Chapitre 4 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul. La puissance \(n\)-ième de \(a\) est
\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}.\]Pour \(a \neq 0\), on pose de plus :
\[a^0 = 1 \qquad \text{et} \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.\]\(a^{-n}\) est l'inverse de \(a^n\). Par exemple \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\).
\(0^0\) n'est pas défini, et l'écriture \(a^{-n}\) suppose \(a \neq 0\).
Une puissance négative n'est pas un nombre négatif : \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) est un inverse.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) non nuls et tous entiers relatifs \(m\) et \(n\) :
\[a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m\,n},\] \[(a \times b)^n = a^n \times b^n, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.\]Il n'existe aucune règle simplifiant \(a^n + b^n\) ni \((a+b)^n\) séparément (sauf via les identités remarquables, partie V). En particulier \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\).
Passer un facteur de l'exposant \(-n\) à l'exposant \(+n\) revient à le faire « traverser » la barre de fraction.
\(A = 3^{\,4 - 1 - 5} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}\).
\(B = \dfrac{1^{-2}}{3^{-2}} = 3^{2} = 9\).
Un nombre décimal strictement positif est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme
\[a \times 10^{n}, \qquad \text{avec } 1 \leqslant a \lt 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}.\]\(34\,500 = 3{,}45 \times 10^{4}\) et \(0{,}0072 = 7{,}2 \times 10^{-3}\).
Soit \(a\) un réel positif (\(a \geqslant 0\)). La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique réel positif dont le carré vaut \(a\) :
\[\sqrt{a} \geqslant 0 \qquad \text{et} \qquad (\sqrt{a})^2 = a.\]\(\sqrt{a}\) n'existe (dans \(\mathbb{R}\)) que si \(a \geqslant 0\). Ainsi \(\sqrt{-4}\) n'a pas de sens en Seconde.
Pour tout réel \(a\) (de signe quelconque) :
\[\sqrt{a^2} = |a|.\]Justification. \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\). Or \(|a| \geqslant 0\) et \(|a|^2 = a^2\) ; comme un tel nombre positif est unique, \(\sqrt{a^2} = |a|\).
\(\sqrt{5^2} = 5\), mais \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\). Écrire \(\sqrt{a^2} = a\) est faux lorsque \(a \lt 0\).
Quels que soient les réels positifs \(a\) et \(b\) :
\[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.\]Démonstration (exigible). Le nombre \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) est positif (produit de deux positifs) et son carré vaut \(\left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = ab\). C'est donc le nombre positif dont le carré vaut \(ab\), c'est-à-dire \(\sqrt{ab}\). \(\ \blacksquare\)
De même, pour \(a \geqslant 0\) et \(b \gt 0\) :
\[\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\]Il n'existe aucune règle pour la somme : en général \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Par exemple \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Exemple résolu. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\times\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}\).
Donc \(\sqrt{8}+\sqrt{50}=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).
Pour tous réels \(a, b, c, d\) avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\) :
\[\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}, \qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc} \ \ (c \neq 0),\] \[\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}, \qquad \dfrac{a}{b} = \dfrac{ka}{kb} \ \ (k \neq 0).\]On traite d'abord le numérateur, puis on transforme la division en multiplication par l'inverse.
\(\dfrac{3}{x} + 1 = \dfrac{3 + x}{x}\), donc \(G = \dfrac{3+x}{x} \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 3}{x^2}\).
Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (variables), avec les mêmes règles que sur les nombres.
Pour tous réels \(a, b, x\) :
\[-(a+b) = -a - b, \qquad -(a-b) = b - a, \qquad (-1)\times a = -a,\] \[\dfrac{x}{1} = x, \qquad 1 \times x = x, \qquad 0 \times x = 0, \qquad \dfrac{a}{a} = 1 \ \ (a \neq 0).\]Le signe « moins » devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : c'est l'erreur la plus fréquente. Ainsi \(5 - (2x - 3) = 5 - 2x + 3 = 8 - 2x\).
Pour tous réels \(a, b, c, d\) :
\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.\]\((x+3)(2x-1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\] \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,\] \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2.\]Elles se lisent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
L'aire du carré de côté \(a+b\) se décompose en \(a^2 + ab + ab + b^2\), ce qui illustre \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Pour tous réels \(a, b, x\) :
\[ax^2 + bx = x(ax + b), \qquad ax + bx = (a+b)x.\]\(6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)\). Cette factorisation sera essentielle pour résoudre les équations produit nul.
