Activités géométriques (STD2A) | Première technologique — série STD2A | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On dessine une rosace en répétant un pétale par rotations autour du centre \(O\).
1. Quel angle de rotation choisir pour obtenir exactement 6 pétales régulièrement répartis ?
2. On inscrit la rosace dans un hexagone régulier de côté \(a=5\ \text{cm}\). Calculer son périmètre et son aire.
1. \(\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ\).
2. \(P=6\times5=30\ \text{cm}\) ; \(\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\times 5^2=\dfrac{75\sqrt3}{2}\approx 64{,}95\ \text{cm}^2\).
Un carreleur pose des octogones réguliers de côté \(a=10\ \text{cm}\).
1. Donner la mesure d'un angle intérieur de l'octogone.
2. Deux octogones adjacents laissent-ils, à leur rencontre, un espace ? Justifier par la somme des angles autour d'un point (indication : deux octogones apportent \(2\times135^\circ\)).
1. \(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{8}=135^\circ\).
2. Autour d'un sommet, deux octogones occupent \(270^\circ\) ; il reste \(360^\circ-270^\circ=90^\circ\) : un petit carré comble l'espace (pavage classique octogones + carrés). Les octogones seuls ne pavent donc pas.
Sur un ruban, un triangle rectangle décoré se reproduit régulièrement, chaque copie étant obtenue de la précédente par un glissement horizontal de \(4\ \text{cm}\).
1. Nommer la transformation qui engendre la frise et donner son paramètre.
2. Décrire le motif élémentaire.
3. Combien de motifs sur une bordure de \(1{,}20\ \text{m}\) ?
1. Une translation horizontale de période \(4\ \text{cm}\).
2. Le motif élémentaire est le triangle rectangle décoré de largeur \(4\ \text{cm}\).
3. \(120\div4=30\) motifs.
On pave un mur en translatant un parallélogramme selon deux vecteurs \(\vec u\) (horizontal, \(6\ \text{cm}\)) et \(\vec v\) (oblique, \(5\ \text{cm}\)).
1. Expliquer pourquoi ce parallélogramme est un motif élémentaire du pavage.
2. Sans classer le pavage, indiquer les transformations qui superposent le dessin à lui-même.
1. Ses images par toutes les combinaisons de \(\vec u\) et \(\vec v\) recouvrent le plan sans trou ni chevauchement : c'est la plus petite cellule qui, répétée, reconstitue tout.
2. Les translations de vecteurs \(m\vec u+n\vec v\) (\(m,n\) entiers) ; selon le décor, une éventuelle symétrie centrale au centre du parallélogramme.
Un bougeoir est un cylindre de révolution de rayon \(R=3\ \text{cm}\) et de hauteur \(h=8\ \text{cm}\).
1. Calculer son volume et son aire latérale.
2. On tranche le sommet par un plan oblique : quelle est la nature de la section ? Que vaut son petit axe ?
1. \(V=\pi R^2 h=\pi\times9\times8=72\pi\approx 226{,}2\ \text{cm}^3\) ; \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=2\pi R h=2\pi\times3\times8=48\pi\approx 150{,}8\ \text{cm}^2\).
2. Une ellipse ; son petit axe vaut le diamètre \(2R=6\ \text{cm}\) (le grand axe, plus long, dépend de l'inclinaison).
Une pièce d'assemblage d'une maquette relie \(A(2\,;1\,;3)\) et \(B(6\,;4\,;15)\) (en cm) dans un repère orthonormal.
1. Calculer la longueur \(AB\).
2. Un troisième point \(C(2\,;1\,;15)\) est ajouté. Que vaut \(BC\) ? Que remarque-t-on sur la position de \(C\) par rapport à \(A\) ?
1. \(AB=\sqrt{(6-2)^2+(4-1)^2+(15-3)^2}=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13\ \text{cm}\).
2. \(BC=\sqrt{(2-6)^2+(1-4)^2+(15-15)^2}=\sqrt{16+9+0}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}\). Comme \(C\) a les mêmes \(x\) et \(y\) que \(A\), il est à la verticale de \(A\) (même colonne, cote plus haute).
Un cube d'arête \(6\ \text{cm}\) est dessiné en perspective cavalière (fuyantes à \(45^\circ\), coefficient \(k=0{,}5\)).
1. Quelle longueur, sur le dessin, mesurent les arêtes fuyantes ?
2. On grave sur une face un disque inscrit (rayon \(3\ \text{cm}\)). Expliquer en une phrase comment le représenter correctement en cavalière.
3. La face gravée est parallèle au plan du dessin : le disque y est-il déformé ?
1. \(6\times0{,}5=3\ \text{cm}\).
2. Tracer le carré circonscrit au disque, le mettre en perspective (parallélogramme), puis l'ellipse tangente aux milieux des côtés.
3. Non : une face frontale est en vraie grandeur, le disque y reste un cercle ; il ne deviendrait une ellipse que sur une face vue en oblique.
Un graphiste dessine un logo : un contour formé de deux segments droits perpendiculaires raccordés par un arc de cercle de rayon \(\rho=2\ \text{cm}\), puis un disque décoratif de rayon \(3\ \text{cm}\) posé à côté.
1. À quelle condition l'arc raccorde-t-il chaque segment sans cassure ? Où se trouve le centre \(O\) de l'arc ?
2. Les deux droites font un angle droit. En quels points \(T_1,T_2\) l'arc touche-t-il les segments par rapport à \(O\) ?
3. Le logo est ensuite représenté sur une boîte en perspective cavalière, le disque étant gravé sur une face vue en oblique. Quelle courbe obtient-on à la place du disque, et comment la construire proprement ?
1. Le raccordement est lisse ⇔ chaque segment est tangent au cercle, c'est-à-dire perpendiculaire au rayon au point de contact. Le centre \(O\) est sur la bissectrice de l'angle, à distance \(\rho=2\ \text{cm}\) de chaque droite.
2. \(T_1\) et \(T_2\) sont les pieds des perpendiculaires abaissées de \(O\) sur chaque droite (les rayons \([OT_1]\) et \([OT_2]\) sont perpendiculaires aux droites).
3. Le disque devient une ellipse. On trace le carré circonscrit au disque (côté \(6\ \text{cm}\), tangences aux milieux des côtés + diagonales), on le dessine en cavalière (→ parallélogramme), on reporte milieux et diagonales, puis on trace l'ellipse passant par les 8 points et tangente aux côtés en leurs milieux.