Chapitre 2 – Vecteurs, droites et plans de l'espace

Terminale générale · Mathématiques · Algèbre et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:07

Objectifs du chapitre

Manipuler les vecteurs de l'espace et les combinaisons linéaires
Caractériser droites et plans par des vecteurs directeurs ou de direction
Étudier la position relative de droites et de plans
Décomposer un vecteur dans une base de l'espace

I. Vecteurs de l'espace

1. Rappels et extension à l'espace

Définition — Vecteur de l'espace

Un vecteur de l'espace est défini, comme dans le plan, par une direction, un sens et une norme. Deux vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété — Relation de Chasles

Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) de l'espace :

\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]

Propriété — Opérations sur les vecteurs

Les règles de calcul sur les vecteurs du plan s'étendent à l'espace :

Addition : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) (commutativité)
Multiplication par un scalaire : \(\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}\)
Vecteur nul : \(\vec{0}\) vérifie \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
Opposé : \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)

Application — Relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes ( \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) sont des points quelconques de l'espace) :

\(2\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC}\)
\(\vec{MN} - \vec{PN} + \vec{PQ}\)

À toi de jouer :

On isole une relation de Chasles : \(2\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{BC}) - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AC} = \mathbf{\vec{AB}}\).
\(-\vec{PN} = \vec{NP}\), donc \(\vec{MN} - \vec{PN} + \vec{PQ} = \vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} = \vec{MP} + \vec{PQ} = \mathbf{\vec{MQ}}\).

2. Translations

Définition — Translation

La translation de vecteur \(\vec{u}\) est la transformation qui, à tout point \(M\) de l'espace, associe l'unique point \(M'\) tel que \(\vec{MM'} = \vec{u}\).

Exemple

Dans un cube \(ABCDEFGH\), la translation de vecteur \(\vec{AE}\) envoie \(A\) sur \(E\), \(B\) sur \(F\), \(C\) sur \(G\) et \(D\) sur \(H\). Elle envoie la face \(ABCD\) sur la face \(EFGH\).

Cube ABCDEFGH — Translation de vecteur AE envoyant la face ABCD sur EFGH

Exercice 1

Dans un parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\) (avec \(ABCD\) la face inférieure et \(EFGH\) la face supérieure, \(A\) sous \(E\), \(B\) sous \(F\), etc.), simplifier les sommes vectorielles suivantes :

\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG}\)
\(\vec{AE} + \vec{EH} + \vec{HD}\)
\(\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AD}\)

Par Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{AC} + \vec{CG} = \vec{AG}\).
Par Chasles : \(\vec{AE} + \vec{EH} + \vec{HD} = \vec{AH} + \vec{HD} = \vec{AD}\).
\(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) (diagonale de la face inférieure), puis \(\vec{AC} + \vec{AE} = \vec{AG}\) (car \(\vec{CG} = \vec{AE}\)).
Donc \(\vec{AB} + \vec{AE} + \vec{AD} = \vec{AG}\).

II. Combinaisons linéaires de vecteurs

1. Définition

Définition — Combinaison linéaire

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l'espace et \(\alpha, \beta\) deux nombres réels. Le vecteur \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Plus généralement, \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

Application — Calculer une combinaison linéaire

On donne \(\vec{u}(2;-1;3)\) et \(\vec{v}(1;0;-2)\). Calculer les coordonnées des vecteurs :

\(3\vec{u} - 2\vec{v}\)
\(-\vec{u} + 4\vec{v}\)

À toi de jouer :

\(3\vec{u} - 2\vec{v} = (3 \times 2 - 2 \times 1;\ 3 \times (-1) - 2 \times 0;\ 3 \times 3 - 2 \times (-2)) = \mathbf{(4;-3;13)}\).
\(-\vec{u} + 4\vec{v} = (-2 + 4;\ 1 + 0;\ -3 - 8) = \mathbf{(2;1;-11)}\).

2. Colinéarité

Définition — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \vec{0}\)).

Géométriquement, deux vecteurs colinéaires ont la même direction.

Propriété

Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Exercice 2

Soient \(A(1;2;3)\), \(B(3;6;7)\) et \(C(4;8;9)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

\(\vec{AB}(2;4;4)\) et \(\vec{AC}(3;6;6)\).

On vérifie : \(\vec{AC} = \frac{3}{2}\vec{AB}\) car \(3 = \frac{3}{2} \times 2\), \(6 = \frac{3}{2} \times 4\), \(6 = \frac{3}{2} \times 4\).

