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L'essentiel :
- Les règles de calcul vectoriel du plan (Chasles, opérations) s'étendent à l'espace.
- Colinéaires → \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) (même direction). Coplanaires → \(\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\).
- Une droite = un point + un vecteur directeur. Un plan = un point + deux vecteurs non colinéaires.
- Nouveauté de l'espace : deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper (non coplanaires).
- Une base = trois vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'y décompose de manière unique.
Définitions clés
Définition
Vecteurs colinéaires : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe \(\lambda\) tel que \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) (ou \(\vec{u}=\vec{0}\)). Ils ont la même direction.
Définition
Vecteurs coplanaires : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires s'il existe \(\alpha,\beta\) tels que \(\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\) (\(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)).
Définition
Vecteur directeur d'une droite : un vecteur non nul \(\vec{u}\) ayant la même direction que la droite.
Définition
Base de l'espace : trois vecteurs non coplanaires. Repère : une origine \(O\) et une base \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Caractérisations à connaître
Relation de Chasles
\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]
Alignement et coplanarité de points
- \(A,B,C\) alignés \(\iff\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires.
- \(A,B,C,D\) coplanaires \(\iff\) il existe \(\alpha,\beta\) tels que \(\vec{AD}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}\).
Appartenance à une droite (droite passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec{u}\))
\[M \in d \iff \vec{AM}=t\vec{u},\ t\in\mathbb{R}\]
Appartenance à un plan (plan par \(A\), dirigé par \(\vec{u},\vec{v}\) non colinéaires)
\[M \in \mathcal{P} \iff \vec{AM}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v},\ (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\]
Base et repère
- Dans une base \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) : tout vecteur s'écrit de façon unique \(\vec{t}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}\).
- Coordonnées d'un point : \(\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\), soit \(M(x;y;z)\).
- Milieu de \([AB]\) : \(I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).
Positions relatives (tableau de synthèse)
| Objets | Situations possibles |
|---|
| Deux droites | confondues · strictement parallèles · sécantes · non coplanaires |
| Droite et plan | incluse · parallèle (sans être incluse) · sécante (un point) |
| Deux plans | confondus · strictement parallèles · sécants (intersection = une droite) |
Critères de parallélisme
- Deux droites parallèles \(\iff\) vecteurs directeurs colinéaires.
- Droite (de vecteur \(\vec{w}\)) parallèle au plan dirigé par \((\vec{u},\vec{v})\) \(\iff\) \(\vec{w}\), \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) coplanaires.
Théorème du toit
Si deux plans sécants suivant \(d\) contiennent deux droites parallèles \(\Delta\) et \(\Delta'\), alors \(\Delta\), \(\Delta'\) et \(d\) sont parallèles.
Méthodes
Méthode
Tester l'appartenance d'un point à un plan
- Calculer les composantes de \(\vec{AM}\).
- Poser \(\vec{AM}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\) : système de 3 équations à 2 inconnues.
- Déterminer \(\alpha,\beta\) avec deux équations, puis vérifier la troisième. Si elle est satisfaite, \(M\in\mathcal{P}\).
Méthode
Vérifier qu'on a une base / décomposer un vecteur
- Base : montrer que \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}\) n'a que la solution \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
- Décomposition : résoudre \(\vec{t}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}\), système de 3 équations à 3 inconnues.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Croire que deux droites non parallèles de l'espace sont forcément sécantes.
✅ Dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires (ne se coupent pas).
❌ Définir un plan avec deux vecteurs colinéaires.
✅ Les deux vecteurs directeurs d'un plan doivent être non colinéaires.
❌ Penser que l'intersection de deux plans sécants peut être un point.
✅ L'intersection de deux plans sécants est toujours une droite.
❌ Conclure à la colinéarité dès que deux composantes sont proportionnelles.
✅ Le même coefficient \(\lambda\) doit convenir pour les trois composantes.
Exemple rapide
Exemple — cube \(ABCDEFGH\), repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) de côté 1
Coordonnées : \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\), \(C(1;1;0)\), \(G(1;1;1)\).
Le centre du cube est le milieu de \([AG]\) : \(\Omega\left(\tfrac12;\tfrac12;\tfrac12\right)\).