Chapitre 8 – Activités géométriques (STD2A)

Chapitre 8 | Première technologique — série STD2A | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:43

Objectifs du chapitre

Analyser et construire des polygones réguliers à partir d'un motif élémentaire et de transformations (translation, rotation, symétries)
Calculer angles, périmètres et aires d'un polygone régulier par découpage
Créer une figure (rosace, frise, pavage) en répétant un motif par une ou deux transformations, et y reconnaître le motif élémentaire
Exploiter la tangente à un cercle dans un raccordement (congé)
Repérer un point dans l'espace, calculer une distance ; utiliser la perspective cavalière et connaître ce qu'une projection parallèle conserve ou non
Construire des sections planes de cube et de cylindre, et l'image perspective d'un cercle (ellipse via le carré circonscrit)

Remarque sur les attendus

La classification des types de frises (les 7 groupes) ou des pavages (les 17 groupes) n'est pas au programme. On cherche à analyser une frise ou un pavage et à y reconnaître un motif élémentaire et les transformations qui l'engendrent, sans nommer ni dénombrer les catégories théoriques.

I. Polygones réguliers

On observe un carrelage octogonal, une rosace de cathédrale, un napperon brodé : ces motifs reposent tous sur des figures très régulières, toutes leurs « parts » étant identiques.

Définition — Polygone régulier

Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure. On note \(n\) son nombre de côtés (et de sommets).

Exemples : triangle équilatéral (\(n=3\)), carré (\(n=4\)), pentagone (\(n=5\)), hexagone (\(n=6\)), octogone (\(n=8\)).

Propriété — Cercle circonscrit et apothème

Tout polygone régulier à \(n\) côtés est inscriptible dans un cercle : il existe un point \(O\), le centre, équidistant de tous les sommets. Le rayon \(R\) de ce cercle circonscrit est la distance du centre à un sommet. Le rayon du cercle inscrit, tangent à chaque côté, est l'apothème \(r\) (distance du centre au milieu d'un côté).

Hexagone régulier de centre \(O\) inscrit dans son cercle circonscrit (rayon \(R\)). Les six rayons le découpent en six triangles isocèles identiques ; l'apothème \(r\) (rouge) joint \(O\) au milieu d'un côté. Pour l'hexagone, \(R=a\) : les triangles sont même équilatéraux.

II. Angles, périmètres et aires

1. Les angles

Propriété — Angle au centre

Dans un polygone régulier à \(n\) côtés, les rayons vers deux sommets consécutifs forment l'angle au centre :

\[\widehat{\alpha} = \frac{360^\circ}{n}.\]

Les \(n\) triangles isocèles « part de gâteau » se partagent équitablement l'angle plein \(360^\circ\) autour de \(O\).

Propriété — Angle intérieur

Chaque angle intérieur (angle en un sommet, entre deux côtés) mesure :

\[\widehat{\beta} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}.\]

Exemple — tableau des angles

Polygone	\(n\)	Angle au centre \(\frac{360^\circ}{n}\)	Angle intérieur
triangle équilatéral	3	\(120^\circ\)	\(60^\circ\)
carré	4	\(90^\circ\)	\(90^\circ\)
pentagone	5	\(72^\circ\)	\(108^\circ\)
hexagone	6	\(60^\circ\)	\(120^\circ\)
octogone	8	\(45^\circ\)	\(135^\circ\)

2. Le périmètre

Propriété — Périmètre

Un polygone régulier à \(n\) côtés de longueur \(a\) a pour périmètre :

\[P = n \times a.\]

Exemple

Une frise composée d'octogones de côté \(a = 3{,}5\ \text{cm}\) : chaque octogone a pour périmètre \(P = 8 \times 3{,}5 = 28\ \text{cm}\).

3. L'aire, par découpage en triangles

Le principe est toujours le même : découper le polygone en ses \(n\) triangles isocèles identiques, calculer l'aire de l'un d'eux, puis multiplier par \(n\).

Propriété — Aire par l'apothème

Chaque triangle « part de gâteau » a pour base un côté \(a\) et pour hauteur l'apothème \(r\), donc son aire est \(\dfrac{a\times r}{2}\). En sommant les \(n\) triangles :

\[\mathcal{A} = n \times \frac{a \times r}{2} = \frac{P \times r}{2}.\]

L'aire d'un polygone régulier vaut la moitié du produit de son périmètre par son apothème.

