Ch02 – Vecteurs, droites et plans de l'espace – QCM

Question 1

Dans un cube \(ABCDEFGH\), à quoi est égale la somme \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG}\) (relation de Chasles) ?

\(\vec{AC}\) \(\vec{AG}\) \(\vec{0}\) \(\vec{AE}\)

Question 2

Soient \(A(1;2;3)\), \(B(3;6;7)\) et \(C(4;8;9)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

Non, car les coordonnées sont différentes Non, car \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont coplanaires Oui, car \(\vec{AC} = \tfrac{3}{2}\vec{AB}\) (vecteurs colinéaires) Oui, car ils forment un plan

Question 3

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si :

il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) (ou \(\vec{u}=\vec{0}\)) ils ont la même norme leur somme est nulle ils sont perpendiculaires

Question 4

Soient \(\vec{u}(1;0;2)\), \(\vec{v}(0;1;-1)\) et \(\vec{w}(2;3;1)\). On a \(\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}\). Que peut-on en déduire ?

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires \(\vec{w}\) est nul les trois vecteurs forment une base les trois vecteurs sont coplanaires

Question 5

Qu'est-ce qui détermine entièrement une droite de l'espace ?

Deux vecteurs non colinéaires Un point et un vecteur directeur non nul Trois points non alignés Un seul point

Question 6

Pour définir un plan à l'aide d'un point \(A\) et de deux vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), ces vecteurs doivent être :

de même norme orthogonaux non colinéaires colinéaires

Question 7

La droite \(d_1\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;3)\) et \(d_2\) a pour vecteur directeur \(\vec{v}(-4;2;-6)\). Comme \(\vec{v}=-2\vec{u}\), les droites sont :

sécantes non coplanaires orthogonales parallèles

Question 8

Lorsque deux plans de l'espace sont sécants, leur intersection est :

une droite un point un plan vide

Question 9

Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1;2;0)\) et est dirigé par \(\vec{u}(1;0;1)\) et \(\vec{v}(0;1;-1)\). On teste \(M(3;5;-1)\) : \(\vec{AM}(2;3;-1)\) avec \(\alpha=2\), \(\beta=3\). Le point \(M\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ?

Oui, car \(\alpha-\beta = 2-3 = -1\) vérifie la 3ᵉ composante Non, car \(\alpha \neq \beta\) Non, car \(\vec{AM}\) n'est pas nul On ne peut pas savoir

Question 10

Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) forment une base de l'espace si et seulement s'ils sont :

deux à deux orthogonaux non coplanaires colinéaires tous unitaires

Question 11

Dans un cube \(ABCDEFGH\), quelle est la position relative des droites \((AB)\) et \((CG)\) ?

sécantes strictement parallèles non coplanaires confondues

Question 12

Dans la base \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) avec \(\vec{u}(1;1;0)\), \(\vec{v}(1;0;1)\), \(\vec{w}(0;1;1)\), on décompose \(\vec{t}(3;2;1)\). On trouve \(\vec{t}=2\vec{u}+\vec{v}\). Quelles sont les coordonnées de \(\vec{t}\) dans cette base ?

\((3;2;1)\) \((1;2;0)\) \((2;1;0)\) \((2;0;1)\)