Chapitre 9 – Automatismes

Chapitre 9 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Appliquer un taux d'évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale (coefficient multiplicateur)
Calculer un taux d'évolution, un taux global (évolutions successives), un taux réciproque
Résoudre une équation produit nul, déterminer le signe d'une expression du premier ou du second degré
Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple
Lire l'équation réduite d'une droite, déterminer un coefficient directeur, tracer une droite
Calculer et interpréter des indicateurs statistiques (moyenne, médiane, quartiles, étendue)
Calculer des probabilités conditionnelles à partir d'un tableau croisé ou d'un arbre pondéré

Ce que sont les automatismes :

Ce ne sont pas un chapitre à apprendre mais des réflexes à installer et entretenir toute l'année.
Un automatisme se juge à la vitesse et à la fiabilité : réagir vite et juste, sans calculatrice.
La calculatrice sert à vérifier un résultat, pas à penser à votre place.

I. Évolutions et pourcentages

1. Coefficient multiplicateur

À retenir — le coefficient multiplicateur (CM)

Pour un taux d'évolution \(t\) en % (signé : \(+\) pour une hausse, \(-\) pour une baisse) :

\[\text{CM}=1+\frac{t}{100}\]

Valeur finale \(=\text{CM}\times\) valeur initiale. Prendre \(x\,\%\) d'une quantité revient à multiplier par \(\dfrac{x}{100}\).

Méthode — traduire une évolution en CM

Hausse de \(t\,\%\) : \(\text{CM}=1+\dfrac{t}{100}\).
Baisse de \(t\,\%\) : \(\text{CM}=1-\dfrac{t}{100}\).

Flash. \(+20\,\%\Rightarrow 1{,}20\) ; \(-20\,\%\Rightarrow 0{,}80\) ; \(+5\,\%\Rightarrow 1{,}05\) ; \(-3\,\%\Rightarrow 0{,}97\) ; \(+150\,\%\Rightarrow 2{,}5\).

Exemple — appliquer et remonter

Valeur finale. Un article à \(80\) € augmente de \(25\,\%\) : prix final \(=80\times1{,}25=100\) €.

Valeur initiale. On divise par le CM : après une hausse de \(25\,\%\), un article vaut \(100\) €, donc prix initial \(=\dfrac{100}{1{,}25}=80\) €.

Exercice d'application 1. Donner le CM de : a) une hausse de \(8\,\%\) ; b) une baisse de \(40\,\%\). Puis calculer \(150\) € augmenté de \(8\,\%\).

a) \(\text{CM}=1{,}08\). b) \(\text{CM}=0{,}60\). Application : \(150\times1{,}08=162\) €.

2. Calculer un taux d'évolution

Méthode — taux à partir de deux valeurs

\(\text{CM}=\dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\), puis \(t=(\text{CM}-1)\times100\) (en %).

Exemples. De \(50\) à \(60\) : \(\text{CM}=\dfrac{60}{50}=1{,}2\Rightarrow +20\,\%\). De \(200\) à \(150\) : \(\text{CM}=\dfrac{150}{200}=0{,}75\Rightarrow -25\,\%\).

3. Évolutions successives : produit des CM

Attention — on ne additionne JAMAIS les taux

Deux évolutions qui se suivent : \(\text{CM}_{\text{global}}=\text{CM}_1\times\text{CM}_2\).

\(+10\,\%\) puis \(+20\,\%\) : \(1{,}10\times1{,}20=1{,}32\Rightarrow +32\,\%\) (et non \(+30\,\%\)).

\(+20\,\%\) puis \(-20\,\%\) : \(1{,}20\times0{,}80=0{,}96\Rightarrow -4\,\%\) (on ne revient pas au départ).

4. Taux réciproque

À retenir — annuler une évolution

Pour annuler une évolution de CM, on applique le CM réciproque \(\dfrac{1}{\text{CM}}\).

Hausse de \(25\,\%\) (CM \(1{,}25\)) annulée par \(\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8\), soit \(-20\,\%\).
Baisse de \(50\,\%\) (CM \(0{,}5\)) annulée par \(\dfrac{1}{0{,}5}=2\), soit \(+100\,\%\).