Les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

3. Coplanarité

Définition — Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires s'il existe des réels \(\alpha\), \(\beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\), c'est-à-dire si \(\vec{w}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Propriété

Quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) sont coplanaires, c'est-à-dire s'il existe \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que :

\[\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}\]

Exemple

Dans un cube \(ABCDEFGH\), les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) ne sont pas coplanaires : aucun des trois ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres. On dit qu'ils sont non coplanaires.

Exercice 3

Soient \(\vec{u}(1;0;2)\), \(\vec{v}(0;1;-1)\) et \(\vec{w}(2;3;1)\). Le vecteur \(\vec{w}\) est-il une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ?

On cherche \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\), soit :

\[\begin{cases} \alpha = 2 \\ \beta = 3 \\ 2\alpha - \beta = 1 \end{cases}\]

De la 1^re équation : \(\alpha = 2\). De la 2^e : \(\beta = 3\).

Vérification dans la 3^e : \(2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\). ✓

\(\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.

III. Droites de l'espace

1. Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur non nul \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\) s'il existe deux points \(A\) et \(B\) de \(d\) tels que \(\vec{AB} = \lambda\vec{u}\) pour un certain \(\lambda \neq 0\).

Autrement dit, \(\vec{u}\) a la même direction que la droite.

Propriété — Caractérisation d'une droite

Une droite de l'espace est entièrement déterminée par :

un point \(A\) de la droite, et
un vecteur directeur \(\vec{u}\) non nul.

Un point \(M\) appartient à la droite \(d\) si et seulement si \(\vec{AM}\) est colinéaire à \(\vec{u}\), c'est-à-dire s'il existe \(t \in \mathbb{R}\) tel que :

\[\vec{AM} = t\vec{u}\]

Application — Appartenance à une droite

La droite \(d\) passe par \(A(2;1;-1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(1;-2;3)\).

Le point \(M(5;-5;8)\) appartient-il à \(d\) ?
Le point \(N(4;-3;4)\) appartient-il à \(d\) ?

À toi de jouer :

\(\vec{AM}(3;-6;9)\). On cherche \(t\) tel que \(\vec{AM} = t\vec{u}\) : \(3 = t\), \(-6 = -2t \Rightarrow t = 3\), \(9 = 3t \Rightarrow t = 3\). Les trois équations donnent \(t = 3\) : \(\vec{AM} = 3\vec{u}\), donc \(M \in d\).
\(\vec{AN}(2;-4;5)\). Les deux premières coordonnées donnent \(t = 2\), mais la troisième donne \(5 = 3t \Rightarrow t = \frac{5}{3} \neq 2\). \(\vec{AN}\) n'est pas colinéaire à \(\vec{u}\), donc \(N \notin d\).

2. Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Propriété

Deux droites \(d\) et \(d'\) de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}\) et \(\vec{u'}\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{u'}\) sont colinéaires.

Exercice 4

La droite \(d_1\) passe par \(A(1;0;2)\) avec le vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;3)\). La droite \(d_2\) passe par \(B(0;1;-1)\) avec le vecteur directeur \(\vec{v}(-4;2;-6)\).

Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Sont-elles confondues ?

\(\vec{v} = -2\vec{u}\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : les droites sont parallèles.

Pour savoir si elles sont confondues, on vérifie si \(B \in d_1\) : \(\vec{AB}(-1;1;-3)\). On cherche \(t\) tel que \(\vec{AB} = t\vec{u}\) :

\(-1 = 2t \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\), \(1 = -t \Rightarrow t = -1\). Les valeurs diffèrent, donc \(B \notin d_1\).

Les droites sont strictement parallèles (parallèles mais non confondues).

IV. Plans de l'espace

1. Direction d'un plan

Définition — Vecteurs directeurs d'un plan

Deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dirigent un plan \(\mathcal{P}\) si toute droite de direction \(\vec{u}\) ou \(\vec{v}\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) (ou contenue dans \(\mathcal{P}\)).

On dit que \((\vec{u}, \vec{v})\) est un couple de vecteurs directeurs du plan \(\mathcal{P}\).

Propriété — Caractérisation d'un plan

Un plan de l'espace est entièrement déterminé par :

un point \(A\) du plan, et
deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dirigeant le plan.

Un point \(M\) appartient au plan \(\mathcal{P}\) si et seulement s'il existe \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que :

\[\vec{AM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\]

Attention

Il ne suffit pas de deux vecteurs quelconques pour définir un plan : les vecteurs doivent être non colinéaires. Deux vecteurs colinéaires définissent une direction de droite, pas un plan.

