Ch03 – Orthogonalité et distances dans l'espace – QCM

Question 1

Soient \(\vec{u}(2;-1;3)\) et \(\vec{v}(1;4;-2)\). Combien vaut le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ?

\(8\) \(-8\) \(0\) \(12\)

Question 2

Les vecteurs \(\vec{u}(5;0;-1)\) et \(\vec{v}(2;7;10)\) sont-ils orthogonaux ?

Non, leur produit scalaire vaut 20 Non, ils sont colinéaires Oui, car ils ont la même norme Oui, car \(\vec{u}\cdot\vec{v}=10+0-10=0\)

Question 3

Quelle est la norme du vecteur \(\vec{u}(2;1;-3)\) ?

\(6\) \(\sqrt{6}\) \(\sqrt{14}\) \(14\)

Question 4

Soient \(A(1;2;3)\) et \(B(4;-2;6)\). Quelle est la distance \(AB\) ?

\(\sqrt{34}\) \(34\) \(\sqrt{10}\) \(10\)

Question 5

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :

\(\vec{u}=\lambda\vec{v}\) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) \(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|\) \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}\)

Question 6

Une base \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est dite orthonormée lorsque :

les trois vecteurs sont colinéaires les vecteurs sont seulement deux à deux orthogonaux les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et tous de norme 1 les vecteurs sont seulement tous de norme 1

Question 7

Pour montrer qu'un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan dirigé par \((\vec{u},\vec{v})\) non colinéaires, il suffit de vérifier :

\(\vec{n}=\vec{u}+\vec{v}\) \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) seulement \(\|\vec{n}\|=1\) \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\)

Question 8

Dans le cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\), on a \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\). Quel vecteur est normal au plan \((BDE)\) ?

\(\vec{n}(1;1;1)\) \(\vec{n}(1;0;0)\) \(\vec{n}(1;-1;0)\) \(\vec{n}(0;0;1)\)

Question 9

Quelle est l'équation du plan passant par \(A(1;2;3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1;-1;2)\) ?

\(x+y+2z-5=0\) \(x-y+2z-5=0\) \(x-y+2z=0\) \(x-2y+3z-5=0\)

Question 10

Quelle est la distance du point \(M(2;3;4)\) au plan d'équation \(x+y+z-3=0\) ?

\(6\) \(\dfrac{6}{\sqrt{2}}\) \(2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}\)

Question 11

Dans le cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, on a \(\vec{AG}(1;1;1)\) et \(\vec{AB}(1;0;0)\). Quelle est la valeur de \(\cos(\widehat{GAB})\) ?

\(\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)

Question 12

Une sphère a pour centre \(\Omega(1;2;3)\) et rayon \(R=5\). Le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(2x-y+2z-10=0\) est à la distance \(d=\dfrac{4}{3}\) de \(\Omega\). Que peut-on conclure ?

Le plan ne coupe pas la sphère (\(d > R\)) Le plan est tangent à la sphère (\(d = R\)) Le plan passe par le centre de la sphère Le plan coupe la sphère suivant un cercle (\(d < R\))