Exercice d'application 2. a) Un prix passe de \(40\) à \(50\) € : quel taux ? b) \(+10\,\%\) puis \(+10\,\%\) : taux global ? c) Quel taux annule une baisse de \(20\,\%\) ?

a) \(\dfrac{50}{40}=1{,}25\Rightarrow +25\,\%\). b) \(1{,}1^2=1{,}21\Rightarrow +21\,\%\). c) CM \(\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25\Rightarrow +25\,\%\).

II. Calcul numérique et algébrique

1. Équation produit nul

À retenir

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

\[A\times B=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0.\]

Exemple

\((x-3)(x+2)=0\) : \(x-3=0\) ou \(x+2=0\), donc \(x=3\) ou \(x=-2\).

\(x(2x-5)=0\) : \(x=0\) ou \(2x-5=0\), donc \(x=0\) ou \(x=\dfrac{5}{2}\).

2. Signe d'une expression

Méthode — signe de \(ax+b\)

La racine est \(x=-\dfrac{b}{a}\). L'expression est du signe de \(a\) après la racine, du signe contraire avant.

Exemple. Signe de \(2x-6\) : racine \(x=3\), \(a=2\gt 0\) ⇒ négatif avant \(3\), positif après \(3\).

Méthode — signe d'un produit factorisé

Tableau de signes : une ligne par facteur (chaque facteur change de signe à sa racine), puis règle des signes colonne par colonne. Pour \((x-1)(x-4)\) :

\(x\)	\(-\infty\)	\(1\)	\(4\)
\(x-1\)	\(-\)	\(0\ +\)	\(+\)
\(x-4\)	\(-\)	\(-\)	\(0\ +\)
produit	\(+\)	\(0\ -\)	\(0\ +\)

Avec \(a\gt 0\) et deux racines : \(+\) à l'extérieur des racines, \(-\) entre les deux.

3. Développer, factoriser, réduire

Identités remarquables à automatiser \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]

Exemple

Développer : \((x+3)^2=x^2+6x+9\) ; \((2x-1)(x+4)=2x^2+7x-4\).

Factoriser : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) ; \(3x^2-6x=3x(x-2)\).

Réduire : \(5x-2+3x+7=8x+5\).

Exercice d'application 3. a) Résoudre \((x-2)(x+5)=0\). b) Développer \((x-4)^2\). c) Factoriser \(x^2-16\). d) Réduire \(4x+7-x-2\).

a) \(x=2\) ou \(x=-5\). b) \(x^2-8x+16\). c) \((x-4)(x+4)\). d) \(3x+5\).

III. Fonctions et droites

1. Équation réduite d'une droite

À retenir

Une droite non verticale a pour équation réduite \(y=mx+p\), avec \(m\) le coefficient directeur (pente) et \(p\) l'ordonnée à l'origine (valeur de \(y\) pour \(x=0\)).

\(m\gt 0\) : droite croissante (« monte »).
\(m\lt 0\) : décroissante (« descend »).
\(m=0\) : horizontale.

2. Coefficient directeur à partir de deux points

Coefficient directeur \[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Exemple

Avec \(A(1;2)\) et \(B(3;8)\) : \(m=\dfrac{8-2}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3\).

Avec \(A(0;5)\) et \(B(4;1)\) : \(m=\dfrac{1-5}{4-0}=\dfrac{-4}{4}=-1\).

3. Lire et tracer une droite

Méthode — lire l'équation réduite sur un graphique

Lire \(p\) = ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Lire \(m\) : depuis un point de la droite, avancer de \(1\) en \(x\) (\(\Delta x=1\)) et lire la montée ou descente (\(\Delta y\)) ; alors \(m=\Delta y\).

Lecture de \(y=mx+p\) : l'ordonnée à l'origine \(p=-1\) se lit là où la droite coupe l'axe des \(y\) (rouge) ; le coefficient directeur \(m=2\) se lit en avançant de \(+1\) en \(x\) et en mesurant la montée \(+2\) en \(y\) (vert).

Méthode — tracer \(y=mx+p\)

Placer le point \((0;p)\). Depuis ce point, se déplacer de \(+1\) en abscisse et de \(+m\) en ordonnée pour obtenir un second point, puis relier.