2. Autres caractérisations d'un plan

Propriété — Définir un plan

Un plan est aussi déterminé par :

trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\) (le plan est dirigé par \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\))
une droite et un point extérieur à cette droite
deux droites sécantes
deux droites strictement parallèles

Exercice 5

Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1;2;0)\) et est dirigé par \(\vec{u}(1;0;1)\) et \(\vec{v}(0;1;-1)\).

Le point \(M(3;5;-1)\) appartient-il au plan \(\mathcal{P}\) ?
Le point \(N(2;1;2)\) appartient-il au plan \(\mathcal{P}\) ?

\(\vec{AM}(2;3;-1)\). On cherche \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{AM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) : \[\begin{cases} \alpha = 2 \\ \beta = 3 \\ \alpha - \beta = -1 \end{cases}\] Vérification : \(2 - 3 = -1\). ✓ Donc \(M \in \mathcal{P}\).
\(\vec{AN}(1;-1;2)\). On cherche \(\alpha, \beta\) : \[\begin{cases} \alpha = 1 \\ \beta = -1 \\ \alpha - \beta = 2 \end{cases}\] Vérification : \(1 - (-1) = 2\). ✓ Donc \(N \in \mathcal{P}\).

V. Positions relatives

1. Position relative de deux droites

Propriété

Deux droites \(d\) et \(d'\) de l'espace sont dans l'une des situations suivantes :

Situation	Condition
Confondues	Même direction et un point commun
Strictement parallèles	Même direction et aucun point commun
Sécantes	Directions différentes et un point d'intersection
Non coplanaires	Directions différentes et aucun point commun

Les quatre positions relatives de deux droites dans l'espace

Nouveauté par rapport au plan

Dans le plan, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Dans l'espace, deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper : elles sont alors non coplanaires (elles ne sont contenues dans aucun plan commun).

Exemple

Dans un cube \(ABCDEFGH\), les droites \((AB)\) et \((EH)\) sont strictement parallèles. Les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes (elles se coupent au centre du cube). Les droites \((AB)\) et \((CG)\) sont non coplanaires.

2. Position relative d'une droite et d'un plan

Propriété

Une droite \(d\) et un plan \(\mathcal{P}\) sont dans l'une des situations suivantes :

\(d\) est incluse dans \(\mathcal{P}\) : tous les points de \(d\) sont dans \(\mathcal{P}\)
\(d\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) (sans être incluse) : \(d\) et \(\mathcal{P}\) n'ont aucun point commun
\(d\) est sécante à \(\mathcal{P}\) : \(d\) et \(\mathcal{P}\) ont exactement un point commun

Propriété — Critère de parallélisme droite/plan

Une droite \(d\) de vecteur directeur \(\vec{w}\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) dirigé par \((\vec{u}, \vec{v})\) si et seulement si \(\vec{w}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (c'est-à-dire \(\vec{w}\), \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) sont coplanaires).

Application — Droite parallèle à un plan

Le plan \(\mathcal{P}\) est dirigé par \(\vec{u}(1;2;0)\) et \(\vec{v}(0;1;-1)\). La droite \(d\) a pour vecteur directeur \(\vec{w}(1;5;-3)\).

La droite \(d\) est-elle parallèle au plan \(\mathcal{P}\) ?

À toi de jouer :

On cherche \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) :

\[\begin{cases} \alpha = 1 \\ 2\alpha + \beta = 5 \\ -\beta = -3 \end{cases}\]

De la 1^re équation : \(\alpha = 1\). De la 2^e : \(\beta = 5 - 2 = 3\). Vérification dans la 3^e : \(-3 = -3\). ✓

Donc \(\vec{w} = \vec{u} + 3\vec{v}\) : les trois vecteurs sont coplanaires, la droite \(d\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) (ou incluse dans \(\mathcal{P}\)).

3. Position relative de deux plans

Propriété

Deux plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P'}\) de l'espace sont dans l'une des situations suivantes :

Confondus : \(\mathcal{P} = \mathcal{P'}\)
Strictement parallèles : \(\mathcal{P} \cap \mathcal{P'} = \emptyset\)
Sécants : \(\mathcal{P} \cap \mathcal{P'}\) est une droite

À retenir

L'intersection de deux plans sécants est toujours une droite (jamais un point).

