Chapitre 1 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:38
Un capital de \(1000\) € est placé. Chaque année, on ajoute \(50\) € (versement fixe). On note le capital au bout de \(0,\,1,\,2,\dots\) années :
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Capital (€) | 1000 | 1050 | 1100 | 1150 |
On obtient une liste ordonnée de nombres : à chaque entier \(n\) (le rang) correspond un seul nombre. C'est une suite.
Une suite numérique \(u\) est une fonction qui, à chaque entier naturel \(n\) (le rang ou indice), associe un nombre réel noté \(u(n)\) (ou \(u_n\)), appelé terme de rang \(n\) de la suite.
On note d'abord \(u(n)\), par analogie avec l'écriture fonctionnelle \(f(x)\), puis on utilise aussi la notation indicée \(u_n\). Le terme \(u(0)\) (ou \(u_0\)) est le terme initial.
Ne pas confondre le rang \(n\) (la position, un entier) et le terme \(u(n)\) (la valeur associée). Dans le tableau ci-dessus, \(u(2)=1100\) : le terme de rang \(2\) vaut \(1100\).
Le terme \(u(n)\) est donné directement en fonction de \(n\) par une formule.
Exemple. \(u(n) = 1000 + 50\,n\). On calcule n'importe quel terme sans connaître les précédents : \(u(10) = 1000 + 50 \times 10 = 1500\).
On connaît le terme initial et une règle permettant de passer d'un terme au suivant.
Exemple. \(\begin{cases} u(0) = 1000 \\ u(n+1) = u(n) + 50 \end{cases}\). On calcule de proche en proche : \(u(1)=1050\), \(u(2)=1100\), …
Avec une relation de récurrence, pour obtenir \(u(10)\) il faut avoir calculé tous les termes précédents. La formule explicite est plus rapide.
Le tableur calcule très vite les termes d'une suite et fait bien sentir les deux modes de génération. Pour la suite \(u(0)=1000\), \(u(n+1)=u(n)+50\) : on saisit 1000 en B1, puis la formule =B1+50 en B2, que l'on recopie vers le bas — c'est la récurrence. Avec les rangs \(n\) en colonne A, la formule =1000+50*A1 traduit la formule explicite : les deux colonnes donnent les mêmes valeurs.
\(u(1)=7-2=5\) ; \(u(2)=5-2=3\) ; \(u(3)=3-2=1\).
On représente une suite \(u\) par le nuage de points de coordonnées \((n\,;\,u(n))\) dans un repère : en abscisse le rang \(n\), en ordonnée le terme \(u(n)\).
Les points ne sont pas reliés : la variable \(n\) est un entier, la représentation est discrète (points isolés).
Nuage de points de la suite arithmétique \(u(n)=1000+50n\) : les points sont alignés (variation absolue constante \(+50\) par pas).
Une suite \(u\) est :
En pratique, on étudie le signe de la différence \(u(n+1)-u(n)\).
Exemple résolu. Pour \(u(n)=1000+50n\) :
\[u(n+1)-u(n) = \big(1000+50(n+1)\big) - \big(1000+50n\big) = 50 \gt 0.\]La différence est positive pour tout \(n\) : la suite est croissante.
\(u(n+1)-u(n)=\big(20-3(n+1)\big)-\big(20-3n\big)=-3 \lt 0\). La suite est décroissante.
Chaque année on ajoute le même montant \(50\) € : l'évolution absolue (la variation) est constante. C'est le modèle d'une croissance linéaire.
Une suite \(u\) est arithmétique de raison \(r\) lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\) :
\[u(n+1) = u(n) + r \qquad \text{pour tout entier } n.\]Si \(u\) est arithmétique de premier terme \(u(0)\) et de raison \(r\), alors :
\[u(n) = u(0) + n\,r.\]Démonstration. On ajoute \(r\) à chaque étape : \(u(1)=u(0)+r\), \(u(2)=u(1)+r=u(0)+2r\), \(u(3)=u(0)+3r\), … Après \(n\) étapes, on a ajouté \(n\) fois la raison \(r\), donc \(u(n)=u(0)+n\,r\). \(\quad\blacksquare\)
Puisque \(u(n+1)-u(n)=r\), une suite arithmétique de raison \(r\) est :
Les points \((n\,;\,u(n))\) d'une suite arithmétique sont alignés (sur une droite de coefficient directeur \(r\)).
On calcule la différence \(u(n+1)-u(n)\) : si elle est constante (indépendante de \(n\)), la suite est arithmétique, et cette constante est la raison.
Exemple résolu. Soit \(u(n)=3n+7\).
\[u(n+1)-u(n) = \big(3(n+1)+7\big)-\big(3n+7\big) = 3.\]La différence vaut \(3\) pour tout \(n\) : \(u\) est arithmétique de raison \(r=3\).
\(u(n+1)-u(n)=\big(5-2(n+1)\big)-\big(5-2n\big)=-2\), constante : \(u\) est arithmétique de raison \(r=-2\). Comme \(r\lt 0\), elle est décroissante.
Une colonie de bactéries double chaque heure : l'évolution relative (le pourcentage d'augmentation, ici \(+100\,\%\)) est constante. C'est le modèle d'une croissance exponentielle.
