique non plus, la courbe est la droite, sauf en \(x=-1\) où il y a un « trou »).
Exercice 8

Soit \(g(x) = \frac{x^2+3}{x-1}\).

  1. Déterminer l'asymptote verticale.
  2. Montrer que la droite \(y = x+1\) est asymptote oblique.
  1. \(\lim_{x\to 1^+}g(x) = \frac{4}{0^+}=+\infty\), \(\lim_{x\to 1^-}g(x)=\frac{4}{0^-}=-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale.
  2. Division : \(x^2+3 = (x-1)(x+1)+4\), donc \(g(x) = x+1+\frac{4}{x-1}\).
  3. \(g(x)-(x+1) = \frac{4}{x-1} \to 0\) quand \(x\to\pm\infty\). La droite \(y=x+1\) est asymptote oblique.
Exercice 9

Problème de synthèse

Soit \(f(x) = \frac{x\,e^x}{e^x-1}\) définie pour \(x \neq 0\).

  1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
  2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\).
  3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
  1. On divise par \(e^x\) : \(f(x) = \frac{x}{1-e^{-x}}\). Quand \(x\to+\infty\), \(e^{-x}\to 0\), donc \(f(x) \sim \frac{x}{1} = x \to +\infty\).
  2. Quand \(x\to-\infty\), \(e^x\to 0\), donc \(f(x) = \frac{xe^x}{e^x-1} \to \frac{0}{-1} = 0\). Asymptote horizontale \(y=0\).
  3. \(f(x) = \frac{x}{\frac{e^x-1}{e^x}} \times 1\). Plus simplement : \(f(x) = \frac{x}{1-e^{-x}}\). En \(0\) : \(\frac{e^x-1}{x}\to 1\) (limite classique), donc \(\frac{x}{e^x-1}\to 1\), et \(f(x) = \frac{xe^x}{e^x-1} = e^x \times \frac{x}{e^x-1} \to 1 \times 1 = 1\).

Simulation — Explorer les limites et asymptotes

Choisir une fonction et ajuster la fenêtre pour observer les asymptotes.