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Chapitre 3 – Orthogonalité et distances dans l'espace

Terminale générale · Mathématiques · Algèbre et géométrie

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Objectifs du chapitre

I. Produit scalaire dans l'espace

1. Définition

Définition — Produit scalaire

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) défini par :

où \(\|\vec{u}\|\) désigne la norme de \(\vec{u}\) et \((\vec{u}, \vec{v})\) l'angle entre les deux vecteurs.

O u v θ H ‖u‖ ‖v‖ projection : ‖u‖ cos θ

Produit scalaire : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ. Le projeté H de u sur v donne la composante ‖u‖ cos θ.

Propriétés du produit scalaire

2. Expression avec les coordonnées

Propriété — Produit scalaire en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), si \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\), alors :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'\]
Exemple

Soient \(\vec{u}(2;-1;3)\) et \(\vec{v}(1;4;-2)\).

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times (-2) = 2 - 4 - 6 = -8\).

Exercice 1

Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) dans les cas suivants :

  1. \(\vec{u}(3;1;-2)\) et \(\vec{v}(1;-3;4)\)
  2. \(\vec{u}(5;0;-1)\) et \(\vec{v}(2;7;10)\)
  3. \(\vec{u}(1;1;1)\) et \(\vec{v}(-1;2;-1)\)
  1. \(3 \times 1 + 1 \times (-3) + (-2) \times 4 = 3 - 3 - 8 = -8\).
  2. \(5 \times 2 + 0 \times 7 + (-1) \times 10 = 10 + 0 - 10 = 0\).
  3. \(1 \times (-1) + 1 \times 2 + 1 \times (-1) = -1 + 2 - 1 = 0\).

3. Norme et distance

Propriété — Norme en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur \(\vec{u}(x;y;z)\) est :

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

La distance entre deux points \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) est :

\[AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\]
Exemple

Soient \(A(1;2;3)\) et \(B(4;-2;6)\).

\(AB = \sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2+(6-3)^2} = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}\).

Exercice 2

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;-1)\) et \(C(0;4;1)\).

  1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
  2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
  1. \(AB = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}\), \(AC = \sqrt{1+16+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), \(BC = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}\).
  2. On vérifie la réciproque de Pythagore. Le plus grand côté est \(BC = \sqrt{22}\).
    \(AB^2 + AC^2 = 14 + 18 = 32 \neq 22 = BC^2\). Non.
    \(AB^2 + BC^2 = 14 + 22 = 36 = AC^2\) ? Non, \(AC^2 = 18\).
    \(AC^2 + BC^2 = 18 + 22 = 40 \neq 14\).
    Aucune relation de Pythagore n'est vérifiée. Vérifions par le produit scalaire :
    \(\vec{AB}(2;1;-3)\), \(\vec{AC}(-1;4;-1)\). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = -2+4+3 = 5 \neq 0\).
    Le triangle n'est pas rectangle.

II. Orthogonalité de vecteurs

Définition — Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

On note \(\vec{u} \perp \vec{v}\).

Caractérisation par les coordonnées

En repère orthonormé, \(\vec{u}(x;y;z) \perp \vec{v}(x';y';z')\) si et seulement si :

\[xx' + yy' + zz' = 0\]
Exemple

\(\vec{u}(5;0;-1)\) et \(\vec{v}(2;7;10)\) sont orthogonaux car \(10 + 0 - 10 = 0\).

Formules de polarisation

Propriété — Développement de \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2\)

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\]

D'où les formules de polarisation :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\] \[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\]
Exercice 3

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1 muni du repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\), calculer :

  1. \(\vec{AG} \cdot \vec{AB}\)
  2. \(\vec{AG} \cdot \vec{HB}\)
  3. L'angle \(\widehat{GAB}\)
  1. \(\vec{AG}(1;1;1)\) et \(\vec{AB}(1;0;0)\). \(\vec{AG}\cdot\vec{AB} = 1\).
  2. \(\vec{HB}(1;-1;-1)\). \(\vec{AG}\cdot\vec{HB} = 1-1-1 = -1\).
  3. \(\cos(\widehat{GAB}) = \frac{\vec{AG}\cdot\vec{AB}}{\|\vec{AG}\|\times\|\vec{AB}\|} = \frac{1}{\sqrt{3}\times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
    \(\widehat{GAB} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}7°\).

