Calcul numérique et algébrique | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Simplifier et donner le résultat sous forme d'une seule puissance ou d'une fraction.
1. \(A = \dfrac{5^{3} \times 5^{-6}}{5^{-2}}\).
2. \(B = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\).
3. \(C = \dfrac{2^{5} \times 2^{-3}}{2^{-4}}\).
1. \(A = 5^{\,3 - 6 + 2} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5}\).
2. \(B = \dfrac{2^{-3}}{3^{-3}} = \dfrac{3^{3}}{2^{3}} = \dfrac{27}{8}\).
3. \(C = 2^{\,5 - 3 + 4} = 2^{6} = 64\).
1. Écrire en notation scientifique : \(a = 34\,500\) ; \(b = 0{,}0072\).
2. Écrire en écriture décimale : \(c = 6{,}1 \times 10^{3}\) ; \(d = 2{,}5 \times 10^{-2}\).
1. \(a = 3{,}45 \times 10^{4}\) ; \(b = 7{,}2 \times 10^{-3}\).
2. \(c = 6\,100\) ; \(d = 0{,}025\).
1. Écrire \(C = \sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18}\) sous la forme \(k\sqrt{2}\).
2. Simplifier \(\sqrt{75}\) sous la forme \(k\sqrt{3}\).
3. Calculer \(\sqrt{(-7)^2}\) et \(\sqrt{7^2}\). Que remarque-t-on ?
1. \(\sqrt{8} = 2\sqrt2\), \(\sqrt{50} = 5\sqrt2\), \(\sqrt{18} = 3\sqrt2\), donc \(C = (2 + 5 - 3)\sqrt2 = 4\sqrt{2}\).
2. \(\sqrt{75} = \sqrt{25\times 3} = 5\sqrt{3}\).
3. \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|\) et \(\sqrt{7^2} = 7\). Dans les deux cas on trouve \(7\), car \(\sqrt{a^2} = |a|\).
Développer et réduire chaque expression.
1. \(D_1 = (x+3)(2x-1)\).
2. \(D_2 = (3x + 2)^2\).
3. \(D_3 = (2x - 5)^2 - (x+1)(x-1)\).
1. \(D_1 = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\).
2. \(D_2 = 9x^2 + 12x + 4\).
3. \((2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25\) et \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\), d'où \(D_3 = 4x^2 - 20x + 25 - (x^2 - 1) = 3x^2 - 20x + 26\).
Factoriser chaque expression.
1. \(F_1 = 6x^2 - 9x\).
2. \(F_2 = 9x^2 - 4\).
3. \(F_3 = x^2 + 6x + 9\).
4. \(F_4 = 4x^2 - 12x + 9\).
1. Facteur commun \(3x\) : \(F_1 = 3x(2x - 3)\).
2. \(F_2 = (3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)\).
3. \(F_3 = x^2 + 2\times x \times 3 + 3^2 = (x+3)^2\).
4. \(F_4 = (2x)^2 - 2\times(2x)\times 3 + 3^2 = (2x - 3)^2\).
1. Comparer \(A = \dfrac{7}{5}\) et \(B = \dfrac{4}{3}\) en étudiant le signe de \(A - B\).
2. Un article passe de \(150\) € à \(180\) €. Donner la variation additive (en €) et la variation multiplicative (en %).
1. \(A - B = \dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{21 - 20}{15} = \dfrac{1}{15} \gt 0\), donc \(A \gt B\).
2. Différence : \(180 - 150 = 30\) €. Quotient : \(\dfrac{180}{150} = 1{,}2\), soit une hausse de 20 %.
1. Simplifier au maximum \(G = \dfrac{\ \dfrac{3}{x} + 1\ }{\ x\ }\), pour \(x \neq 0\).
2. Une cuve est un pavé droit de dimensions \(2\ \text{m} \times 1{,}5\ \text{m} \times 0{,}8\ \text{m}\). Calculer son volume en \(\text{m}^3\), puis en litres.
1. \(\dfrac{3}{x} + 1 = \dfrac{3 + x}{x}\), donc \(G = \dfrac{3+x}{x} \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 3}{x^2}\).
2. \(V = 2 \times 1{,}5 \times 0{,}8 = 2{,}4\ \text{m}^3\). Comme \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\), \(V = 2\,400\ \text{L}\).
On considère l'expression \(E(x) = (2x - 1)^2 - 9\).
1. Développer et réduire \(E(x)\).
2. Montrer que \(E(x) = (2x - 4)(2x + 2)\), puis factoriser davantage.
3. Calculer \(E(0)\) et \(E(3)\) en utilisant la forme la plus adaptée.
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(E(x) = 0\) ?
1. \((2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\), donc \(E(x) = 4x^2 - 4x + 1 - 9 = 4x^2 - 4x - 8\).
2. \(E(x) = (2x-1)^2 - 3^2 = \big[(2x-1) - 3\big]\big[(2x-1) + 3\big] = (2x - 4)(2x + 2)\). En factorisant chaque facteur : \((2x-4) = 2(x-2)\) et \((2x+2) = 2(x+1)\), d'où \(E(x) = 4(x-2)(x+1)\).
3. Pour une valeur numérique, la forme développée est commode : \(E(0) = -8\) et \(E(3) = 4\times 9 - 12 - 8 = 16\) (on peut vérifier avec la forme factorisée : \(4(3-2)(3+1) = 4\times 1 \times 4 = 16\)).
4. Avec la forme factorisée \(E(x) = 4(x-2)(x+1)\), un produit est nul si l'un des facteurs est nul : \(x = 2\) ou \(x = -1\).