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Chapitre 5 – Suites : limites et convergence

Terminale générale · Mathématiques · Analyse

Objectifs du chapitre

I. Limite d'une suite

1. Suite tendant vers \(+\infty\)

Définition

La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un rang \(n_0\) à partir duquel tous les termes \(u_n\) sont supérieurs à \(A\).

\[\forall A \in \mathbb{R},\ \exists n_0 \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant n_0,\ u_n \geqslant A\]

On note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

Exemple

La suite \(u_n = n^2\) tend vers \(+\infty\). En effet, pour tout \(A > 0\), il suffit de prendre \(n_0 = \lceil\sqrt{A}\rceil\) pour avoir \(n^2 \geqslant A\) dès que \(n \geqslant n_0\).

Définition — Suite tendant vers \(-\infty\)

La suite \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un rang à partir duquel \(u_n \leqslant A\).

2. Suite convergente

Définition — Convergence

La suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si, pour tout intervalle ouvert contenant \(\ell\), tous les termes de la suite sont dans cet intervalle à partir d'un certain rang.

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant n_0,\ |u_n - \ell| \leqslant \varepsilon\]

On note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\) et on dit que \(\ell\) est la limite de la suite.

Propriété — Unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique.

Définition — Suite divergente

Une suite est divergente si elle ne converge pas. Elle peut diverger vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), ou ne pas avoir de limite du tout (oscillation).

Exemples
Exercice 1

Conjecturer la limite des suites suivantes, puis justifier :

  1. \(u_n = \frac{3n+1}{n}\)
  2. \(v_n = \frac{n^2-1}{n}\)
  3. \(w_n = \frac{(-1)^n}{n}\)
  1. \(u_n = 3 + \frac{1}{n} \to 3\). La suite converge vers 3.
  2. \(v_n = n - \frac{1}{n} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
  3. \(-\frac{1}{n} \leqslant w_n \leqslant \frac{1}{n}\) et \(\frac{1}{n} \to 0\). Par le théorème des gendarmes, \(w_n \to 0\).

II. Limites et comparaison

Théorème des gendarmes

Si pour tout \(n\) assez grand, \(a_n \leqslant u_n \leqslant b_n\) et si \(\displaystyle\lim a_n = \lim b_n = \ell\), alors \(\displaystyle\lim u_n = \ell\).

Théorème de comparaison (divergence)
Exercice 2

Déterminer la limite de \(u_n = \frac{\sin(n)}{n}\).

Pour tout \(n \geqslant 1\) : \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\), donc \(-\frac{1}{n} \leqslant \frac{\sin(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}\).

Or \(\lim \frac{1}{n} = \lim \left(-\frac{1}{n}\right) = 0\). Par le théorème des gendarmes, \(\lim u_n = 0\).

III. Opérations sur les limites

Propriété — Opérations sur les limites

Si \(\lim u_n = \ell\) et \(\lim v_n = \ell'\) (avec \(\ell, \ell' \in \mathbb{R}\)) :

Formes indéterminées

Certaines combinaisons ne permettent pas de conclure directement. Ce sont les formes indéterminées :

\(+\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\)

Dans ces cas, il faut transformer l'expression (factoriser, diviser, encadrer…).

Méthode — Lever une forme indéterminée

Pour une fraction polynomiale \(\frac{P(n)}{Q(n)}\), on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple

\(\displaystyle\lim \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5} = \lim \frac{n^2(3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{5}{n^2})} = \frac{3}{2}\).

Exercice 3

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim \frac{2n^3 + n}{n^3 - 1}\)
  2. \(\displaystyle\lim \frac{n^2 + 3n}{5n + 1}\)
  3. \(\displaystyle\lim (n^2 - 3n)\)
  4. \(\displaystyle\lim \frac{1}{n^2 + 1}\)
  1. FI \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(n^3\) : \(\frac{2+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^3}} \to \frac{2}{1} = 2\).
  2. FI \(\frac{\infty}{\infty}\). Degré du numérateur > degré du dénominateur : \(\frac{n^2}{5n} = \frac{n}{5} \to +\infty\).
  3. FI \(+\infty - \infty\). On factorise : \(n^2 - 3n = n(n-3) \to +\infty\) (produit de deux quantités tendant vers \(+\infty\)).
  4. \(n^2 + 1 \to +\infty\), donc \(\frac{1}{n^2+1} \to 0\).