Exemple. Tracer \(y=\dfrac{1}{2}x+1\) : point \((0;1)\), puis \((2;2)\). Tracer la droite par \(A(1;3)\) de pente \(m=-2\) : depuis \(A\), aller de \(+1\) en \(x\) et \(-2\) en \(y\) donne \((2;1)\).

4. Résolutions graphiques, signe et variations

À retenir — lire sur une courbe

\(f(x)=k\) : tracer la droite horizontale \(y=k\) et lire les abscisses des intersections.
\(f(x)\lt k\) : lire les \(x\) où la courbe est en dessous de \(y=k\) (au-dessus pour \(f(x)\gt k\)).
\(f(x)\gt 0\) là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses ; \(f(x)\lt 0\) en dessous ; \(f(x)=0\) où elle coupe l'axe.
La fonction croît quand la courbe monte, décroît quand elle descend.

Exercice d'application 4. a) Coefficient directeur \(m\) pour \(A(2;1)\), \(B(6;9)\). b) Équation réduite de la droite passant par \((0;3)\) de pente \(-2\). c) Ordonnée à l'origine de \(y=5x-4\).

a) \(m=\dfrac{9-1}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2\). b) \(y=-2x+3\). c) \(-4\).

IV. Lecture et indicateurs statistiques

Méthode — lire une représentation

Toujours repérer l'origine du repère, les unités de graduation, l'échelle de chaque axe. Attention à un axe qui ne part pas de \(0\) (effet visuel trompeur).

Diagramme circulaire : \(360°\) représentent \(100\,\%\) ; un secteur de mesure \(\alpha\) correspond à \(\dfrac{\alpha}{360}\) de l'effectif total.
Diagramme en boîte : on lit directement min, \(Q_1\), médiane \(Me\), \(Q_3\), max.

Exemple. Un secteur de \(90°\) sur \(200\) individus représente \(\dfrac{90}{360}\times200=50\) individus.

À retenir — indicateurs

Moyenne : \(\bar{x}=\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\).
Médiane : valeurs rangées dans l'ordre croissant, elle partage la série en deux moitiés.
Quartiles : \(Q_1\) (au moins \(25\,\%\) des données \(\le\)), \(Q_3\) (au moins \(75\,\%\) des données \(\le\)).
Étendue \(=\text{max}-\text{min}\) ; écart interquartile \(=Q_3-Q_1\).

Exemple — série \(4,\ 6,\ 6,\ 9,\ 10\) (\(n=5\))

Moyenne \(=\dfrac{4+6+6+9+10}{5}=\dfrac{35}{5}=7\). Médiane \(=6\) (valeur du milieu). Étendue \(=10-4=6\).

Exercice d'application 5. Série \(3,\ 5,\ 7,\ 7,\ 8\). Donner : a) la moyenne ; b) la médiane ; c) l'étendue.

a) \(\dfrac{3+5+7+7+8}{5}=\dfrac{30}{5}=6\). b) \(7\) (valeur du milieu). c) \(8-3=5\).

V. Probabilités conditionnelles

À retenir — distinguer trois quantités

\(P(A\cap B)\) : proba que \(A\) et \(B\) se réalisent (sur l'ensemble de la population).
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) : proba de \(B\) sachant \(A\).
\(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) : proba de \(A\) sachant \(B\).

En général \(P_A(B)\ne P_B(A)\).

Méthode — à partir d'un tableau croisé

\(P(A\cap B)=\dfrac{\text{effectif à l'intersection}}{\text{effectif total}}\). Pour \(P_A(B)\), on change de total : on divise par l'effectif de la ligne (ou colonne) \(A\).

	\(B\)	\(\bar B\)	Total
\(A\)	30	20	50
\(\bar A\)	10	40	50
Total	40	60	100

\(P(A\cap B)=\dfrac{30}{100}=0{,}30\) ; \(P_A(B)=\dfrac{30}{50}=0{,}60\) (total de la ligne \(A\)) ; \(P_B(A)=\dfrac{30}{40}=0{,}75\) (total de la colonne \(B\)).

À retenir — arbre pondéré

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches parcourues. Les branches partant d'un même nœud codent des probabilités conditionnelles et leur somme vaut \(1\).