Méthode — Cas remarquables (côté \(a\))

Triangle équilatéral : hauteur \(h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\), d'où \(\mathcal{A}_{\triangle}=\dfrac{a\,h}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^2\).
Carré : \(\mathcal{A}_{\square}=a^2\).
Hexagone régulier : il se découpe en six triangles équilatéraux de côté \(a\) (car \(R=a\)), donc \(\mathcal{A}_{\text{hex}}=6\times\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}\,a^2\).
Octogone régulier (apothème admis \(r=\dfrac{a}{2}(1+\sqrt2)\)) : \(\mathcal{A}_{\text{oct}}=\dfrac{P\,r}{2}=2(1+\sqrt2)\,a^2\approx 4{,}83\,a^2\).

Exemple chiffré — mosaïque hexagonale

Carreau de côté \(a=4\ \text{cm}\) :

périmètre : \(P=6\times4=24\ \text{cm}\) ;
aire : \(\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\times 4^2=24\sqrt3\approx 41{,}6\ \text{cm}^2\).

Exercice d'application 1. Un pentagone régulier a pour côté \(a=6\ \text{cm}\). Donner son angle au centre, son angle intérieur et son périmètre.

Angle au centre : \(\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ\) ; angle intérieur : \(180^\circ-72^\circ=108^\circ\) ; périmètre : \(P=5\times6=30\ \text{cm}\).

III. Motif élémentaire et transformations

L'idée directrice du chapitre : une figure riche naît de la répétition d'un petit motif par des transformations. Pour un polygone régulier, le motif élémentaire naturel est le triangle isocèle « part de gâteau ».

Propriété — Construction par rotations

On engendre un polygone régulier à \(n\) côtés en appliquant à un côté (ou au triangle « part de gâteau ») des rotations successives de centre \(O\) et d'angle

\[\theta = \frac{360^\circ}{n}\]

répétées \(n\) fois. Après un tour complet, le motif revient à sa position de départ.

Définition — Les quatre transformations

Transformation	Effet	Usage en design
translation	glisse le motif sans le tourner ni le retourner	ruban répété, frise
rotation (angle \(\frac{360^\circ}{n}\))	fait tourner le motif autour d'un centre	rosace, étoile, roue
symétrie axiale	retourne le motif (image miroir)	papillon, blason
symétrie centrale	demi-tour (\(180^\circ\)) autour d'un point	motif tête-bêche

Définition — Créer par une ou deux transformations

On crée une figure décorative en choisissant un motif élémentaire et en le répétant par une transformation, ou par la composition de deux transformations simples (par exemple : symétrie axiale puis translation pour un ruban à réflexion glissée ; rotation puis translation pour un motif tournant décalé).

Exemple — rosace à 12 branches

Motif élémentaire : un pétale décoré. Transformation : rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ\), répétée 12 fois. On obtient une rosace complète.

Rosace à 12 branches. Un seul motif élémentaire (le pétale vert) est répété par une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ\), appliquée 12 fois.

Exercice d'application 2. On veut une rosace à 8 branches par rotations d'un même pétale. Quel angle de rotation choisir ? Combien de fois l'appliquer ?

Angle \(\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ\), appliqué 8 fois (un tour complet ramène le motif au départ).

IV. Frises et pavages

Définition — Frise

Une frise est un motif qui se répète le long d'une bande, principalement par translation dans une direction. D'autres transformations peuvent s'y combiner (symétrie axiale d'axe la médiane, symétrie centrale, réflexion glissée).

Définition — Pavage

Un pavage du plan est un recouvrement sans trou ni chevauchement par des figures (les pavés), obtenu en répétant un motif élémentaire par des translations dans deux directions (et éventuellement d'autres transformations).

Motif élémentaire

Le motif élémentaire d'une frise ou d'un pavage est la plus petite « brique » qui, répétée par les transformations en jeu, reconstitue tout le dessin. Il peut être un triangle rectangle ou isocèle, un parallélogramme ou un rectangle.

Méthode — Analyser une frise / un pavage

Repérer un motif élémentaire (la plus petite cellule qui se répète).
Identifier les transformations qui font passer d'une cellule à la suivante (translation, rotation, symétrie…).
Mesurer les grandeurs utiles (période de la translation, angle de rotation).

On ne cherche pas à ranger la frise ou le pavage dans une catégorie théorique nommée.