IV. Suites géométriques \((q^n)\)

Propriété — Comportement de \((q^n)\)

Soit \(q\) un nombre réel :

Valeur de \(q\)Limite de \(q^n\)
\(q > 1\)\(\lim q^n = +\infty\)
\(q = 1\)\(q^n = 1\) pour tout \(n\) (limite = 1)
\(-1 < q < 1\)\(\lim q^n = 0\)
\(q = -1\)\(q^n\) oscille entre -1 et 1 (pas de limite)
\(q < -1\)\(q^n\) diverge (pas de limite)
n u_n 0 1 2 3 4 5 6 q > 1 0 < q < 1 −1 < q < 0

Comportement de \((q^n)\) selon la valeur de \(q\) : divergence, convergence vers 0, oscillation amortie.

Exemples
Exercice 4

Déterminer la limite des suites suivantes :

  1. \(u_n = 3 \times 0{,}9^n\)
  2. \(v_n = 5 - 2 \times 1{,}1^n\)
  3. \(w_n = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}\)
  1. \(0{,}9^n \to 0\), donc \(u_n \to 0\).
  2. \(1{,}1^n \to +\infty\), donc \(2 \times 1{,}1^n \to +\infty\), et \(v_n \to -\infty\).
  3. On divise par \(3^n\) : \(w_n = \frac{1 - 3^{-n}}{1 + 3^{-n}} \to \frac{1-0}{1+0} = 1\).

V. Limites et croissance exponentielle

Propriété — Croissances comparées

Pour tout entier \(p \geqslant 1\) et tout réel \(q > 1\) :

\[\lim_{n \to +\infty} \frac{n^p}{q^n} = 0\]

Autrement dit, la suite exponentielle \(q^n\) l'emporte sur toute puissance de \(n\).

Exemple

\(\displaystyle\lim \frac{n^{100}}{2^n} = 0\). Même \(n^{100}\) est négligeable devant \(2^n\) quand \(n \to +\infty\).

Propriété — Limite de la fonction exponentielle
Exercice 5

Déterminer la limite de \(u_n = n^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n\).

On écrit \(u_n = \frac{n^3}{(3/2)^n}\). Comme \(\frac{3}{2} > 1\), par croissances comparées : \(\frac{n^3}{(3/2)^n} \to 0\).

Donc \(u_n \to 0\).

VI. Théorème de convergence monotone

Théorème admis — Suite croissante majorée

Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

n u_n ℓ (limite) majorant M u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ ...

Suite croissante majorée : les termes \(u_n\) montent en « escalier » vers la limite \(\ell\), sans jamais depasser le majorant \(M\).

Attention

Ce théorème garantit l'existence de la limite mais ne donne pas sa valeur. Pour trouver la limite, on utilise d'autres techniques (par exemple, si \(u_{n+1} = f(u_n)\), la limite \(\ell\) vérifie \(\ell = f(\ell)\)).

Propriété

Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Exercice 6

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1\).

  1. Montrer par récurrence que \(u_n \leqslant 2\) pour tout \(n\).
  2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
  3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
  1. Initialisation : \(u_0 = 1 \leqslant 2\). ✓
    Hérédité : Supposons \(u_n \leqslant 2\). Alors \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \leqslant \frac{1}{2}\times 2 + 1 = 2\). ✓
    Par récurrence, \(u_n \leqslant 2\) pour tout \(n\).
  2. \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 1 - u_n = 1 - \frac{1}{2}u_n = \frac{2-u_n}{2}\). Comme \(u_n \leqslant 2\), on a \(u_{n+1}-u_n \geqslant 0\). La suite est croissante.
  3. La suite est croissante et majorée par 2 : elle converge vers une limite \(\ell\).
    En passant à la limite dans \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1\) : \(\ell = \frac{1}{2}\ell + 1\), \(\frac{1}{2}\ell = 1\), \(\ell = 2\).

