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Fiche – Calcul numérique et algébrique
Chapitre 4 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Puissances : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
- Racines : \(\sqrt{a^2} = |a|\), \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\) ; aucune règle pour \(\sqrt{a+b}\).
- Identités : \((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) et \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
- Développée pour calculer une valeur, factorisée pour résoudre « = 0 ».
- Comparer : signe de \(a-b\) (additif) ou quotient \(\frac{a}{b}\) à \(1\) si positifs (multiplicatif).
Définitions clés
Définition
Puissance : \(a^n = \underbrace{a\times\cdots\times a}_{n}\) ; \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (\(a\neq 0\)). Une puissance négative est un inverse, pas un nombre négatif.
Définition
Racine carrée : pour \(a\geqslant 0\), \(\sqrt{a}\) est l'unique réel positif tel que \((\sqrt{a})^2 = a\). \(\sqrt{a}\) n'existe que si \(a\geqslant 0\).
Définition
Notation scientifique : \(a\times 10^{n}\) avec \(1\leqslant a \lt 10\) et \(n\in\mathbb{Z}\). Ex. \(34\,500 = 3{,}45\times 10^{4}\).
Définition
Développer = produit → somme ; factoriser = somme → produit ; réduire = regrouper les termes semblables.
À connaître par cœur
Puissances
\[a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
\[(a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n, \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]
Racines carrées
\[\sqrt{a^2} = |a|, \qquad \sqrt{ab} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ (b\gt 0)\]
Identités remarquables
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]
Comparer deux quantités
- Différence (variation additive) : \(a-b\gt 0 \iff a\gt b\).
- Quotient (variation multiplicative, %) : pour \(a,b\gt 0\), \(\frac{a}{b}\gt 1 \iff a\gt b\).
- « combien de plus » → différence ; « combien de fois plus » → quotient.
Conversions à retenir
- \(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\) ; \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\) ; \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\).
- \(1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}\) ; \(1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}\) ; \(1\ \text{t} = 1\,000\ \text{kg}\).
- Aires : facteur au carré ; volumes : facteur au cube.
Méthode — Simplifier une racine
Méthode
- Décomposer le radicande avec le plus grand carré parfait.
- Appliquer \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\).
- Extraire la racine du carré parfait. Ex. \(\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = 6\sqrt{2}\).
Méthode — Factoriser
- Chercher d'abord un facteur commun.
- Sinon reconnaître une identité remarquable.
- Vérifier en redéveloppant.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ \((a+b)^2 = a^2 + b^2\).
✅ \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (ne pas oublier le double produit).
❌ \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
✅ Aucune règle : \(\sqrt{9+16}=5 \neq 3+4\).
❌ \(\sqrt{a^2} = a\) et \(-(a-b) = -a-b\).
✅ \(\sqrt{a^2} = |a|\) ; \(-(a-b) = b-a\).
❌ Comparer par quotient des nombres de signe quelconque.
✅ Quotient réservé aux nombres strictement positifs.
Exemple rapide
Exemple — développer et factoriser
Une même expression, deux formes :
- Développer : \((2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\).
- Factoriser : \(9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)\).
- Facteur commun : \(6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)\).
- Comparer : \(\frac{92}{80} = 1{,}15\) ⟶ hausse de 15 %.