Fiche – Activités géométriques (STD2A)

Chapitre 8 | Première technologique — série STD2A | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Polygone régulier (\(n\) côtés) : inscriptible dans un cercle ; angle au centre \(\frac{360^\circ}{n}\), angle intérieur \(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\), \(P=n\,a\).
Une figure riche naît de la répétition d'un motif par des transformations ; on cherche le motif, on ne classe pas.
Frise = une direction (translation) ; pavage = deux directions, sans trou ni chevauchement.
Cavalière : conserve parallélisme, milieux, contacts ; ne conserve pas longueurs (fuyantes \(\times k\)) ni angles.
Un cercle vu en oblique devient une ellipse ; sections d'un cube : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone.

Définitions clés

Définition

Polygone régulier : tous les côtés de même longueur \(a\) et tous les angles de même mesure. Centre \(O\), rayon \(R\) (cercle circonscrit), apothème \(r\) (cercle inscrit).

Définition

Motif élémentaire : plus petite « brique » qui, répétée par les transformations, reconstitue tout le dessin. Frise : répétition dans une direction. Pavage : deux directions.

Définition

Tangente à un cercle en \(T\) : droite perpendiculaire au rayon \([OT]\). Ellipse : ovale à grand axe \(2A\) et petit axe \(2B\) ; cercle si \(A=B\).

Définition

Perspective cavalière : projection parallèle ; faces frontales en vraie grandeur, fuyantes obliques réduites du coefficient \(k\).

À connaître par cœur

Polygone régulier (\(n\) côtés, côté \(a\), apothème \(r\)) \[\text{Angle au centre}=\frac{360^\circ}{n}\qquad \text{Angle intérieur}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\] \[P=n\,a\qquad \mathcal{A}=n\times\frac{a\,r}{2}=\frac{P\,r}{2}\]

Aires remarquables (côté \(a\)) \[\text{triangle éq. }\frac{\sqrt3}{4}a^2\ ;\quad \text{carré }a^2\ ;\quad \text{hexagone }\frac{3\sqrt3}{2}a^2\ ;\quad \text{octogone }2(1+\sqrt2)a^2\]

Cylindre — Distance dans l'espace \[V=\pi R^2 h\qquad \mathcal{A}_{\text{lat}}=2\pi R h\] \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Perspective cavalière

Conserve : parallélisme, alignement, contacts (tangences), milieux, rapports sur une même direction.
Ne conserve pas : longueurs (fuyantes \(\times k\)) ni angles ; un cercle devient une ellipse.

Méthode — Image d'un cercle en cavalière

Méthode

Tracer le carré circonscrit au cercle (tangences aux milieux) + les diagonales.
Dessiner ce carré en cavalière → parallélogramme (fuyantes \(\times k\)).
Reporter milieux et diagonales, marquer les 8 points.
Tracer l'ellipse par ces 8 points, tangente aux côtés en leurs milieux.

Méthode — Analyser une frise / un pavage

Repérer le motif élémentaire (plus petite cellule répétée).
Identifier les transformations (translation, rotation, symétrie).
Mesurer période et angle. Ne pas classer dans une catégorie.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre angle au centre et angle intérieur.

✅ Centre \(=\frac{360^\circ}{n}\) ; intérieur \(=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\).

❌ Croire que \(R=a\) pour tout polygone.

✅ Vrai seulement pour l'hexagone régulier.

❌ Réduire toutes les longueurs en cavalière.

✅ Seules les fuyantes sont réduites (\(\times k\)).

❌ Dessiner un cercle vu en oblique comme un cercle.

✅ C'est une ellipse ; passer par le carré circonscrit.

Exemple rapide

Exemple — carreau hexagonal de côté \(a=5\ \text{cm}\)

Angle au centre \(60^\circ\), angle intérieur \(120^\circ\).
Périmètre : \(P=6\times5=30\ \text{cm}\).
Aire : \(\mathcal{A}=\frac{3\sqrt3}{2}\times5^2=\frac{75\sqrt3}{2}\approx 64{,}95\ \text{cm}^2\).