Simulation — Suite récurrente et toile d'araignée

Choisir une fonction \(f\), un point de départ \(u_0\) et observer la convergence ou divergence de la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\).

VII. Raisonnement par récurrence

Méthode — Raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\) :

  1. Initialisation : vérifier que \(P(n_0)\) est vraie
  2. Hérédité : supposer \(P(n)\) vraie pour un \(n \geqslant n_0\) fixé (hypothèse de récurrence) et montrer que \(P(n+1)\) est alors vraie
  3. Conclusion : par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\)
Exercice 7

Montrer par récurrence que pour tout \(n \geqslant 1\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Initialisation (\(n=1\)) : \(\sum_{k=1}^{1} k^2 = 1\) et \(\frac{1\times 2\times 3}{6} = 1\). ✓

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\). Alors :

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\)

\(= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6}\)

\(= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).

C'est bien la formule au rang \(n+1\). ✓

Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout \(n \geqslant 1\). □

Exercice 8

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\).

  1. Montrer par récurrence que \(u_n \geqslant 3\) pour tout \(n\).
  2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
  3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
  1. Init : \(u_0 = 3 \geqslant 3\). ✓
    Héré : Si \(u_n \geqslant 3\), alors \(2u_n + 3 \geqslant 9\), \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n+3} \geqslant 3\). ✓
  2. \(u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2u_n+3-u_n^2 = -(u_n^2-2u_n-3) = -(u_n-3)(u_n+1)\).
    Comme \(u_n \geqslant 3\) et \(u_n+1 > 0\), on a \(u_{n+1}^2-u_n^2 \leqslant 0\). Les termes étant positifs, \(u_{n+1} \leqslant u_n\). La suite est décroissante.
  3. Décroissante et minorée par 3 : elle converge. \(\ell = \sqrt{2\ell+3}\), \(\ell^2 = 2\ell+3\), \(\ell^2-2\ell-3=0\), \((\ell-3)(\ell+1)=0\). Comme \(\ell \geqslant 3\) : \(\ell = 3\).

VIII. Suites et modélisation

Exercice 9

Évolution d'une population

Une population de bactéries est modélisée par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 100\) et \(u_{n+1} = 1{,}5\,u_n - 50\).

  1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
  2. On pose \(v_n = u_n - 100\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
  3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Déterminer la limite de \((u_n)\).
  1. \(u_1 = 150-50=100\), \(u_2 = 150-50=100\), \(u_3 = 100\). La suite semble constante.
  2. \(v_{n+1} = u_{n+1}-100 = 1{,}5\,u_n - 50 - 100 = 1{,}5\,u_n - 150 = 1{,}5(u_n-100) = 1{,}5\,v_n\).
    \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}5\).
  3. \(v_n = v_0 \times 1{,}5^n = (100-100) \times 1{,}5^n = 0\). Donc \(u_n = v_n + 100 = 100\).
  4. La suite est constante : \(\lim u_n = 100\).
Exercice 10

Problème de synthèse — Recherche de seuil

Soit la suite géométrique \((u_n)\) définie par \(u_n = 5000 \times 0{,}95^n\).

  1. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
  2. Déterminer sa limite.
  3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n < 1\).
  1. \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = 0{,}95 < 1\) et \(u_n > 0\), donc \(u_{n+1} < u_n\). La suite est décroissante.
  2. \(0{,}95^n \to 0\) car \(|0{,}95|<1\), donc \(u_n \to 0\).
  3. \(u_n < 1 \Leftrightarrow 5000 \times 0{,}95^n < 1 \Leftrightarrow 0{,}95^n < \frac{1}{5000}\).
    \(n\ln(0{,}95) < -\ln(5000)\). Comme \(\ln(0{,}95) < 0\) : \(n > \frac{\ln(5000)}{-\ln(0{,}95)} = \frac{\ln 5000}{\ln(20/19)}\).
    \(n > \frac{8{,}517}{0{,}05129} \approx 166{,}1\). Le plus petit entier est \(n = 167\).