Fiche – Automatismes

Chapitre 9 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Le coefficient multiplicateur \(\text{CM}=1+\frac{t}{100}\) est l'outil central des pourcentages.
Évolutions successives : on multiplie les CM ; on n'additionne jamais les taux.
Retrouver la valeur initiale : on divise par le CM.
Produit nul : \(A\times B=0\iff A=0\) ou \(B=0\). Droite : \(y=mx+p\), \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Proba conditionnelle : on change de total (ligne ou colonne) ; sur un arbre on multiplie le long du chemin.

Réflexes clés

Évolution

Coefficient multiplicateur : hausse de \(t\,\%\Rightarrow\text{CM}=1+\frac{t}{100}\) ; baisse \(\Rightarrow 1-\frac{t}{100}\). Valeur finale \(=\text{CM}\times\) valeur initiale.

Taux

À partir de deux valeurs : \(\text{CM}=\frac{\text{finale}}{\text{initiale}}\) puis \(t=(\text{CM}-1)\times100\). Réciproque : \(\text{CM}_{\text{réc}}=\frac{1}{\text{CM}}\).

Algèbre

Produit nul : \(A\times B=0\iff A=0\) ou \(B=0\). Signe de \(ax+b\) : signe de \(a\) après la racine \(-\frac{b}{a}\).

Droite / probabilités

Droite : \(y=mx+p\), \(m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\). Proba : \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\).

À connaître par cœur

Évolutions \[\text{CM}=1+\tfrac{t}{100}\qquad \text{finale}=\text{CM}\times\text{initiale}\qquad \text{initiale}=\tfrac{\text{finale}}{\text{CM}}\] \[\text{CM}_{\text{global}}=\text{CM}_1\times\text{CM}_2\times\dots\qquad \text{CM}_{\text{réc}}=\tfrac{1}{\text{CM}}\]

Identités remarquables \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

Droite et statistiques \[y=mx+p\qquad m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\qquad \bar{x}=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\]

Signes rapides

\(ax+b\) : racine \(-\frac{b}{a}\) ; signe de \(a\) après, contraire avant.
Produit \((x-x_1)(x-x_2)\) (avec \(a\gt 0\)) : \(+\) à l'extérieur des racines, \(-\) entre les deux.

Méthode — évolutions successives et réciproque

Méthode

Traduire chaque étape en CM (\(1+\frac{t}{100}\)).
Multiplier les CM : \(\text{CM}_{\text{global}}=\text{CM}_1\times\text{CM}_2\).
Convertir : \(t_{\text{global}}=(\text{CM}_{\text{global}}-1)\times100\).
Pour annuler une évolution : appliquer \(\frac{1}{\text{CM}}\).

Méthode — proba conditionnelle (tableau croisé)

\(P(A\cap B)=\frac{\text{intersection}}{\text{total}}\).
\(P_A(B)\) : on divise l'intersection par le total de la ligne \(A\).
\(P_B(A)\) : on divise par le total de la colonne \(B\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ \(+20\,\%\) puis \(-20\,\%\) = retour au départ.

✅ \(1{,}2\times0{,}8=0{,}96\), soit \(-4\,\%\).

❌ Additionner les taux successifs.

✅ On multiplie les CM : \(+10\,\%\) puis \(+20\,\%\) donne \(+32\,\%\).

❌ Taux réciproque = taux opposé.

✅ Annuler \(+25\,\%\) demande \(-20\,\%\) (CM \(0{,}8\)).

❌ Sur un arbre, une branche code une intersection.

✅ Elle code une proba conditionnelle ; on multiplie le long du chemin.

Exemple rapide

Exemple — un prix qui évolue deux fois

Un prix de \(200\) € subit \(+10\,\%\) puis \(-20\,\%\).

CM global : \(1{,}10\times0{,}80=0{,}88\) ⇒ \(-12\,\%\).
Prix final : \(200\times0{,}88=176\) €.
Pour revenir à \(200\) € : appliquer \(\frac{1}{0{,}88}\approx1{,}136\), soit environ \(+13{,}6\,\%\).