\(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}5\times0{,}6=0{,}30\). La branche \(A\to B\) (rouge) porte \(P_A(B)=0{,}6\) ; c'est le produit le long du chemin qui donne \(P(A\cap B)=0{,}30\).

Exercice d'application 6. Avec le tableau (\(A\) : \(20\) et \(30\) ; \(\bar A\) : \(5\) et \(45\) ; totaux colonnes \(25\) et \(75\), total \(100\)), calculer : a) \(P(A\cap B)\) ; b) \(P_A(B)\) ; c) \(P_B(A)\).

a) \(\dfrac{20}{100}=0{,}20\). b) \(\dfrac{20}{50}=0{,}40\) (ligne \(A\)). c) \(\dfrac{20}{25}=0{,}80\) (colonne \(B\)).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges des automatismes

❌ Hausse de \(20\,\%\) puis baisse de \(20\,\%\) = retour au départ.

✅ \(\text{CM}=1{,}2\times0{,}8=0{,}96\), soit \(-4\,\%\).

❌ Additionner les taux de deux évolutions successives.

✅ On multiplie les CM : \(+10\,\%\) puis \(+20\,\%\) donne \(+32\,\%\), pas \(+30\,\%\).

❌ CM d'une baisse de \(t\,\%\) égal à \(\dfrac{t}{100}\) ou \(-\dfrac{t}{100}\).

✅ \(\text{CM}=1-\dfrac{t}{100}\) : baisse de \(30\,\%\Rightarrow 0{,}70\).

❌ Taux réciproque = taux opposé.

✅ Annuler \(+25\,\%\) demande \(-20\,\%\) (CM \(0{,}8\)), pas \(-25\,\%\).

❌ Retrouver la valeur initiale en « retirant le pourcentage ».

✅ On divise par le CM.

❌ Sur un arbre, une branche code une intersection.

✅ Une branche code une probabilité conditionnelle ; \(P(A\cap B)\) s'obtient en multipliant le long du chemin.

❌ Confondre moyenne et médiane.

✅ La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, pas la médiane.

L'essentiel à retenir

Situation	Formule
Coefficient multiplicateur	\(\text{CM}=1+\dfrac{t}{100}\)
Valeur finale / initiale	\(\text{finale}=\text{CM}\times\text{initiale}\) ; \(\text{initiale}=\dfrac{\text{finale}}{\text{CM}}\)
Évolutions successives	\(\text{CM}_{\text{global}}=\text{CM}_1\times\text{CM}_2\times\dots\)
Taux réciproque	\(\text{CM}_{\text{réc}}=\dfrac{1}{\text{CM}}\)
Équation produit nul	\(A\times B=0\iff A=0\) ou \(B=0\)
Coefficient directeur	\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
Équation réduite	\(y=mx+p\) (\(m\) pente, \(p\) ordonnée à l'origine)
Proba conditionnelle	\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

À retenir :

Le coefficient multiplicateur est l'outil central des pourcentages : hausse \(+t\,\%\Rightarrow 1+\frac{t}{100}\), baisse \(\Rightarrow 1-\frac{t}{100}\).
Évolutions successives : on multiplie les CM, on n'additionne pas les taux.
Un produit est nul ⇔ un facteur est nul ; signe de \(ax+b\) = signe de \(a\) après la racine.
Droite : \(y=mx+p\), \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) ; sur un arbre, on multiplie le long du chemin.
Vérifier la vraisemblance : un prix négatif, une proba \(\gt 1\) signalent une erreur.

Objectifs du chapitre

I. Évolutions et pourcentages

1. Coefficient multiplicateur

2. Calculer un taux d'évolution

3. Évolutions successives : produit des CM

4. Taux réciproque

II. Calcul numérique et algébrique

1. Équation produit nul

2. Signe d'une expression

3. Développer, factoriser, réduire

III. Fonctions et droites

1. Équation réduite d'une droite

2. Coefficient directeur à partir de deux points

3. Lire et tracer une droite

4. Résolutions graphiques, signe et variations

IV. Lecture et indicateurs statistiques

V. Probabilités conditionnelles

Erreurs fréquentes / points de vigilance

L'essentiel à retenir

Simulations interactives