Frise : un motif (triangle rectangle décoré) est reproduit de proche en proche par une translation horizontale de vecteur \(\vec u\). La longueur de \(\vec u\) est la période de la frise.

Pavage du plan par un parallélogramme (motif élémentaire, en vert). On le translate selon deux directions \(\vec u\) et \(\vec v\) non colinéaires : les copies recouvrent le plan sans trou ni chevauchement.

Exemple — pavages réguliers

Trois polygones réguliers pavent le plan à eux seuls : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier. La raison : autour d'un sommet, la somme des angles doit valoir exactement \(360^\circ\).

triangle : \(6\times 60^\circ=360^\circ\) ✔
carré : \(4\times 90^\circ=360^\circ\) ✔
hexagone : \(3\times 120^\circ=360^\circ\) ✔
pentagone : \(360^\circ/108^\circ\) n'est pas entier ⇒ le pentagone régulier ne pave pas seul.

Exercice d'application 3. Sur un ruban, un motif se répète par un glissement horizontal de \(5\ \text{cm}\). Nommer la transformation, donner son paramètre, et le nombre de motifs sur \(1\ \text{m}\).

C'est une translation de période \(5\ \text{cm}\). Sur \(100\ \text{cm}\) : \(100\div5=20\) motifs.

V. Raccordements et tangente à un cercle

En design, on raccorde souvent un segment droit à un arc de cercle « sans cassure » (contour d'un logo, d'un meuble, d'une lettre). La condition de continuité douce s'exprime avec la tangente.

Définition — Tangente à un cercle

La tangente à un cercle de centre \(O\) en un point \(T\) du cercle est la droite passant par \(T\) perpendiculaire au rayon \([OT]\). Elle « touche » le cercle en \(T\) sans le traverser.

Propriété — Raccordement tangent

Un segment de droite se raccorde à un arc de cercle de façon lisse (sans angle visible) au point \(T\) si et seulement si ce segment est porté par la tangente au cercle en \(T\), c'est-à-dire perpendiculaire au rayon \([OT]\).

Méthode — Arrondir un coin (congé)

Pour raccorder deux droites par un arc « en congé » : on trace le cercle de rayon \(\rho\) dont le centre \(O\) est équidistant des deux droites (sur la bissectrice de l'angle) ; les points de tangence \(T_1,T_2\) sont les pieds des perpendiculaires abaissées de \(O\) sur chaque droite. L'arc \(\overset{\frown}{T_1T_2}\) raccorde alors les deux droites sans cassure.

Congé : le centre \(O\) est sur la bissectrice, à distance \(\rho\) de chaque droite. L'arc rouge est tangent aux deux droites en \(T_1\) et \(T_2\) (rayons perpendiculaires aux droites), donc le raccordement est lisse.

VI. Repérage et distance dans l'espace

Pour décrire une maquette ou un objet à modéliser en 3D, on repère chaque point par trois coordonnées.

Définition — Repère orthonormal de l'espace

Un repère orthonormal de l'espace est constitué d'une origine \(O\) et de trois axes deux à deux perpendiculaires \((Ox)\), \((Oy)\), \((Oz)\), munis de la même unité. Tout point \(M\) est repéré par un triplet \(M(x\,;y\,;z)\) : \(x\) l'abscisse, \(y\) l'ordonnée, \(z\) la cote (hauteur).

Propriété — Distance entre deux points

Dans un repère orthonormal, la distance entre \(A(x_A\,;y_A\,;z_A)\) et \(B(x_B\,;y_B\,;z_B)\) est :

\[d = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.\]

C'est le théorème de Pythagore appliqué deux fois (d'abord dans un plan horizontal, puis en montant en hauteur).

Exemple

Une pièce d'assemblage relie \(A(1\,;2\,;0)\) et \(B(4\,;6\,;12)\) (en cm).

\[AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.\]

Pour placer \(M(x\,;y\,;z)\) : on avance de \(x\) sur \((Ox)\), de \(y\) sur \((Oy)\) (oblique, fuyante), puis on monte de \(z\) parallèlement à \((Oz)\).

Exercice d'application 4. Calculer la distance entre \(A(0\,;0\,;0)\) et \(B(2\,;3\,;6)\).

\(AB=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\).

VII. Perspective cavalière

Pour dessiner un objet de l'espace sur une feuille, on utilise une projection. La perspective cavalière est une projection parallèle simple et très employée en dessin technique et en design.

