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L'essentiel :
- Principe additif (choix exclusifs « ou ») : on additionne. Principe multiplicatif (choix successifs « et ») : on multiplie.
- Les deux questions clés : répétition possible ? puis l'ordre compte-t-il ?
- Ordre + répétition → \(n^k\) ; ordre sans répétition → \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) ; tout l'ensemble → \(n!\) ; sans ordre → \(\displaystyle\binom{n}{k}\).
- Un ensemble à \(n\) éléments a \(2^n\) parties.
Définitions clés
Définition
Cardinal : le nombre d'éléments d'un ensemble fini \(E\), noté \(\text{card}(E)\) ou \(|E|\).
Définition
\(k\)-uplet (ou \(k\)-liste) : une liste ordonnée \((a_1,\ldots,a_k)\) d'éléments. L'ordre compte et les répétitions sont possibles.
Définition
Arrangement (\(k\)-uplet d'éléments distincts) : un \(k\)-uplet dont tous les éléments sont différents (\(k \le n\)). L'ordre compte, pas de répétition.
Définition
Permutation : un rangement complet des \(n\) éléments d'un ensemble (chacun une fois). C'est un arrangement de tous les éléments.
Définition
Combinaison : une partie (sous-ensemble) de \(k\) éléments parmi \(n\). L'ordre ne compte pas : \(\{a,b,c\}=\{c,a,b\}\).
Formules à connaître
Principes de dénombrement
\[\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) \quad (A,B \text{ disjoints})\]
\[\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \quad (\text{cas général})\]
\[\text{card}(A \times B) = \text{card}(A) \times \text{card}(B)\]
Les quatre situations types (ensemble à \(n\) éléments)
\[\text{\(k\)-uplets (ordre + répétition)} : \quad n^k\]
\[\text{arrangements (ordre, sans répétition)} : \quad \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)\]
\[\text{permutations (tout l'ensemble)} : \quad n!\]
\[\text{combinaisons (sans ordre)} : \quad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
Nombre de parties
\[\text{un ensemble à } n \text{ éléments possède } 2^n \text{ parties}\]
Propriétés des coefficients binomiaux
- Valeurs particulières : \(\displaystyle\binom{n}{0}=1\), \(\displaystyle\binom{n}{1}=n\), \(\displaystyle\binom{n}{n}=1\), \(\displaystyle\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
- Symétrie : \(\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).
- Relation de Pascal : \(\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\).
- Somme d'une ligne : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\).
Triangle de Pascal
Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui (relation de Pascal).
| \(n=0\) | | | | 1 | | | |
| \(n=1\) | | | 1 | | 1 | | |
| \(n=2\) | | 1 | | 2 | | 1 | |
| \(n=3\) | 1 | | 3 | | 3 | | 1 |
| \(n=4\) | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | | |
| \(n=5\) | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
Ligne \(n\) : les coefficients \(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}\). Leur somme vaut \(2^n\).
Méthode — Choisir le bon outil
Méthode
Quel dénombrement pour quel problème ?
- Y a-t-il répétition possible ? Oui → \(k\)-uplets : \(n^k\). Non → passer à l'étape 2.
- L'ordre compte-t-il ? Oui → arrangement : \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\). Non → combinaison : \(\displaystyle\binom{n}{k}\).
- Prend-on tous les éléments ? Oui (et ordonnés) → permutation : \(n!\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Additionner alors que les choix sont successifs.
✅ Choix « ou » exclusifs → on additionne ; choix « et » successifs → on multiplie.
❌ Appliquer le principe additif à des ensembles non disjoints.
✅ Si \(A\cap B \neq \emptyset\), retrancher l'intersection : \(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)\).
❌ Confondre arrangement et combinaison.
✅ Se demander si l'ordre compte : un podium (or/argent/bronze) est ordonné ; une équipe ou une main de cartes ne l'est pas.
❌ Oublier que \(0! = 1\) et que \(\binom{n}{0}=1\).
✅ Ces conventions sont indispensables dans les formules.
Exemple rapide
Exemple — un seul énoncé, trois réponses
On dispose de 10 boules numérotées et on en prélève 3.
- Avec remise, ordonné (\(k\)-uplet) : \(10^3 = 1000\).
- Sans remise, ordonné (arrangement) : \(10\times 9\times 8 = 720\).
- Sans remise, non ordonné (combinaison) : \(\displaystyle\binom{10}{3}=\frac{10\times 9\times 8}{6}=120\).