Exemple résolu. Factoriser \(E = 4x^2 - 12x + 9\). On reconnaît \((2x)^2 - 2\times(2x)\times 3 + 3^2 = (2x - 3)^2\).
| Objectif | Forme adaptée |
|---|---|
| Calculer une image (valeur numérique) | développée réduite |
| Résoudre une équation « = 0 » | factorisée |
| Repérer le terme constant, le coefficient dominant | développée réduite |
1. \((2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25\) et \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\), d'où \(D = 4x^2 - 20x + 25 - (x^2 - 1) = 3x^2 - 20x + 26\).
2. \(F = (3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[a - b \gt 0 \iff a \gt b, \qquad a - b \lt 0 \iff a \lt b, \qquad a - b = 0 \iff a = b.\]On étudie le signe de la différence \(a - b\) : elle mesure de combien on passe de \(b\) à \(a\) (variation additive).
Comparer \(A = \dfrac{7}{5}\) et \(B = \dfrac{4}{3}\) : \(A - B = \dfrac{21 - 20}{15} = \dfrac{1}{15} \gt 0\), donc \(A \gt B\) (\(A\) dépasse \(B\) de \(\frac{1}{15}\)).
Pour deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\) :
\[\dfrac{a}{b} \gt 1 \iff a \gt b, \qquad \dfrac{a}{b} \lt 1 \iff a \lt b, \qquad \dfrac{a}{b} = 1 \iff a = b.\]Le quotient \(\frac{a}{b}\) indique par quel facteur on passe de \(b\) à \(a\) (variation multiplicative, souvent en %).
La comparaison par quotient n'est valable que si \(a\) et \(b\) sont strictement positifs.
Un prix passe de \(80\) € à \(92\) € : \(\dfrac{92}{80} = 1{,}15\), soit une augmentation de 15 % (\(1{,}15 = 1 + 0{,}15\)).
Exemple résolu. Comparer \(a = 0{,}3\) et \(b = \frac{1}{3}\) : \(a - b = \frac{9 - 10}{30} = -\frac{1}{30} \lt 0\), donc \(a \lt b\).
Différence : \(180 - 150 = 30\) €. Quotient : \(\dfrac{180}{150} = 1{,}2\), soit une hausse de 20 %.
Un même nombre s'écrit sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage : \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). Rappel : \(p\,\%\) signifie \(\dfrac{p}{100}\).
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de \(10\) la plus proche ; il permet de vérifier la vraisemblance d'un résultat.
Pour estimer \(498 \times 21\), on calcule \(500 \times 20 = 10\,000\) : le résultat exact (\(10\,458\)) doit être proche de \(10\,000\). Un résultat de l'ordre de \(1\,000\) ou de \(100\,000\) signalerait une erreur.
Quand on change d'unité de longueur, le facteur est élevé au carré pour une aire (\(\times 100\) entre m et cm donne \(\times 100^2 = 10\,000\)) et au cube pour un volume.
Exemple résolu. Aire d'un disque de rayon \(r = 5\ \text{cm}\) : \(S = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5\ \text{cm}^2\).
1. \(V = 2 \times 1{,}5 \times 0{,}8 = 2{,}4\ \text{m}^3\).
2. Comme \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\), on obtient \(V = 2\,400\ \text{L}\).
❌ \(-(a - b) = -a - b\).
✅ Le signe « moins » change tout : \(-(a - b) = -a + b = b - a\).
❌ \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) (on oublie le double produit).
✅ \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
❌ \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
✅ Aucune règle pour la somme : \(\sqrt{9+16}=5 \neq 3+4\).
❌ Écrire \(\sqrt{a^2} = a\) même si \(a\) peut être négatif.
✅ \(\sqrt{a^2} = |a|\).
❌ Comparer par quotient des nombres de signe quelconque.
✅ La comparaison par quotient est réservée aux nombres strictement positifs.
❌ Oublier d'élever le facteur au carré (aires) ou au cube (volumes).
✅ \(1\ \text{m}^2 = 100^2\ \text{cm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\).