Définition — Projection parallèle / perspective cavalière

Une projection parallèle projette chaque point sur un plan (le plan du dessin) parallèlement à une droite fixée. La perspective cavalière dessine :

les faces frontales (parallèles au plan du dessin) en vraie grandeur ;
les fuyantes (arêtes qui s'enfoncent vers l'arrière) en oblique (angle de fuite usuel \(30^\circ\) ou \(45^\circ\)) et réduites par un coefficient de fuite \(k\) (souvent \(0{,}5\) ou \(0{,}7\)).

Propriété — Conservé par une projection parallèle

le parallélisme : deux droites parallèles restent parallèles ;
l'alignement et les contacts (tangences) ;
les milieux et les rapports de longueurs mesurés sur une même direction.

Non conservé

les longueurs en général : les fuyantes sont réduites par \(k\) ;
les angles : un angle droit n'apparaît généralement pas droit sur le dessin ;
un cercle ne se projette généralement pas en cercle mais en ellipse.

Le coefficient de fuite ne s'applique qu'aux fuyantes : une longueur du plan frontal est en vraie grandeur.

Cube en perspective cavalière : la face avant \(ABCD\) est en vraie grandeur ; les fuyantes partent en oblique (\(45^\circ\)) et sont réduites du coefficient \(k\). Le parallélisme des arêtes est conservé.

VIII. Cylindre et sections planes

1. Cylindre de révolution

Définition — Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Il est délimité par deux disques de même rayon \(R\) (les bases) et une surface latérale. La distance entre les bases est la hauteur \(h\).

Propriété — Grandeurs

Aire d'une base : \(\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi R^2\).
Aire latérale (rectangle déroulé) : \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=2\pi R\times h\).
Volume : \(V=\pi R^2\times h\).

Cylindre en cavalière : les bases (disques vus en oblique) deviennent des ellipses ; l'arrière de la base inférieure est en pointillés (caché).

2. Section d'un cube

Sectionner un solide par un plan, c'est le « couper » : la section est la figure plane commune au solide et au plan.

Méthode — Règle des faces parallèles

Le plan de coupe rencontre les faces du cube selon des segments. Deux faces parallèles du cube sont coupées selon deux segments parallèles. Cette règle, jointe au repérage des points où le plan traverse les arêtes, permet de tracer toute la section.

Propriété — Nature de la section d'un cube

Selon l'orientation du plan, la section peut être : un segment ou un point, un triangle, un quadrilatère (carré, rectangle, parallélogramme), un pentagone ou un hexagone (hexagone régulier si le plan est médiateur d'une grande diagonale).

Section d'un cube par un plan perpendiculaire à une grande diagonale, passant par son milieu : elle coupe les six faces aux milieux des arêtes et donne un hexagone régulier (rouge). Deux côtés opposés sont parallèles.

Exemple — représenter une section en vraie grandeur

Sur le dessin en perspective, la section apparaît déformée (angles et longueurs non conservés). Pour la fabriquer ou la coter, on la représente en vraie grandeur : on dessine, à plat, la figure exacte avec ses dimensions réelles.

Exemple résolu. Un cube d'arête \(6\ \text{cm}\) est coupé par le plan passant par deux arêtes opposées (l'arête du bas à l'avant et l'arête du haut à l'arrière). La section est un rectangle : deux côtés sont les arêtes (longueur \(6\ \text{cm}\)), les deux autres sont des diagonales de faces, de longueur (théorème de Pythagore) :

\[d=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2\approx 8{,}5\ \text{cm}.\]

En perspective cavalière, cette section apparaît comme un parallélogramme quelconque ; en vraie grandeur, on trace à la règle un rectangle de \(6\ \text{cm}\) sur \(6\sqrt2\approx 8{,}5\ \text{cm}\) — c'est ce dessin qui permet de découper la plaque au bon format.

3. Section d'un cylindre et ellipse

Propriété — Sections d'un cylindre de révolution

plan perpendiculaire à l'axe ⇒ disque (bord : cercle de rayon \(R\)) ;
plan parallèle à l'axe ⇒ rectangle ;
plan oblique (coupant toute la paroi) ⇒ ellipse.

Définition — Ellipse

Une ellipse est une courbe ovale à deux axes de symétrie perpendiculaires : le grand axe (longueur \(2A\)) et le petit axe (longueur \(2B\)), se coupant au centre. Le cercle est le cas particulier \(A=B\).

