Terminale générale · Mathématiques · Algèbre et géométrie
Un ensemble \(E\) est fini s'il contient un nombre fini d'éléments. Ce nombre est appelé le cardinal de \(E\), noté \(\text{card}(E)\) ou \(|E|\).
L'ensemble \(E = \{a, b, c, d\}\) a pour cardinal \(\text{card}(E) = 4\).
L'ensemble des chiffres \(\{0, 1, 2, \ldots, 9\}\) a pour cardinal 10.
Si \(A\) et \(B\) sont deux ensembles finis disjoints (c'est-à-dire \(A \cap B = \emptyset\)), alors :
\[\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B)\]Plus généralement, si \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) sont des ensembles finis deux à deux disjoints :
\[\text{card}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \text{card}(A_1) + \text{card}(A_2) + \cdots + \text{card}(A_n)\]Un club sportif propose 4 sports collectifs et 3 sports individuels. Un élève choisit un sport parmi ceux proposés.
Nombre de choix possibles : \(4 + 3 = 7\).
Le principe additif ne s'applique que si les ensembles sont disjoints. Si \(A \cap B \neq \emptyset\), on utilise la formule :
\[\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)\]Dans une classe de 35 élèves, 20 font de l'anglais, 18 font de l'espagnol et 8 font les deux langues. Combien d'élèves font de l'anglais ou de l'espagnol ?
On note \(A\) l'ensemble des élèves faisant de l'anglais et \(B\) celui de l'espagnol.
\(\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) = 20 + 18 - 8 = 30\)
Il y a 30 élèves qui font de l'anglais ou de l'espagnol.
Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l'ensemble de tous les couples \((a, b)\) avec \(a \in A\) et \(b \in B\) :
\[A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\}\]Si \(A\) et \(B\) sont deux ensembles finis, alors :
\[\text{card}(A \times B) = \text{card}(A) \times \text{card}(B)\]Plus généralement, pour \(n\) ensembles finis \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) :
\[\text{card}(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n) = \text{card}(A_1) \times \text{card}(A_2) \times \cdots \times \text{card}(A_n)\]Un menu se compose d'une entrée parmi 3, d'un plat parmi 5 et d'un dessert parmi 4. Le nombre de menus possibles est :
\[3 \times 5 \times 4 = 60\]Diagramme en arbre illustrant le principe multiplicatif : 2 × 3 = 6 possibilités
Soient \(A_1, A_2, \ldots, A_k\) des ensembles. Un \(k\)-uplet (ou \(k\)-liste) est un élément \((a_1, a_2, \ldots, a_k)\) du produit cartésien \(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_k\).
L'ordre compte : le couple \((a, b)\) est différent du couple \((b, a)\) si \(a \neq b\).
Le nombre de \(k\)-uplets d'éléments d'un ensemble \(A\) à \(n\) éléments (avec répétitions possibles) est :
\[\text{card}(A^k) = n^k\]Un code PIN est composé de 4 chiffres (de 0 à 9). Chaque chiffre peut être répété.
Nombre de codes possibles : \(10^4 = 10\,000\).
On lance un dé à 6 faces trois fois de suite. Combien de résultats différents peut-on obtenir ?
Un résultat est un triplet \((d_1, d_2, d_3)\) avec \(d_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). C'est un 3-uplet d'un ensemble à 6 éléments.
Nombre de résultats : \(6^3 = 216\).
On considère un alphabet de 26 lettres. Combien de mots de 3 lettres peut-on former (les lettres peuvent être répétées) ?
Chaque mot est un 3-uplet de l'alphabet à 26 lettres.
Nombre de mots : \(26^3 = 17\,576\).
Un ensemble à \(n\) éléments possède \(2^n\) parties (sous-ensembles).
Pour construire une partie de \(E = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}\), on décide pour chaque élément s'il est dedans ou dehors. Cela fait 2 choix par élément, donc \(2^n\) parties au total.
On retrouve les \(n\)-uplets de \(\{0, 1\}\) : chaque \(n\)-uplet code une partie (1 = l'élément est pris, 0 = il ne l'est pas).
L'ensemble \(E = \{a, b, c\}\) possède \(2^3 = 8\) parties :
\(\emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}\)
Diagramme de Hasse : les 2³ = 8 parties de {a, b, c} ordonnées par inclusion
Un restaurant propose 5 garnitures optionnelles pour un plat. Un client peut choisir n'importe quelle combinaison de garnitures (y compris aucune). Combien de choix possibles a-t-il ?
Chaque choix correspond à une partie de l'ensemble des 5 garnitures.
Nombre de choix : \(2^5 = 32\).
Un \(k\)-uplet d'éléments distincts d'un ensemble \(E\) à \(n\) éléments est un \(k\)-uplet \((a_1, a_2, \ldots, a_k)\) où tous les \(a_i\) sont différents. On parle aussi d'arrangement de \(k\) éléments parmi \(n\).
Le nombre de \(k\)-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à \(n\) éléments (\(k \leqslant n\)) est :
\[n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\]Pour le 1er élément : \(n\) choix. Pour le 2e : \(n-1\) choix (un élément déjà utilisé). Pour le 3e : \(n-2\) choix. Et ainsi de suite jusqu'au \(k\)e : \(n-k+1\) choix.
Combien de mots de 3 lettres toutes différentes peut-on former avec l'alphabet ?
\(26 \times 25 \times 24 = 15\,600\).
Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on définit \(n\) factorielle par :
\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\]Par convention, \(0! = 1\).