III. Base orthonormée et repère orthonormé

Définition

Une base \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l'espace est orthonormée si :

Un repère orthonormé est un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) dont la base est orthonormée.

Propriété

Dans un repère orthonormé, les formules de produit scalaire, norme et distance sont les formules simples vues au paragraphe I. Ces formules ne sont valables que dans un repère orthonormé.

Attention

Si le repère n'est pas orthonormé, les formules \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz'\) et \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ne sont pas valables. Il faut alors utiliser la définition avec les normes et l'angle, ou les formules de polarisation.

Exercice 4

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, le repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) est-il orthonormé ? Justifier.

Les trois vecteurs sont de norme 1 (côté du cube). Ils sont deux à deux orthogonaux (arêtes perpendiculaires d'un cube). Donc la base est orthonormée, et le repère est orthonormé.

IV. Orthogonalité de droites et de plans

1. Droites orthogonales

Définition

Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être non coplanaires).

Orthogonales ≠ perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires si elles sont à la fois orthogonales et sécantes. Dans l'espace, deux droites peuvent être orthogonales sans se couper.

2. Droite orthogonale à un plan

Définition

Une droite \(d\) est orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan \(\mathcal{P}\) si elle est orthogonale à toutes les droites de \(\mathcal{P}\).

Propriété — Critère pratique

Une droite \(d\) de vecteur directeur \(\vec{n}\) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) dirigé par \((\vec{u},\vec{v})\) si et seulement si :

\[\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0\]

Il suffit de vérifier l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

3. Vecteur normal à un plan

Définition — Vecteur normal

Un vecteur non nul \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de \(\mathcal{P}\).

Le vecteur \(\vec{n}\) dirige alors toute droite perpendiculaire à \(\mathcal{P}\).

P A n u₁ u₂ n ⊥ u₁ n ⊥ u₂

Vecteur normal n perpendiculaire au plan P : n est orthogonal aux deux vecteurs directeurs u₁ et u₂ du plan.

Propriété

Étant donné un point \(A\) et un vecteur non nul \(\vec{n}\), il existe un unique plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).

Un point \(M\) appartient à ce plan si et seulement si \(\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0\).

Exemple

Le plan passant par \(A(1;2;3)\) de vecteur normal \(\vec{n}(1;-1;2)\) est l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que :

\(\vec{AM}\cdot\vec{n} = 0\), soit \(1(x-1) + (-1)(y-2) + 2(z-3) = 0\), d'où \(x - y + 2z - 5 = 0\).

Exercice 5

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, muni du repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) :

  1. Montrer que la droite \((AG)\) est orthogonale à la droite \((BD)\).
  2. Déterminer un vecteur normal au plan \((BDE)\).
  1. \(\vec{AG}(1;1;1)\) et \(\vec{BD} = D - B = (0;1;0) - (1;0;0) = (-1;1;0)\).
    \(\vec{AG}\cdot\vec{BD} = (1)\times(-1) + (1)\times 1 + (1)\times 0 = 0\).
    Le produit scalaire est nul, donc les droites \((AG)\) et \((BD)\) sont orthogonales.
  2. \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\). Vecteurs du plan : \(\vec{BD}(-1;1;0)\) et \(\vec{BE}(-1;0;1)\).
    On cherche \(\vec{n}(a;b;c)\) tel que \(\vec{n}\cdot\vec{BD} = 0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{BE} = 0\) : \[\begin{cases} -a + b = 0 \\ -a + c = 0 \end{cases}\] Donc \(b = a\) et \(c = a\). En prenant \(a = 1\) : \(\vec{n}(1;1;1)\).
    Le vecteur \(\vec{n}(1;1;1)\) est normal au plan \((BDE)\). On remarque que \(\vec{n} = \vec{AG}\).