Quand on coupe une bougie cylindrique en biais, la tranche est une ellipse : son petit axe vaut le diamètre \(2R\), son grand axe s'allonge d'autant plus que la coupe est inclinée.

Un plan oblique traversant toute la paroi coupe le cylindre selon une ellipse (rouge).

IX. Image perspective d'un cercle

Comment dessiner un cercle en perspective cavalière ? Directement, c'est délicat ; on passe par le carré circonscrit, plus simple à mettre en perspective.

Propriété — Cercle → ellipse

L'image d'un cercle par une projection parallèle est en général une ellipse. Comme les contacts et les milieux sont conservés, l'image du carré circonscrit est un parallélogramme circonscrit à l'ellipse, et l'ellipse touche chaque côté en son milieu — là où le cercle touchait le carré.

Méthode — Image d'un cercle via le carré circonscrit

Tracer le carré circonscrit (côté \(2R\)) ; il touche le cercle aux milieux des côtés. Tracer les diagonales : elles coupent le cercle en 4 points de plus.
Dessiner ce carré en cavalière : il devient un parallélogramme. Reporter milieux et diagonales.
Placer les images des 8 points (tangences + diagonales).
Tracer à main levée l'ellipse passant par ces 8 points, tangente aux côtés en leurs milieux.

Image d'un cercle en cavalière. À gauche : cercle et son carré circonscrit (contacts aux milieux, en vert). À droite : le carré devient un parallélogramme, le cercle une ellipse tangente aux côtés en leurs milieux.

Exercice d'application 5. Sur une maquette, un cube d'arête \(6\ \text{cm}\) est dessiné en cavalière (\(k=0{,}5\)). Quelle est la longueur des arêtes fuyantes sur le dessin ?

Seules les fuyantes sont réduites : \(6\times0{,}5=3\ \text{cm}\) (les arêtes frontales restent à \(6\ \text{cm}\)).

Exercice d'application 6. On grave un disque (rayon \(3\ \text{cm}\)) sur une face frontale d'un cube dessiné en cavalière. Le disque est-il déformé sur le dessin ? Pourquoi ?

Non : une face frontale (parallèle au plan du dessin) est en vraie grandeur, le disque y reste un cercle. Ce n'est que sur une face vue en oblique qu'il deviendrait une ellipse.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre angle au centre et angle intérieur.

✅ Angle au centre \(=\frac{360^\circ}{n}\) (vu de \(O\)) ; angle intérieur \(=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\) (au sommet).

❌ Croire que \(R=a\) pour tout polygone.

✅ L'égalité rayon = côté est spécifique à l'hexagone régulier.

❌ Appliquer le coefficient de fuite partout.

✅ En cavalière, seules les fuyantes sont réduites ; le plan frontal est en vraie grandeur.

❌ Croire que la perspective conserve les angles.

✅ Elle conserve parallélisme, milieux, contacts et rapports sur une même direction, pas les angles ni les longueurs.

❌ Dessiner un cercle vu en oblique comme un cercle.

✅ Il devient une ellipse ; passer par le carré circonscrit.

❌ Chercher à classer une frise ou un pavage.

✅ On cherche le motif élémentaire et les transformations, pas un nom de catégorie.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Polygone régulier (\(n\) côtés) : angle au centre \(\frac{360^\circ}{n}\), angle intérieur \(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\), périmètre \(P=n\,a\).
Aire par découpage : \(\mathcal{A}=n\times\frac{a\,r}{2}=\frac{P\,r}{2}\). Cas : triangle \(\frac{\sqrt3}{4}a^2\), carré \(a^2\), hexagone \(\frac{3\sqrt3}{2}a^2\), octogone \(2(1+\sqrt2)a^2\).
Motif + transformations engendrent polygones, rosaces, frises (une direction) et pavages (deux directions). On cherche le motif ; on ne classe pas.
Raccordement lisse droite/arc ⇔ droite tangente ⇔ perpendiculaire au rayon au contact.
Espace : \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
Cavalière : conserve parallélisme, milieux, contacts, rapports d'une même direction ; ne conserve pas longueurs (fuyantes \(\times k\)) ni angles.
Sections : cube → triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone ; cylindre → cercle, rectangle, ellipse. Cercle en perspective → ellipse via le carré circonscrit.