Fiche – Orthogonalité et distances dans l'espace

Chapitre 3 | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

En repère orthonormé : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) et \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Ces formules ne valent QUE si le repère est orthonormé.
Orthogonalité : \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Vecteur normal \(\vec{n}\) à un plan : orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires. Équation du plan : \(\vec{AM}\cdot\vec{n}=0\).
Le projeté orthogonal est le point le plus proche : distance minimale.
Distance point–plan : \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

Vecteur normal \(\vec{n}\) au plan \(\mathcal{P}\) : \(M\in\mathcal{P}\iff\vec{AM}\cdot\vec{n}=0\)

Définitions clés

Définition

Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})\) (et \(0\) si l'un des vecteurs est nul).

Définition

Vecteurs orthogonaux : \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Définition

Base orthonormée : vecteurs deux à deux orthogonaux et tous de norme 1. Repère orthonormé : repère dont la base est orthonormée.

Définition

Vecteur normal à un plan \(\mathcal{P}\) : vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de \(\mathcal{P}\).

Définition

Projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) : le point \(H\in\mathcal{P}\) tel que \((MH)\perp\mathcal{P}\). C'est le point de \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(M\).

Formules à connaître

Produit scalaire et norme (repère orthonormé) \[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz' \qquad \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

avec \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\).

Distance entre deux points \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Angle entre deux vecteurs \[\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}\]

Équation d'un plan (point \(A\), normal \(\vec{n}(a;b;c)\)) \[\vec{AM}\cdot\vec{n}=0 \;\Longleftrightarrow\; ax+by+cz+d=0\]

Distance d'un point à un plan \[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

pour \(M(x_0;y_0;z_0)\) et \(\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0\).

Propriétés et formules utiles

Carré scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\). Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\).
\(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\).
Polarisation : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\tfrac12\big(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\big)\).
Droite de vecteur \(\vec{n}\) orthogonale au plan dirigé par \((\vec{u},\vec{v})\) \(\iff\) \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).

Méthodes

Méthode Déterminer un vecteur normal à un plan

Choisir deux vecteurs directeurs non colinéaires \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) du plan.
Chercher \(\vec{n}(a;b;c)\) tel que \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
Résoudre le système et choisir une valeur simple pour obtenir \(\vec{n}\).

Méthode Trouver le projeté orthogonal \(H\) et la distance

Sur un plan (par \(A\), normal \(\vec{n}\)) : paramétrer \(H=M+t\vec{n}\), puis utiliser \(\vec{AH}\cdot\vec{n}=0\) pour trouver \(t\).
Sur une droite (par \(A\), directeur \(\vec{u}\)) : paramétrer \(H=A+t\vec{u}\), puis résoudre \(\vec{MH}\cdot\vec{u}=0\).
La distance cherchée est \(MH=\|\vec{MH}\|\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Utiliser \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) dans un repère quelconque.

✅ Cette formule (et celle de la norme) n'est valable qu'en repère orthonormé.

❌ Confondre droites orthogonales et perpendiculaires.

✅ Perpendiculaires = orthogonales et sécantes. Dans l'espace, deux droites peuvent être orthogonales sans se couper.

❌ Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance point–plan.

✅ Une distance est toujours positive : \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

❌ Vérifier l'orthogonalité d'une droite au plan avec un seul vecteur du plan.

✅ Il faut l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

Exemple rapide

Exemple — distance d'un point à un plan

Distance de \(M(1;-2;3)\) au plan \(2x-y+2z-1=0\) :

\(d=\dfrac{|2(1)-(-2)+2(3)-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{|2+2+6-1|}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3\).