4. Plans orthogonaux

Propriété

Deux plans sont perpendiculaires si une droite de l'un est orthogonale à l'autre. De manière équivalente, les vecteurs normaux des deux plans sont orthogonaux.

V. Projeté orthogonal et distances

1. Projeté orthogonal sur un plan

Définition

Le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur un plan \(\mathcal{P}\) est le point \(H\) de \(\mathcal{P}\) tel que la droite \((MH)\) est perpendiculaire à \(\mathcal{P}\).

Propriété fondamentale

Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur le plan \(\mathcal{P}\) est le point de \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(M\). Pour tout point \(P\) de \(\mathcal{P}\) :

\[MH \leqslant MP\]

avec égalité si et seulement si \(P = H\).

Méthode — Trouver le projeté orthogonal sur un plan

Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par \(A\) de vecteur normal \(\vec{n}\). Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point d'intersection de \(\mathcal{P}\) et de la droite passant par \(M\) de direction \(\vec{n}\).

On paramètre : \(H = M + t\vec{n}\) pour un certain \(t \in \mathbb{R}\), puis on utilise \(\vec{AH}\cdot\vec{n} = 0\) pour déterminer \(t\).

Exercice 6

Soit \(\mathcal{P}\) le plan d'équation \(x + y + z - 3 = 0\) et \(M(2;3;4)\).

  1. Déterminer un vecteur normal à \(\mathcal{P}\).
  2. Paramétrer la droite passant par \(M\) et perpendiculaire à \(\mathcal{P}\).
  3. Trouver le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{P}\).
  4. Calculer la distance \(MH\).
  1. \(\vec{n}(1;1;1)\).
  2. Les points de la droite sont de la forme \((2+t;\ 3+t;\ 4+t)\) avec \(t \in \mathbb{R}\).
  3. \(H \in \mathcal{P}\) : \((2+t)+(3+t)+(4+t)-3 = 0\), soit \(9+3t-3 = 0\), \(3t = -6\), \(t = -2\).
    \(H(0;1;2)\).
  4. \(MH = \sqrt{(2-0)^2+(3-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}\).

2. Projeté orthogonal sur une droite

Définition

Le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur une droite \(d\) est le point \(H\) de \(d\) tel que \(\vec{MH}\) est orthogonal au vecteur directeur de \(d\).

Méthode — Trouver le projeté sur une droite

Soit \(d\) la droite passant par \(A\) de vecteur directeur \(\vec{u}\). On paramètre \(H = A + t\vec{u}\), puis on résout \(\vec{MH}\cdot\vec{u} = 0\).

Exercice 7

Soit la droite \(d\) passant par \(A(1;0;0)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1;1;1)\) et le point \(M(3;1;2)\).

  1. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\).
  2. Calculer la distance de \(M\) à la droite \(d\).
  1. \(H = A + t\vec{u} = (1+t;t;t)\). \(\vec{MH} = (t-2;t-1;t-2)\).
    \(\vec{MH}\cdot\vec{u} = (t-2)+(t-1)+(t-2) = 3t-5 = 0\), d'où \(t = \frac{5}{3}\).
    \(H\left(\frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}\right)\).
  2. \(\vec{MH} = \left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)\).
    \(MH = \sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

VI. Distance d'un point à un plan

Propriété — Formule de distance

La distance du point \(M(x_0;y_0;z_0)\) au plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(ax+by+cz+d = 0\) est :

\[d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Justification

Le vecteur normal est \(\vec{n}(a;b;c)\). Si \(A\) est un point du plan, \(d(M,\mathcal{P}) = MH\) où \(H\) est le projeté orthogonal. On a \(MH = \left|\frac{\vec{AM}\cdot\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\right|\), et \(\vec{AM}\cdot\vec{n} = ax_0+by_0+cz_0+d\).

