Fiche – Suites : limites et convergence

Chapitre 5 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Une suite converge si elle admet une limite finie \(\ell\) ; sinon elle diverge (vers \(\pm\infty\) ou sans limite).
Pour une fraction polynomiale, on factorise par le terme de plus haut degré pour lever \(\frac{\infty}{\infty}\).
Suite géométrique : si \(-1\lt q\lt 1\) alors \(q^n\to0\) ; si \(q\gt1\) alors \(q^n\to+\infty\).
Une suite croissante et majorée converge (théorème admis).

Définitions clés

Définition Suite convergente : \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les \(u_n\) à partir d'un certain rang. On note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\). La limite, si elle existe, est unique.

Définition Suite divergente : suite qui ne converge pas. Elle peut tendre vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), ou ne pas avoir de limite (oscillation, ex. \((-1)^n\)).

Formes indéterminées

Les 4 formes indéterminées (FI) à lever : \[+\infty-\infty\qquad 0\times\infty\qquad \dfrac{\infty}{\infty}\qquad \dfrac{0}{0}\]

Dans ces cas, il faut transformer : factoriser, diviser, ou encadrer.

Comportement de \((q^n)\)

Valeur de \(q\)	Limite de \(q^n\)
\(q\gt1\)	\(\lim q^n=+\infty\)
\(q=1\)	\(q^n=1\) (limite \(=1\))
\(-1\lt q\lt1\)	\(\lim q^n=0\)
\(q=-1\)	oscille entre \(-1\) et \(1\) (pas de limite)
\(q\lt-1\)	diverge (pas de limite)

Suite croissante majorée : montée en escalier vers \(\ell\).

Croissances comparées Pour \(p\geqslant1\) et \(q\gt1\) : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^p}{q^n}=0\). L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(n\).

Théorème admis Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Méthodes

Méthode Lever \(\frac{\infty}{\infty}\) (fraction polynomiale)

Factoriser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
Simplifier puis faire tendre \(n\to+\infty\) (les termes en \(\frac{1}{n^k}\) tendent vers 0).

Ex. \(\displaystyle\frac{3n^2-n+1}{2n^2+5}=\frac{3-\frac1n+\frac1{n^2}}{2+\frac5{n^2}}\to\frac32\).

Méthode Théorème des gendarmes

Encadrer : \(a_n\leqslant u_n\leqslant b_n\) à partir d'un certain rang.
Si \(\lim a_n=\lim b_n=\ell\), alors \(\lim u_n=\ell\).

Utile dès qu'apparaît \(\sin(n)\) ou \((-1)^n\) au numérateur.

Méthode Raisonnement par récurrence

Initialisation : vérifier \(P(n_0)\).
Hérédité : supposer \(P(n)\) vraie et démontrer \(P(n+1)\).
Conclusion : \(P(n)\) vraie pour tout \(n\geqslant n_0\).

Méthode Suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\)

Étudier sens de variation et bornes (souvent par récurrence).
Conclure à la convergence (croissante majorée / décroissante minorée).
La limite \(\ell\) vérifie \(\ell=f(\ell)\) : on résout cette équation.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Écrire \(\frac{\infty}{\infty}=1\) ou \(+\infty-\infty=0\).
✅ Ce sont des formes indéterminées : il faut transformer l'expression avant de conclure.

❌ Croire que \(q^n\to0\) dès que \(q\lt1\).
✅ Il faut \(-1\lt q\lt1\), c'est-à-dire \(|q|\lt1\). Pour \(q\leqslant-1\), pas de limite.

❌ Penser que le théorème de la suite croissante majorée donne la valeur de la limite.
✅ Il garantit seulement l'existence ; la valeur se trouve avec \(\ell=f(\ell)\).

❌ Oublier l'initialisation ou l'hypothèse de récurrence dans une démonstration par récurrence.