Exercice 6

Dans un cube \(ABCDEFGH\), déterminer la position relative :

des plans \((ABCD)\) et \((EFGH)\)
des plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\)
des plans \((ABFE)\) et \((ABCD)\)
de la droite \((AG)\) et du plan \((EFGH)\)

Les plans \((ABCD)\) et \((EFGH)\) sont strictement parallèles (faces opposées du cube).
Les plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\) sont strictement parallèles (faces opposées).
Les plans \((ABFE)\) et \((ABCD)\) sont sécants suivant la droite \((AB)\).
La droite \((AG)\) passe par \(G \in (EFGH)\) mais n'est pas contenue dans \((EFGH)\) (car \(A \notin (EFGH)\)). Elle est donc sécante au plan \((EFGH)\) en \(G\).

VI. Bases et repères de l'espace

1. Base de l'espace

Définition — Base de l'espace

Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) de l'espace forment une base s'ils sont non coplanaires, c'est-à-dire si aucun des trois ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.

Propriété fondamentale

Si \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de l'espace, alors tout vecteur \(\vec{t}\) de l'espace s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire :

\[\vec{t} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}\]

Les réels \(\alpha, \beta, \gamma\) sont les composantes (ou coordonnées) de \(\vec{t}\) dans la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\).

Méthode — Vérifier qu'on a une base

Pour vérifier que trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) forment une base, on montre que la seule solution de \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) est \(\alpha = \beta = \gamma = 0\). Cela revient à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues et vérifier qu'il admet une solution unique.

2. Repère de l'espace

Définition — Repère

Un repère de l'espace est la donnée d'un point \(O\) (l'origine) et d'une base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). On le note \((O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

Tout point \(M\) de l'espace a des coordonnées uniques \((x, y, z)\) telles que :

\[\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\]

Exemple — Repère naturel du cube

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) donne les coordonnées :

\(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\), \(C(1;1;0)\), \(F(1;0;1)\), \(H(0;1;1)\), \(G(1;1;1)\).

Repère de l'espace (O ; i, j, k) avec les trois axes et un point M de coordonnées (x, y, z)

Application — Coordonnées dans le repère du cube

Dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) du cube \(ABCDEFGH\) de côté 1 :

Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{BH}\).
En déduire l'écriture de \(\vec{BH}\) comme combinaison linéaire de \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\).

À toi de jouer :

\(B(1;0;0)\) et \(H(0;1;1)\), donc \(\vec{BH} = (0-1;\ 1-0;\ 1-0) = \mathbf{(-1;1;1)}\).
Par définition des coordonnées dans la base \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) : \(\vec{BH} = \mathbf{-\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}}\).
Vérification par Chasles : \(\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\) (car \(\vec{DH} = \vec{AE}\)). ✓

Propriété — Milieu et coordonnées

Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées :

\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]

Exercice 7

Dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\) du cube de côté 1 :

Déterminer les coordonnées du centre \(\Omega\) du cube (milieu de \([AG]\)).
Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([BH]\).
Que peut-on conclure ?

\(\Omega = \text{milieu de } [AG] = \left(\frac{0+1}{2};\frac{0+1}{2};\frac{0+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\).
\(B(1;0;0)\) et \(H(0;1;1)\). \(I = \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\).
\(\Omega = I\) : les diagonales \([AG]\) et \([BH]\) se coupent en leur milieu. C'est le centre du cube.

3. Décomposition d'un vecteur dans une base

Méthode — Décomposer un vecteur

Pour décomposer un vecteur \(\vec{t}\) dans une base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\), on résout le système :

\[\vec{t} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}\]

En coordonnées, cela donne un système de 3 équations à 3 inconnues.

Exercice 8

On considère les vecteurs \(\vec{u}(1;1;0)\), \(\vec{v}(1;0;1)\), \(\vec{w}(0;1;1)\).

Montrer que \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de l'espace.
Décomposer le vecteur \(\vec{t}(3;2;1)\) dans cette base.

On résout \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) : \[\begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \end{cases}\] De (1) : \(\beta = -\alpha\). De (2) : \(\gamma = -\alpha\). Dans (3) : \(-\alpha - \alpha = 0\), soit \(\alpha = 0\), d'où \(\beta = \gamma = 0\).
Le système n'admet que la solution triviale : \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base.
On résout \(\vec{t} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}\) : \[\begin{cases} \alpha + \beta = 3 \\ \alpha + \gamma = 2 \\ \beta + \gamma = 1 \end{cases}\] En soustrayant (2) de (1) : \(\beta - \gamma = 1\). Avec (3) : \(\beta + \gamma = 1\), d'où \(2\beta = 2\), \(\beta = 1\), \(\gamma = 0\), \(\alpha = 2\).
\(\vec{t} = 2\vec{u} + \vec{v} + 0\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}\).