Une permutation d'un ensemble \(E\) à \(n\) éléments est un \(n\)-uplet de tous les éléments de \(E\) (chaque élément apparaît exactement une fois). C'est un rangement complet des éléments.
Le nombre de permutations d'un ensemble à \(n\) éléments est \(n!\).
De combien de façons peut-on ranger 6 livres sur une étagère ?
\(6! = 720\) façons.
Un podium sportif comprend une médaille d'or, une d'argent et une de bronze. Il y a 10 concurrents.
Combien d'anagrammes (mots formés en réarrangeant les lettres) peut-on former avec le mot MATHS ?
Le mot MATHS contient 5 lettres toutes distinctes. Le nombre d'anagrammes est le nombre de permutations de 5 lettres :
\(5! = 120\) anagrammes.
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(k\) un entier tel que \(0 \leqslant k \leqslant n\). Une combinaison de \(k\) éléments de \(E\) est une partie (sous-ensemble) de \(E\) ayant exactement \(k\) éléments.
Contrairement aux \(k\)-uplets, l'ordre ne compte pas : \(\{a, b, c\} = \{c, a, b\}\).
Le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) est le coefficient binomial, noté \(\displaystyle\binom{n}{k}\) (lire « \(k\) parmi \(n\) »).
La question clé pour choisir entre arrangement et combinaison est : l'ordre compte-t-il ?
Pour \(0 \leqslant k \leqslant n\) :
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\]Le nombre de façons de choisir \(k\) éléments ordonnés parmi \(n\) est \(\frac{n!}{(n-k)!}\). Mais dans une combinaison, l'ordre ne compte pas. Chaque combinaison de \(k\) éléments donne \(k!\) arrangements (permutations de ces \(k\) éléments). On divise donc par \(k!\) :
\[\binom{n}{k} = \frac{n!/(n-k)!}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]Calculer les coefficients binomiaux suivants :
Pour tout entier \(n \geqslant 0\) :
Pour \(0 \leqslant k \leqslant n\) :
\[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\]Choisir \(k\) éléments à prendre dans un ensemble de \(n\) revient à choisir \(n-k\) éléments à laisser.
\(\displaystyle\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45\). C'est bien plus rapide que de calculer \(\frac{10!}{8! \times 2!}\) directement.
Un comité de 4 personnes doit être formé à partir d'un groupe de 9 candidats.
Pour tout \(n \geqslant 1\) et \(1 \leqslant k \leqslant n\) :
\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\]Pour former une partie de \(k\) éléments de \(\{1, 2, \ldots, n\}\), on distingue deux cas selon que l'élément \(n\) est dans la partie ou non :
On construit le triangle de Pascal en plaçant les coefficients binomiaux ligne par ligne. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui (relation de Pascal).
| \(n=0\) | 1 | ||||||||
| \(n=1\) | 1 | 1 | |||||||
| \(n=2\) | 1 | 2 | 1 | ||||||
| \(n=3\) | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||
| \(n=4\) | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||
| \(n=5\) | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
La ligne \(n=4\) donne : \(\displaystyle\binom{4}{0}=1,\ \binom{4}{1}=4,\ \binom{4}{2}=6,\ \binom{4}{3}=4,\ \binom{4}{4}=1\).
On vérifie la relation de Pascal : \(\binom{4}{2} = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} = 3 + 3 = 6\). ✓
Pour tout entier \(n \geqslant 0\) :
\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\]La somme de tous les coefficients binomiaux d'une ligne donne le nombre total de parties d'un ensemble à \(n\) éléments, qui est bien \(2^n\).
Compléter la ligne \(n = 6\) du triangle de Pascal.
En utilisant la relation de Pascal avec la ligne \(n=5\) : \(1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1\) :
\(\binom{6}{0}=1,\quad \binom{6}{1}=1+5=6,\quad \binom{6}{2}=5+10=15,\quad \binom{6}{3}=10+10=20\)
Par symétrie : \(\binom{6}{4}=15,\quad \binom{6}{5}=6,\quad \binom{6}{6}=1\).
Ligne \(n=6\) : \(1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1\).
Vérification : \(1+6+15+20+15+6+1 = 64 = 2^6\). ✓
Démontrer par dénombrement que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\).
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments. On compte l'ensemble \(\mathcal{P}(E)\) de toutes les parties de \(E\) de deux façons :
En identifiant : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\). □
Ajuster le nombre de lignes. Survoler un nombre pour voir le coefficient binomial correspondant.
Face à un problème de dénombrement, se poser les questions suivantes :
On dispose de 12 joueurs pour former une équipe de handball (7 joueurs sur le terrain, postes non différenciés).
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire successivement 3 boules sans remise.
Au Loto, on tire 5 numéros parmi 49 (sans remise, l'ordre ne compte pas).
Une plaque d'immatriculation est composée de 2 lettres, 3 chiffres puis 2 lettres (format AA-123-BB). L'alphabet utilisé compte 26 lettres et les chiffres vont de 0 à 9. Les répétitions sont autorisées.
Combien de plaques d'immatriculation différentes ce système permet-il ?
Par le principe multiplicatif :
\(26^2 \times 10^3 \times 26^2 = 676 \times 1000 \times 676 = 456\,976\,000\)
Ce système permet environ 457 millions de plaques différentes.
Problème de synthèse — Main de poker
Un jeu de 52 cartes est composé de 4 couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) de 13 valeurs chacune. On distribue une main de 5 cartes.