Une suite \(u\) à termes strictement positifs est géométrique de raison \(q\) (\(q\gt 0\)) lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(q\) :
\[u(n+1) = q \times u(n) \qquad \text{pour tout entier } n.\]Si \(u\) est géométrique de premier terme \(u(0)\) et de raison \(q\), alors :
\[u(n) = u(0) \times q^{\,n}.\]Démonstration. On multiplie par \(q\) à chaque étape : \(u(1)=q\,u(0)\), \(u(2)=q\,u(1)=q^2 u(0)\), \(u(3)=q^3 u(0)\), … Après \(n\) étapes on a multiplié \(n\) fois par \(q\), donc \(u(n)=u(0)\times q^n\). \(\quad\blacksquare\)
Une suite géométrique de raison \(q\gt 0\) à termes strictement positifs est :
Une augmentation de \(t\,\%\) à chaque étape correspond à \(q = 1 + \dfrac{t}{100}\) ; une diminution de \(t\,\%\) correspond à \(q = 1 - \dfrac{t}{100}\).
Exemple. \(-15\,\%\) chaque année \(\Rightarrow q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\).
Ne pas confondre le coefficient multiplicateur et le pourcentage : \(+3\,\%\) donne \(q=1{,}03\), pas \(q=0{,}03\) ni \(q=3\).
Les points d'une suite géométrique ne sont pas alignés : ils suivent une courbe (croissance de plus en plus rapide si \(q\gt 1\)).
Comparaison : une suite arithmétique (vert) donne des points alignés ; une suite géométrique de raison \(q\gt 1\) (indigo) donne des points de plus en plus écartés, courbés vers le haut (croissance exponentielle).
Pour une suite à termes strictement positifs, on calcule le quotient \(\dfrac{u(n+1)}{u(n)}\) : s'il est constant (indépendant de \(n\)), la suite est géométrique, et cette constante est la raison \(q\).
Exemple résolu. Soit \(u(n)=5\times 2^{\,n}\) (termes strictement positifs).
\[\frac{u(n+1)}{u(n)} = \frac{5\times 2^{\,n+1}}{5\times 2^{\,n}} = 2.\]Le quotient vaut \(2\) pour tout \(n\) : \(u\) est géométrique de raison \(q=2\). Comme \(q\gt 1\), elle est croissante.
On multiplie par \(3\) : suite géométrique de raison \(q=3\). Alors \(w(n)=2\times 3^{\,n}\), et \(w(3)=2\times 3^3=2\times 27=54\).
Toutes les suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques.
Soit \(u(n) = n^2\), qui donne \(0,\,1,\,4,\,9,\,16,\dots\)
Vocabulaire logique. Trouver deux différences distinctes (\(1\neq 3\)) fournit un contre-exemple : cela suffit à infirmer la proposition universelle « la différence \(u(n+1)-u(n)\) est la même pour tout \(n\) », donc à prouver que la suite n'est pas arithmétique. Un seul contre-exemple prouve qu'une propriété « pour tout \(n\) » est fausse — alors que vérifier la propriété sur quelques valeurs ne suffit jamais à prouver qu'elle est vraie.
Exemple résolu. Une population de \(8000\) habitants augmente de \(2\,\%\) par an.
Le calcul des termes d'une suite se programme en Python : le chapitre 7 donne les méthodes-types « terme de rang \(n\) » (boucle for qui applique la relation de récurrence, méthode 1) et « détermination d'un seuil » (boucle while : plus petit rang \(n\) tel que \(u(n)\) dépasse — ou passe sous — une valeur donnée, méthode 2).
On multiplie chaque année par \(q=1-0{,}12=0{,}88\) : suite géométrique, \(v(0)=20\,000\). Donc \(v(n)=20\,000\times 0{,}88^{\,n}\), et \(v(4)=20\,000\times 0{,}88^{4}\approx 11\,996\) €.
Différences : \(1,\,3,\,5\) → non constantes ⇒ pas arithmétique. Quotients : \(2,\,2{,}5\) → non constants ⇒ pas géométrique. La suite n'est ni l'une ni l'autre.
❌ Confondre le rang et le terme.
✅ \(u(3)\) est la valeur du terme de rang \(3\), pas le nombre \(3\).
❌ Décaler les indices sans vérifier le premier terme.
✅ La formule \(u(n)=u(0)+n\,r\) suppose un premier terme de rang \(0\).
❌ Confondre variation absolue et variation relative.
✅ Ajouter \(50\) € (arithmétique) ≠ augmenter de \(5\,\%\) (géométrique).
❌ Relier les points du nuage par une courbe continue.
✅ Une suite se représente par un nuage de points isolés.
❌ Conclure sur la nature d'une suite sans vérifier l'indépendance en \(n\).
✅ Il faut que la différence (ou le quotient) ne dépende pas de \(n\).
| Suite arithmétique | Suite géométrique | |
|---|---|---|
| Passage au suivant | on ajoute \(r\) | on multiplie par \(q\) |
| Récurrence | \(u(n+1)=u(n)+r\) | \(u(n+1)=q\,u(n)\) |
| Terme de rang \(n\) | \(u(n)=u(0)+n\,r\) | \(u(n)=u(0)\times q^{\,n}\) |
| Modèle | évolution absolue constante (linéaire) | évolution relative constante (exponentielle) |
| Croissante si | \(r\gt 0\) | \(q\gt 1\) (termes \(\gt 0\)) |
| Graphique | points alignés | points non alignés (courbés) |