VII. Théorèmes fondamentaux

1. Théorème du toit

Propriété — Théorème du toit

Si deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants suivant une droite \(d\), et si une droite \(\Delta\) de \(\mathcal{P}_1\) est parallèle à une droite \(\Delta'\) de \(\mathcal{P}_2\), avec \(\Delta\) et \(\Delta'\) parallèles à \(d\), alors \(\Delta\) est parallèle à \(\Delta'\).

2. Parallélisme dans l'espace

Propriétés de parallélisme

Si deux plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à l'autre plan.
Si deux plans sont parallèles et si un troisième plan coupe l'un, il coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Si une droite est parallèle à un plan, tout plan contenant cette droite et sécant au plan initial la coupe suivant une droite parallèle à la première.

Exercice 9

Dans un tétraèdre \(ABCD\), on note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([CD]\).

Exprimer \(\vec{IJ}\) en fonction de \(\vec{IA}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{CD}\).
Soit \(K\) le milieu de \([AC]\) et \(L\) le milieu de \([BD]\). Exprimer \(\vec{KL}\) en fonction de \(\vec{KA}\), \(\vec{AB}\) et \(\vec{BD}\).
Montrer que les milieux de \([IJ]\) et \([KL]\) coïncident.

\(\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AC} + \vec{CJ}\). Or \(\vec{IA} = \frac{1}{2}\vec{BA}\) et \(\vec{CJ} = \frac{1}{2}\vec{CD}\).
Donc \(\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{CD}\).
\(\vec{KL} = \vec{KA} + \vec{AB} + \vec{BL}\). Or \(\vec{KA} = \frac{1}{2}\vec{CA}\) et \(\vec{BL} = \frac{1}{2}\vec{BD}\).
Donc \(\vec{KL} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BD}\).
Le milieu \(M_1\) de \([IJ]\) vérifie \(\vec{OM_1} = \frac{1}{2}(\vec{OI} + \vec{OJ})\). Or \(\vec{OI} = \frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})\) et \(\vec{OJ} = \frac{1}{2}(\vec{OC}+\vec{OD})\).
Donc \(\vec{OM_1} = \frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})\).
De même, \(\vec{OM_2} = \frac{1}{2}(\vec{OK}+\vec{OL}) = \frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OB}+\vec{OD})\).
\(M_1 = M_2\) : les milieux coïncident. Ce point est le centre de gravité du tétraèdre.

Exercice 10

Problème de synthèse — Pavé droit

On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) avec \(AB = 4\), \(AD = 3\) et \(AE = 2\). On se place dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\).

Soit \(P\) le milieu de \([EF]\) et \(Q\) le point tel que \(\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{AC}\).

Déterminer les coordonnées de \(P\) et \(Q\).
Calculer les composantes de \(\vec{PQ}\).
Les points \(A\), \(P\) et \(Q\) sont-ils alignés ?
Le vecteur \(\vec{PQ}\) est-il colinéaire à \(\vec{DG}\) ? Interpréter géométriquement.

Coordonnées : \(E(0;0;1)\), \(F(1;0;1)\), \(C(1;1;0)\).

\(P = \text{milieu de } [EF] = \left(\frac{1}{2};0;1\right)\).
\(\vec{AC} = (1;1;0)\), donc \(\vec{AQ} = \frac{1}{3}(1;1;0) = \left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0\right)\), d'où \(Q\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0\right)\).
\(\vec{PQ} = Q - P = \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}-0;\ 0-1\right) = \left(-\frac{1}{6};\ \frac{1}{3};\ -1\right)\).
\(\vec{AP} = \left(\frac{1}{2};0;1\right)\) et \(\vec{AQ} = \left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};0\right)\). Pour la colinéarité : \(\frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}\) mais \(\frac{1/3}{0}\) n'est pas défini. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés.
\(\vec{DG} = G - D = (1;1;1) - (0;1;0) = (1;0;1)\). On cherche \(\lambda\) tel que \(\vec{PQ} = \lambda\vec{DG}\) : la 1ʳᵉ composante donne \(-\frac{1}{6} = \lambda\), mais la 2ᵉ composante de \(\vec{DG}\) est nulle alors que celle de \(\vec{PQ}\) vaut \(\frac{1}{3} \neq 0\).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires : \((PQ)\) n'est pas parallèle à \((DG)\).