Exemple

Distance de \(M(2;3;4)\) au plan \(x+y+z-3 = 0\) :

\(d = \frac{|2+3+4-3|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).

On retrouve le résultat de l'exercice 6.

Exercice 8

Calculer la distance du point \(M(1;-2;3)\) au plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(2x - y + 2z - 1 = 0\).

\(d = \frac{|2(1)-(-2)+2(3)-1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2+2+6-1|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\).

VII. Applications

Exercice 9

Angle dans un cube

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, muni du repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\), calculer l'angle \(\widehat{BEG}\).

\(B(1;0;0)\), \(E(0;0;1)\), \(G(1;1;1)\).

\(\vec{EB} = B - E = (1;0;-1)\), \(\vec{EG} = G - E = (1;1;0)\).

\(\vec{EB}\cdot\vec{EG} = 1+0+0 = 1\).

\(\|\vec{EB}\| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}\), \(\|\vec{EG}\| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}\).

\(\cos(\widehat{BEG}) = \frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).

\(\widehat{BEG} = 60°\).

Exercice 10

Problème de synthèse — Pyramide

On considère le tétraèdre \(OABC\) avec \(O(0;0;0)\), \(A(2;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;2)\) dans un repère orthonormé.

  1. Calculer les longueurs \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(AB\), \(AC\), \(BC\).
  2. Quelle est la nature du tétraèdre ?
  3. Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\).
  4. Calculer la distance de \(O\) au plan \((ABC)\).
  5. En déduire le volume du tétraèdre \(OABC\).
  1. \(OA = OB = OC = 2\). \(AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}\), \(AC = 2\sqrt{2}\), \(BC = 2\sqrt{2}\).
  2. Les trois arêtes issues de \(O\) sont égales et deux à deux perpendiculaires (\(\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0\), etc.). Les trois autres arêtes sont égales. C'est un tétraèdre trirectangle isocèle en \(O\), avec la face \(ABC\) qui est un triangle équilatéral.
  3. Vecteurs du plan : \(\vec{AB}(-2;2;0)\), \(\vec{AC}(-2;0;2)\). On cherche \(\vec{n}(a;b;c)\) :
    \(-2a+2b = 0 \Rightarrow a = b\) et \(-2a+2c = 0 \Rightarrow a = c\).
    \(\vec{n}(1;1;1)\).
  4. Équation du plan : \(x+y+z+d = 0\). \(A(2;0;0)\) y appartient : \(2+d = 0\), \(d = -2\).
    Plan : \(x+y+z-2 = 0\).
    \(d(O, (ABC)) = \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
  5. L'aire du triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(2\sqrt{2}\) est \(\mathcal{A} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\).
    Volume : \(V = \frac{1}{3}\times\mathcal{A}\times h = \frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}\times\frac{12}{3} = \frac{4}{3}\).
    Vérification : \(V = \frac{1}{6}\times OA \times OB \times OC = \frac{1}{6}\times 2 \times 2 \times 2 = \frac{4}{3}\). ✓
Exercice 11

Sphère et plan

Soit la sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(\Omega(1;2;3)\) et de rayon \(R = 5\), et le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(2x - y + 2z - 10 = 0\).

  1. Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \(\mathcal{P}\).
  2. Le plan \(\mathcal{P}\) coupe-t-il la sphère ?
  3. Si oui, quel est le rayon du cercle d'intersection ?
  1. \(d = \frac{|2(1)-2+2(3)-10|}{3} = \frac{|2-2+6-10|}{3} = \frac{4}{3}\).
  2. \(d = \frac{4}{3} < 5 = R\), donc le plan coupe la sphère suivant un cercle.
  3. Par Pythagore : \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{225-16}{9}} = \sqrt{\frac{209}{9}} = \frac{\sqrt{209}}{3} \approx 4{,}81\).

Simulation — Produit scalaire et angle

Ajuster l'angle entre les vecteurs pour observer le produit scalaire.